8第八章-系統(tǒng)仿真結(jié)果分析

1、第八章系統(tǒng)仿真結(jié)果分析采用統(tǒng)計(jì)方法來估計(jì)系統(tǒng)的性能，利用統(tǒng)計(jì)分析方法要求樣本數(shù)據(jù)具有統(tǒng) 計(jì)獨(dú)立性，但實(shí)際上在很多情況下這個(gè)條件并不能滿足。解決這一難題的途徑無非兩條：一是對樣本序列進(jìn)行處理，使之盡量滿足 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性條件；二是在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法的根底上進(jìn)行修正使之適合于處理相關(guān) 的樣本序列。終態(tài)仿真是指仿真實(shí)驗(yàn)在某個(gè)持續(xù)事件段上運(yùn)行。穩(wěn)態(tài)仿真那么是通過系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)，希望的得到一些系統(tǒng)性能測度指標(biāo)在 系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)的估計(jì)值。有必要采用方差減小技術(shù)，即在相同的仿真運(yùn)行次數(shù)下獲得較小方差的仿 真輸出結(jié)果。 8.1終態(tài)仿真的結(jié)果分析重復(fù)運(yùn)行法所謂重復(fù)運(yùn)行方法是指選用不同的獨(dú)立隨機(jī)數(shù)序列，采用相同的參數(shù)、初

2、 始條件以及用相同的采樣次數(shù)n對系統(tǒng)重復(fù)進(jìn)行仿真運(yùn)行。對于一終態(tài)仿真的系統(tǒng)，由于每次運(yùn)行是相互獨(dú)立的，因此可以認(rèn)為每次仿真運(yùn)行結(jié)果Xi i 1,2, ,n是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。隨機(jī)變X量的期望值E(X)地估計(jì)值卩為:Xjt n 1,1i 2八 S (n)/n(8.1)其中，s2 n X(n) Xj / n 1(8.2)j 1nX n Xj(8.3)j ia為置信水平。根據(jù)中心極限定理，假設(shè)產(chǎn)生的樣本點(diǎn)Xj越多，即仿真運(yùn)行的次數(shù)越多，那么Xj越接近于正態(tài)分布，因此在終態(tài)仿真中使用仿真方法運(yùn)行的重復(fù)次數(shù)n不能選取得太小。序貫程序法在終態(tài)仿真結(jié)果分析得重復(fù)運(yùn)行法中，通過規(guī)

3、定次數(shù)得仿真 可以得到隨機(jī)變量取值的置信區(qū)間，置信區(qū)間的長度與仿真次數(shù)的平方根成反比。顯然，假設(shè) 要縮小置信區(qū)間的長度就必然增加仿真次數(shù)n。這樣就產(chǎn)生了另一個(gè)方面的問題，即在一定的精度要求下，規(guī)定仿真結(jié)果的置信區(qū)間，無法確定能夠到達(dá)精 度要求的仿真次數(shù)。這樣就可以對置信區(qū)間的長度進(jìn)行控制，防止得出不適用 的結(jié)論。一般說來，在同樣精度要求下，采用序貫程序法得出的仿真重復(fù)運(yùn)行次數(shù) 比利用解析法得到的次數(shù)要少。由式(8.1)可知，樣本X的100(1-a )%置信區(qū)間的半長為：tn 1, /2 X(8.4)式中XS / . n(8.5)S為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，n為重復(fù)運(yùn)行次數(shù)。設(shè)給定一準(zhǔn)確的臨界值,即限定

4、置信區(qū)間的長度為X ,X，并給定精度(1-a )。為了到達(dá)此精度要求，需要取足夠大的仿真運(yùn)行次數(shù)n，使之滿足:P(X X )1(8.6)假設(shè)仿真已經(jīng)重復(fù)運(yùn)行了no次(no 2),為了滿足置信區(qū)間半長的臨界值，必須選擇重復(fù)運(yùn)行次數(shù)n,使得：n no(8.7)且人 1* So(8.8)、n初始運(yùn)行仿真運(yùn)行的次數(shù)應(yīng)當(dāng)至少大于2，最好取4或5。由式8.8可以推出n應(yīng)當(dāng)滿足n2(8.9)顯然n的解就是滿足式8.9的最小整數(shù)。n mini:i亠盤(8.10)注意這里假定n次獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行結(jié)果總體方差(T2的估計(jì)值8(n)隨著增加n 次運(yùn)行沒有顯著的變化，因此可以用no的總體方差代替。實(shí)際上，利用no次仿真運(yùn)

