2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編-專題14-推與證明、新定義-理科及答案

1、專題十四 推理與證明、新定義1.【2021 高考湖北，理 9】集合A (x,y)|x2 y21,x,y Z,B (x,y) |x| 2, |y| 2, x, y Z，定義集合A B (xi x2,yi y2)(xi,yi) A, gy) B，那么 A B 中元素的個數(shù)為A. 77 B. 49C. 45 D. 30【答案】C【解析】因為集合A ( x,y)|x2 y2 1,x,y Z，所以集合A中有9個元素即9個點，即 圖中圓中的整點，集合 B (x,y) |x| 2, | y| 2, x,y Z中有25個元素即25個點：即圖 中正方形ABCD中的整點，集合 A B (為X2,% y?)%)A,

2、區(qū)必)B的元素可看 作正方形ABGDi中的整點除去四個頂點，即7 7 4 45個.【考點定位】1.集合的相關(guān)知識，2.新定義題型.【名師點睛】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的根底上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，到達(dá)靈活解題的目的2. 【2021高考廣東，理 8】假設(shè)空間中 n個不同的點兩兩距離都相等，那么正整數(shù)n的取值 A .大于5 B.等于5 C.至多等于4 D.至多等于3【答案】C .【解析】顯然正三角形和正四面體的頂點是兩兩距離相等的，即n 3或n 4時命題成立，由此可排除A

3、、B、D，應(yīng)選C .【考點定位】空間想象能力，推理能力，含有量詞命題真假的判斷.C，由于n 3時易知正三角形的三個頂點是兩兩距離相等的從而可以排除A、B，又當(dāng)n4時易知正四面體的四個頂點【名師點睛】此題主要考查學(xué)生的空間想象能力，推理求解能力和含有量詞命題真假的判斷, 此題屬于中高檔題，如果直接正面解答比擬困難，考慮到是選擇題及選項信息可以根據(jù)平時 所積累的平面幾何、空間幾何知識進行排除那么不難得出正確答案也是兩兩距離相等的從而可以排除D.3. 【2021高考浙江，理6】設(shè)A , B是有限集，定義d(A,B)其中card (A)表示有限集 A中的元素個數(shù)，命題：對任意有限集A , B，“ A

4、B 是“ d(A,B) 0 的充分必要條件；命題：對任意有限集 A , B , C , d(代C) d(A, B) d(B,C),A.命題和命題都成立B.命題和命題都不成立C.命題成立，命題不成立D. 命題不成立，命題成立【答案】A.【解析】命題然正御，通過如下文氏圖亦可知/(凡口叢示前匹陜不大"T0G的區(qū)竦 故命題也正輻 應(yīng)選A.【考點定位】集合的性質(zhì)【名師點睛】此題是集合的閱讀材料題，屬于中檔題，在解題過程中需首先理解材料中相關(guān)概念與的集合相關(guān)知識點的結(jié)合，即可知命題正確，同時注重數(shù)形結(jié)合思想的運用，假設(shè)用韋恩圖表示三個集合A , B, C，那么可將問題等價轉(zhuǎn)化為比擬集合區(qū)域的大

5、小，即可確定集合中元素個數(shù)大小的比擬4. 【2021高考北京，理8】汽車的“燃油效率是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，以下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況以下表達(dá)中正確的選項是A. 消耗1升汽油，乙車最多可行駛 5千米B. 以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D. 某城市機動車最高限速 80千米/小時相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【解析】“燃油效率是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖象最高點的縱坐標(biāo)值，A錯誤；B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油

6、效率最高，所以甲最省油，B錯誤，C中甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km,消耗8升汽油，C錯誤，D中某城市機動 車最高限速80千米/小時由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用丙車比用 乙車更省油,選D.考點：此題考點定位為函數(shù)應(yīng)用問題，考查學(xué)生對新定義“燃油效率的理解和對函數(shù) 圖象的理解.【名師點睛】此題考查對新定義“燃油效率的理解和讀圖能力，此題屬于中等題，有能力要求，貼近學(xué)生生活，要求按照“燃油效率的定義，汽車每消耗1升汽油行駛的里程，可以斷定“燃油效率高的車省油，相同的速度條件下，“燃油效率高的汽車，每消耗1升汽油行駛的里程必然大

7、，需要學(xué)生針對四個選擇只做出正確判斷5.【2021高考福建，理15】一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x xn nN* ，其中Xk k 1,2- , n 稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤即碼元由o變?yōu)?或者由1變?yōu)閛，某種二元碼 為x7的碼元滿足如下X4X5X6X70,校驗方程組：X2X；XX70,XX；XX70,其中運算定義為:000,01 1,1 0 1,1 1 0現(xiàn)一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定 k等于.【答案】5.【解栃】由題意得相同傾字經(jīng)過運算后河0,不同數(shù)字運算后沏1-由