5、行的方差S2(no)來替代n次仿真運(yùn)行的方差，會(huì) 使得計(jì)算得出的n值偏大。為了消除這種影響，一般采用序貫程序法，其步驟 為：1) 預(yù)定獨(dú)立仿真運(yùn)行的初始次數(shù)no 2，置n=no，獨(dú)立運(yùn)行n次；2) 計(jì)算該n次運(yùn)行的樣本X1,X2, ,Xn以及相應(yīng)的S2(n);3) 利用下式計(jì)算值:2t ? S (n)tn 1, /2?】n-如果 ，那么得到置信度為1 的滿足精度要求的置信區(qū)間X(n), X(n)，從而確定了相應(yīng)的仿真次數(shù)n；4否那么令n=n+1,進(jìn)行仿真得到樣本值xn;5返回步驟28.2穩(wěn)態(tài)仿真的結(jié)果分析(8.11)-Yin i 1V與仿真的初始條件無關(guān)。研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，需要研究一次運(yùn)行時(shí)

6、間很長的仿真。在仿真運(yùn)行過 程中，每隔一段時(shí)間即可獲得一個(gè)觀測值 Y，從而可以得到一組自相關(guān)時(shí)間序 列的采樣值丫1,丫2, ,Yn，其穩(wěn)態(tài)平均值定義為：limn如果V的極值存在，那么批均值法批均值法的根本思想是：設(shè)仿真運(yùn)行時(shí)間足夠長，可以得到足夠多的觀測值丫1,丫2, ，丫m，將Y i 1,2, ,m分為-批，每一批中有I個(gè)觀測值，那么每批觀 測數(shù)據(jù)如下：第一批：丫1,丫2, ,Y|第二批：丫1, 丫 2, ，丫2I第n 批:，丫nl首先對每批數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分別得出每批數(shù)據(jù)的均值(8.13)IYj 1 Skk 1由此可得總得樣本均值為:(8.14)此即v的點(diǎn)估計(jì)為了構(gòu)造v的置信區(qū)間，需要假定

7、Yj是獨(dú)立的且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，并具有相同的均值和方差。此時(shí) v的近似置信區(qū)間的計(jì)算公式為:式中Y1n 1n(Yj(8.15)S2(n)Y)(8.16)j 1n為觀測值的批數(shù)。穩(wěn)態(tài)序貫法在利用批均值法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，假定每批觀測值的均值是獨(dú)立的，但實(shí)際上 Y!,Y2, ,Yn是相關(guān)的。為了得到不相關(guān)的Yj，直觀的做法是：保持批數(shù)n不變, 不斷增大I，直到滿足不相關(guān)的條件為止。但是如果n選擇過小，那么Yj的方差加大，結(jié)果得到的置信區(qū)間就會(huì)偏大，為此n也必須足夠大。這樣為了到達(dá)精度要求就必須選擇足夠大的n和I，使得樣本總量m n I特別大，而仿真過程中時(shí)間的消耗也是必須考慮的重要因 素。穩(wěn)態(tài)序貫

8、法是一種盡可能減少m的方法，較好地解決了批長度確實(shí)定以及 仿真運(yùn)行總長度確實(shí)定問題，并能滿足規(guī)定的置信區(qū)間精度的要求。設(shè)仿真運(yùn)行觀測值的批長度為I，已經(jīng)有觀測值 ?n批(2)，考察相隔 為i的兩批觀測值批均值的相關(guān)系數(shù)i(l) CovYj,Yj 1, (j 1,2, ,n 1)i(l)隨I的變化規(guī)律大致有三種情況：1) i(l)為遞減函數(shù)(見圖8.1);2) i(l)的值一次或?qū)掖胃淖兎较颍缓髧?yán)格地減少到0 (見圖8.2)；3) i(l) 0或者隨著I變化沒有一定的規(guī)律。根據(jù)i (I)的以上3種特性，基于批均值法的穩(wěn)態(tài)序貫法原理如下：1) 給定批數(shù)因子n、f以及仿真長度mi( mi是n?f的