8、冬令壬WtMr-O可判斷后4個 隸宇出錯；由=0可判斷后2個數(shù)字沒錯，冃卩出錯的是第4個或第§個；由 xLe可三占3 t-二o可判斷出錯的是第疔個，綜上，第§位發(fā)主碼元錯誤【考點定位】推理證明和新定義.【名師點睛】此題以二元碼為背景考查新定義問題，解決時候要耐心讀題，并分析新定義的特點，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)那么和要求進行邏輯推理和計算等，從而到達(dá)解決問題的目的.6.【2021高考山東，理11】觀察以下各式：C；40C? C341c5 c5 c5 42；C； C； C； C； 43照此規(guī)律，當(dāng)n N時,C2n 1 C2n 1C；n1【答案】4n 1【解析】因為第一個等式右端為尸.

9、第二個等式右端為；41 = 41"1 ；第三個等式右端為；4;=4-l由歸細(xì)推理得*第耳于等式冷 CL1+ CT + - + C；T = 4：-所以答需應(yīng)塡；JT【考點定位】1、合情推理；2、組合數(shù).【名師點睛】此題考查了合情推理與組合數(shù)，重點考查了學(xué)生對歸納推理的理解與運用，意 在考查學(xué)生觀察、分析、歸納、推理判斷的能力，關(guān)鍵是能從前三個特殊的等式中觀察、歸 納、總結(jié)出一般的規(guī)律，從而得到結(jié)論 此題屬根底題.7.【2021江蘇高考，23】本小題總分值10分集合 X 1,2,3，Yn1,2,3, ,n(n N*)，Sn(a, b) a整除b或b整除a,a X,b £ ,令f

10、(n)表示集合&所含元素的個數(shù)1寫出f (6)的值;2當(dāng)n 6時，寫出2nn,n 6t23n1n 12,n6t 123nn22,n6t223n1n2-,n6t323nn12,n6t423n1n 22,n6t 523f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明nnn【答案】113 2f nnnn試題分析：1根據(jù)題意按 a 分類計數(shù)：a 1,b 1,2,3,4,5,6; a 2,b 1,2,4,6; a 3,b 1,3,6;共【解析】13 個2由1知 a 1,b 1,2,3； , n; a 2,b 1,2,4； ,2k；a 3,b 1,3/ ,3k;(k N*)，所以當(dāng)n 6時，f(n)的表達(dá)式要

11、按2 3 6除的余數(shù)進行分類,最后不難利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明試題解析：1f 613.(2當(dāng)池丄6時,芹=+1x 亠一科+；71 + 2+；-_h =6 + 2r : H 刃 7齊+ 2+! *3V J下而用數(shù)學(xué)歸納法證明， 當(dāng) = 6W幾6 = 6 + 1仝芒二理 銷論戚立；23 假設(shè)歸 仏三6)時結(jié)論咸立，那么垃=41時，S：j在S點基硼上新塔加的元壷在lk-1,1假設(shè)k16t，那么k6 t15，此時有fk1fk3k2k1 k 1k 12結(jié)論成立；23，2假設(shè)k16t1,那么k6t，此時有fk1fk1k2k2k11 1k 11k 12，結(jié)論成立;233假設(shè)k16t2，那么k6t1，此時有fk

12、1fk2k2k1k 12k 12結(jié)論成立；234假設(shè)k16t3，那么k6t2，此時有fk1fk2k2k11 k1k 12結(jié)論成立；235假設(shè)k16t4，那么k6t3，此時有fk1fk2k22,k 1 ,3,k1中產(chǎn)生，分以下情形討論:k 233an 12an , an w 18,2an 36, an 18可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意n k , an是3的倍數(shù)，當(dāng)k 12匕上_1，結(jié)論成立;236假設(shè)k1 6t5，那么k 6t 4，此時有f k 1f k 1 k 2 k k 1123k11k 12k 12，結(jié)論成立.23綜上所述，結(jié)論對滿足n6的自然數(shù)n均成立.【考點定位】計數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法【名

13、師點晴】用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為： 歸納奠基：證明當(dāng)取第一個自然數(shù)no時命題成立； 歸納遞推：假設(shè) n k， ( k N ， k n0)時，命題成立，證明當(dāng) n k 1時，命題成立； 由得出結(jié)論.8.【2021高考北京，理20】 數(shù)列 an滿足：a N* , a, < 36 ,且2an, an w 18 ,an 1n1,2，.2an 36, an 18記集合Man |n N* .I假設(shè)a 6，寫出集合M的所有元素；n假設(shè)集合 M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是 3的倍數(shù)；川求集合M的元素個數(shù)的最大值.【答案】1M 6,12,24 , 2證明見解析，

14、38【解析】I由an 12an，an 18，可知：2an 36, a,18a16,12,a324, a412,M 6,12,24ak是3的倍數(shù)，由n因為集合 M存在一個元素是 3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)k 1時，那么 M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果 k 1時，因為ak2ak136，所以2ak1是3的倍數(shù)，于是ak1是3的倍數(shù)，類似可得，ak2,a1都是3的倍數(shù)，從而對任意 n 1, an是3的倍數(shù)，因此M的所有元素都是 3的倍數(shù).(III)由于曲中的元素都不超過 汕 由起< 36,< 36類愎可得< 36,苴汶援中的 元橐個數(shù)最多除了前而兩個蠟外，都是4的倍熱 因次第二個數(shù)必宦犬

15、偶如 由玉的是義可知.第三 個數(shù)圧后面餉數(shù)必宦是4的倍數(shù)，另外，口中的數(shù)除以9的余孰由定義可知，占-和粗除以9的余 數(shù)一樣， 假設(shè)耳中有' 的倍驗 由 知：所有的耳邯是£的倍飆 所以屯都*3®倍熱 所以屯除兇9的 余縈溝溝£ &辦島：或h 3, 6, J.，或工4 Oi .:而細(xì)&余3且是4的倍數(shù)只有1二 除以9余右且是4的倍敵只有1亠除以9余?且是4的倍數(shù)只有那么策中的數(shù)叢第三項起最多2 項，加上前面兩項，最爭4項. 空中沒有的倍數(shù)，那么邑都不是的借驗 對于色隱以的條數(shù)只能是1, 1二：1工-中的個，從冬起，耳：除UU的余敎?zhǔn)?乙J，&#

16、163;- ?，匚1，乙丄和:不斷的貞項循環(huán)(可能從：4 £* 了或E開始)，而陳以9的余數(shù)是1, 4,品、且星4的倍數(shù)環(huán)大于迪貝有爼二,4* £, !<. 匯，所園X中的頃加上前兩頃最猙&項，那么込=1011 2, 4,&16, 32, 28, 20*項數(shù)為4所段黑合陽的元素平數(shù)冊最大值機考點定位：1.分段函數(shù)形數(shù)列通項公式求值；2.歸納法證明；3.數(shù)列元素分析.【名師點睛】此題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明方法，即考查了數(shù)列分段形函數(shù)求值，又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力，此題屬于拔高難題，特別是第二、三

17、兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學(xué)生【2021高考上海，理23】對于定義域為R的函數(shù)g X，假設(shè)存在正常數(shù)，使得COSg X是以 為周期的函數(shù)，那么稱g X為余弦周期函數(shù)，且稱 為其余弦周期.f X是以 為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為R.設(shè)fX單調(diào)遞增，f 00, f41驗證xh x x sin-是以 63為周期的余弦周期函數(shù)；2設(shè) ab 證明對任意cfa , f b，存在Xoa,b，使得 f X0c ；3證明:“ Uo為方程cos f X1在o,上得解的充要條件是“ Uo為方程cosf x 1在,2 上有解，并證明對任意x 0,都有f xf x f【答案】1詳見解析2詳見解析3詳見解析v【解析

18、】證朋；易見Z;( .Yl = .r+5in-的定義域為R ,3對任意.r= R , J?(= x+6th-sin "丁 = h .r i 6t,所以CO5 ；3址兀土6町二 cas| 斤(兀)=cos ( x| p即;! I工I是妙&匸曲余弦周期的余弦周期函數(shù).2由于f x的值域為R，所以對任意c f a , f b ,c都是一個函數(shù)值，即有x0 R，使得f xc.假設(shè)Xo a，那么由f x單調(diào)遞增得到c f xof a，與c f a , f b矛盾，所以x0 a.同理可證x0 b.故存在x0a,b使得f x0c.3假設(shè) Uo 為 cosf x 1 在 0,上的解，貝 y cos f Uo 1，且 Uo,2 ，cosf u0cosf u01,即 u0 為方程 cosf x 1 在 ，2 上的解.同理，假設(shè)U0 為方程cosfx1在 ，2上的解，貝y U0為該方程在 0,上的解.以下證明最后一局部結(jié)論.由2所證知存在0 冷 x2x3x4，使得fx i , i 0, 1, 2, 3,4.而 冷廠 是函數(shù)cosf x的單調(diào)區(qū)間，i 0, 1, 2 , 3.與之前類似地可以證明：u0是cosf x 1在0,上的解當(dāng)且僅當(dāng)u0是cosf x1在 ,2上的解.從而cosf