9、整數(shù)倍)，)的判 斷值為u，置信區(qū)間的相對精度，置信水平。令i=1。2) 進(jìn)行長度為mi的仿真運(yùn)行，獲得mi個(gè)觀測值丫1,丫2，丫口。3) 令 l mi /(n?f)，計(jì)算 Yk(k 1,2, ,nf)、 j(nf ,l)(可以取 j 1)。4) 如果j (n f ,l) u，那么說明mi太小，需加大，可以令i=i+1，且mi 2mj 1， 返回第2步獲取其余mi 1個(gè)觀測值。5) 如果j(nf,l) 0，那么說明增長仿真運(yùn)行長度無助于j(l)的判斷，執(zhí)行 第8步。6) 如果 0 j(n f ,l) u，計(jì)算 Yk(2l),(k 1,2, ,n f / 2)、j (nf /2,2l)(j 1)

10、，判斷j(l)是否具有第2類特征；如果j (nf/2,2l)j (nJ l)，貝U說明該j (l)確實(shí)具有第2類特征，需要進(jìn)一步加大mi，令i=i+1，且mi 2mi 1,返回第2步獲取其 余mi i個(gè)觀測值。7) 如果j (nf/2,2l) j (n仁I),那么說明j(l)已經(jīng)具有第1類特征，而且達(dá) 到j(luò)(l)判斷值n的I已經(jīng)得到，可以相信 j( n,fl)的值滿足獨(dú)立性要求，此時(shí) 用批均值法計(jì)算該n批長度為fl的置信區(qū)間。8) 計(jì)算Yk( n,fl),Y( n,fl)以及置信區(qū)間的半長tn 1,1/2.嚴(yán)2 n，最后得丫n, fl9) 如果？，說明精度不滿足要求，令i=i + 1,且mi

11、2mi 1，返回第2步 獲取其余mi 1個(gè)觀測值。10) 如果？，那么精度滿足要求，可以令估計(jì)值Y(n, fl)，仿真停穩(wěn)態(tài)序貫法較好地解決了批長度確實(shí)定以及仿真運(yùn)行總長度確實(shí)定問題， 并能滿足規(guī)定的置信區(qū)間精度的要求。再生法在批均值法中，選取批長度的原那么尚未完全確定，因此有必要考慮其它有 效的方法。再生法的思想就是要找出穩(wěn)態(tài)仿真過程中系統(tǒng)的再生點(diǎn)，由每個(gè)再生點(diǎn)開 始的再生周期中所獲得的統(tǒng)計(jì)樣本都是獨(dú)立同分布的，可以采用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法 對參數(shù)進(jìn)行評估并構(gòu)造參數(shù)值的置信區(qū)間在仿真過程中，隨著仿真時(shí)鐘的推進(jìn)，系統(tǒng)的狀態(tài)變量在不斷地發(fā)生變化如果在某一時(shí)刻觀測到了系統(tǒng)一組狀態(tài)變量的數(shù)值，而在其后的假設(shè)

12、干時(shí)間之后 又重新觀測到系統(tǒng)的完全相同的一組狀態(tài)變量的數(shù)值，那么稱所觀測到的系統(tǒng)為 再生系統(tǒng)。也就是說，在穩(wěn)態(tài)仿真中，系統(tǒng)從某一初始狀態(tài)開始運(yùn)行，假設(shè)干時(shí) 間后重新到達(dá)該狀態(tài)；這時(shí)可以認(rèn)為系統(tǒng)重新到達(dá)該狀態(tài)后的過程相對于以前 的過程是獨(dú)立的，這就相當(dāng)于系統(tǒng)在此時(shí)重新運(yùn)行。顯然在假設(shè)干時(shí)間后這種情 況將重新發(fā)生，因此這個(gè)重復(fù)的過程稱為系統(tǒng)的再生周期，而系統(tǒng)初始狀態(tài)重 復(fù)出現(xiàn)的時(shí)刻點(diǎn)稱為系統(tǒng)的再生點(diǎn)。再生法的缺點(diǎn)在于系統(tǒng)再生點(diǎn)的數(shù)量要求足夠多，而且每個(gè)再生周期應(yīng)該 是獨(dú)立的。而實(shí)際系統(tǒng)的仿真運(yùn)行中可能不存在再生點(diǎn)或者再生周期過長，這 樣就要求仿真運(yùn)行的總長度要足夠大。假設(shè)在M/M/1系統(tǒng)的觀測中有

13、p個(gè)完整的再生周期，令Yj為第j個(gè)再生周 期中各個(gè)實(shí)體等待時(shí)間的總和：njYjkjk 1nj為第j個(gè)再生周期中受到效勞的實(shí)體個(gè)數(shù)。Yj和nj都是獨(dú)立同分布 的隨機(jī)序列，然而Yj和nj并不相互獨(dú)立，因?yàn)檩^大的Yj值可指望有較大的nj值 伴隨產(chǎn)生。假設(shè)總觀測次數(shù)為N，各個(gè)實(shí)體的等待時(shí)間分別為1, 2, , n，貝U實(shí)體的平均等待時(shí)間的估計(jì)值由下式給出：_NW N ii 1如果將各個(gè)實(shí)體等待時(shí)間根據(jù)再生周期進(jìn)行分組，那么上式又可以寫為：W_ Y Y4 門2nN n式中:YjY是一個(gè)再生周期中實(shí)體等待時(shí)間綜合的估計(jì)值，n是一個(gè)再生周期中受到效勞的實(shí)體個(gè)數(shù)的估計(jì)值。當(dāng)p足夠大時(shí)，W是漸近無偏的，即：Ij

14、m e(W)e(w)而實(shí)際上，W對W的估計(jì)值是有偏的，因而需要估計(jì)統(tǒng)計(jì)值W的方差，以 確定平均等待時(shí)間的置信區(qū)間，由于 Yj和nj皆為隨機(jī)變量，為了防止直接處理隨機(jī)變量之比，引入變量Vj ：Vj Yj E(W) nj這是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，同時(shí)我們可以得到:E(Vj) E(Yj) E(W)E( nj)0時(shí)，以下隨機(jī)變設(shè)2為隨機(jī)變量Vj的方差，根據(jù)中心極限定理，當(dāng)p量：V為收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。式中從而有_ppp_V i Vj I Yj E(W)?i nj Y E(W)nj ij ij iP(乙 /2乙 /2)1(8.17)(8.18)式中乙/2為對應(yīng)顯著水平為的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

15、臨界限。將式(8.17)代入式(8.18),可以得出：P(乙 p/2 Y E(w)nZlp/2) 1即P(W Zl /2 E(W) WZl /2) 1從而得到平均等待時(shí)間的近似100(1)%置信區(qū)間為：W 命 8.3方差減小技術(shù)公用隨機(jī)數(shù)法(CRN)公用隨機(jī)數(shù)法是應(yīng)用于對兩個(gè)或者幾個(gè)不同的系統(tǒng)模型進(jìn)行比擬的情況。 采用公用隨機(jī)數(shù)法的目的就是在其它環(huán)境條件完全相同的情況下，盡量消除因 為選取隨機(jī)數(shù)造成的仿真運(yùn)行結(jié)果的差異，而使得所觀測到的差異僅僅只是來 源于系統(tǒng)模型本身的差異。公用隨機(jī)數(shù)法的思想為：在不同模型的仿真運(yùn)行過程中，采用相同的單位 均勻分布種子隨機(jī)數(shù)流。考慮兩個(gè)模型，設(shè)x1 j和X2j

16、分別是從第1個(gè)模型和第2個(gè)模型的仿真運(yùn)行 中得到的第j個(gè)獨(dú)立再生周期中的數(shù)據(jù)，對E(X1j) E(X2j)進(jìn)行估計(jì)。如果對每個(gè)模型產(chǎn)生了 n個(gè)再生周期，并且設(shè)定Z j Xj X 2j , j 1,2, n那么 E(Z j )，而 Z(n)nZjj 1是的一個(gè)無偏估計(jì)由于Zj是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此，我們可以得出:DZ( n)D(Z j) D(Xij ) D(X2j) 2Cov(Xij,X2j)nn如果兩個(gè)模型得運(yùn)行是獨(dú)立得，那么X i j和X 2j是獨(dú)立的，即Cov(Xi j , X 2 j)0 ；而如果能夠使得X1 j和X2j是正相關(guān)的，即使Cov(X1j , X2j ) 0，這樣得到的

17、估計(jì)Z(n)的方差就減小了。為了實(shí)施公用隨機(jī)數(shù)法，需要使各個(gè)模型中的隨機(jī)數(shù)同步，即在一個(gè)模型 中使用于一個(gè)具體目的的隨機(jī)數(shù)，在所有其它模型中也應(yīng)該使用于同一目的， 在仿真中到達(dá)這種同步的一般原那么為：1) 如果能夠有幾個(gè)可以同時(shí)工作的不同隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，那么可以用一個(gè)發(fā) 生器專門為一個(gè)指定的隨機(jī)變量產(chǎn)生種子。不同的隨機(jī)變量用不同的隨機(jī)數(shù)發(fā) 生器；2) 實(shí)現(xiàn)產(chǎn)生出所需要的隨機(jī)數(shù)并存儲起來，在對各個(gè)模型仿真運(yùn)行時(shí)按 照需要取用這些隨機(jī)數(shù)；3) 使用逆變換法產(chǎn)生隨機(jī)變量，因?yàn)檫@種方法每產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)變量僅僅 只需要一個(gè)單位均勻分布的隨機(jī)數(shù)。842對偶變量法(AV)對偶變量法是一種應(yīng)用于單個(gè)系統(tǒng)模型仿真運(yùn)

18、行時(shí)的方差減小技術(shù)。對于同一個(gè)系統(tǒng)模型，每一次仿真運(yùn)行中得到的觀測數(shù)據(jù)時(shí)存在差異的， 同樣這種差異可能由隨機(jī)數(shù)的選取而引起，采用對偶變量法的目的就是盡量消 除這種差異。對偶變量法的中心思想就是在系統(tǒng)模型的兩次仿真運(yùn)行過程中，設(shè)法使得 第1次運(yùn)行中的小觀測值能夠被第2次仿真運(yùn)行中的大觀測值所補(bǔ)償，或者是 反過來。這就相當(dāng)于采用兩次運(yùn)行中觀測值的平均值作為分析的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)點(diǎn)， 而這個(gè)平均值與所估計(jì)的觀測值的期望更加接近。一般情況下，對偶變量法使用互補(bǔ)的隨機(jī)數(shù)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型的兩次運(yùn)行。也就是說，如果Uk是用于第1次運(yùn)行中某一具體目的的單位均勻分布隨機(jī)數(shù)，那么 在第2次運(yùn)行中將(1-Uk )用于同一目的。

19、考察系統(tǒng)模型所進(jìn)行的兩次仿真運(yùn)行，設(shè)定每次運(yùn)行產(chǎn)生n個(gè)再生周期，這樣可以構(gòu)成一系列觀測值對：(x1(i),xj2), ,(xni),x(2)。各觀測值對相互獨(dú)立，令X j丄以丁公卩)，j 1,2, ,n2 j j而X(n) 1 0 Xj nj 1 J為E(Xj)的點(diǎn)估計(jì)，由于X j是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此有D(Xj) D(X(。)D(X(2) 2Cov(X (1), X(2)DX( n)v J 7JJJJnn如果兩次運(yùn)行是相互獨(dú)立的，那么Cov(x(1),x(2) 0。如果能設(shè)法使得 x(和X (2)之間形成負(fù)相關(guān)，也就是使Cov(X(1),X(2) 0，方差便會(huì)減小。843控制變量法控制變量法是利用隨機(jī)變量之間的相關(guān)性來實(shí)現(xiàn)方差衰減的目的。設(shè)丫是某一個(gè)輸出隨機(jī)變量，我們要估計(jì) E(Y