《函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)》

1、函數(shù)的最大函數(shù)的最大(小小)值與導(dǎo)數(shù)值與導(dǎo)數(shù) (1) 求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域 (2) 求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)f(x)； (3) 求解方程求解方程f(x)=0； (4) 檢查檢查f(x)在方程在方程f(x)=0的根的左右的根的左右的符號，并根據(jù)符號確定極大值與極小值的符號，并根據(jù)符號確定極大值與極小值. .口訣：口訣：左負(fù)右正為極小，左正右負(fù)為極大左負(fù)右正為極小，左正右負(fù)為極大. .1. 1. 用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)極值的用導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)極值的步驟：步驟： 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮，如果存在，如果存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)M滿足：滿足： 1) ) 最大值最大值: :

2、（1）對于）對于任意任意的的xI，都有都有f(x) M; （2）存在存在x0 I，使得，使得f(x0) = M那么，我們稱那么，我們稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x) 的的最大值最大值 2.最值的定義最值的定義極大值極大值0(1)()0fx(2)如果如果在在x0附近附近的的左側(cè)左側(cè) ,右側(cè)右側(cè) 那么那么f(x0) 是極大值是極大值( )0fx ( )0fx 2) 2) 最小值最小值: : 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮，如果存在，如果存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)M滿足：滿足： （1）對于）對于任意任意的的xI，都有都有f(x) M; （2）存在存在x0I，使得，使得f(x0) = M

3、那么，我們稱那么，我們稱M是函數(shù)是函數(shù) y=f(x) 的的最小值最小值 極小值極小值0(1)()0fx(2)如果如果在在x0附近附近的的左側(cè)左側(cè) ,右側(cè)右側(cè) 那么那么 f(x0) 是極小值是極小值( )0fx ( )0fx 函數(shù)的最大函數(shù)的最大(小小)值與導(dǎo)數(shù)值與導(dǎo)數(shù) 1) 1)在某些問題中，往往關(guān)心的是函數(shù)在整個在某些問題中，往往關(guān)心的是函數(shù)在整個定義域區(qū)間上，哪個值最大或最小的問題，這定義域區(qū)間上，哪個值最大或最小的問題，這就是我們通常所說的就是我們通常所說的最值問題最值問題. . 2)2)在在閉區(qū)間閉區(qū)間 a,b 上的函數(shù)上的函數(shù)y= =f( (x) )的圖象是一的圖象是一條條連續(xù)不斷連

4、續(xù)不斷的曲線的曲線, ,則它則它必有必有最大值和最小值最大值和最小值. .xy0abx1 1x2 2x3 3x4 4f( (a) )f( (x3 3) )f( (b) )f( (x1 1) )f( (x2 2) )gg 新課新課oxyaboxyaboyoxyaby= =f( (x) )y= =f( (x) )y= =f( (x) )xaby= =f( (x) )函數(shù)在開區(qū)間函數(shù)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)內(nèi)不一定有最值不一定有最值 思考：如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，思考：如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出怎樣才能判斷出f(x3)是最小值是最小值, 而而f(b)是最大值呢？是最大值呢？

5、 y=f(x)觀察下面這個定義在區(qū)間觀察下面這個定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x) 的的圖象：圖象：xoab by1x2x3x發(fā)現(xiàn)圖中發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，是極小值，_是極大值，是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值是，最小值是_。13(),()f xf x2()f x( )f b3()f x (2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)( (端點(diǎn)處端點(diǎn)處) )比較比較, ,其中最大的一個為最大值，最小的一個最小值其中最大的一個為最大值，最小的一個最小值. . 求求f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的最值的步驟上的最值的步驟(1)(1)求求

6、f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值內(nèi)極值( (極大值或極小值極大值或極小值) )解解:24yx 當(dāng)當(dāng) 變化時變化時, 的變化情況如下表的變化情況如下表:,yy 例例1、求函數(shù)、求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的最上的最大值與最小值。大值與最小值。0,3令令 ,解得解得0y 22或xx x（舍去舍去）20(0,2)(2,3)x( )f x ( )f x0343 極小值極小值4131443yxx在區(qū)間在區(qū)間0,3上，當(dāng)上，當(dāng)x=0時，函數(shù)的最大時，函數(shù)的最大值為值為4，當(dāng)，當(dāng)x=2時，最小值為時，最小值為43例2：已知函數(shù)已知函數(shù)(1)求求 的單調(diào)減區(qū)間的單調(diào)減區(qū)間(2)若若 在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值為

7、上的最大值為 , 求該求該 區(qū)間上的最小值區(qū)間上的最小值( )f x( )f x 2,2 20所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(, 1)(3,)， 解解:2(1)( )369f xxx ( )0令f x 23690即xx 13解得:或xx 32( )39f xxxxa 2(2)( )369f xxx 令令 解得解得( )0f x 13或xx （舍去）（舍去） x( )f x( )f x ( 2, 1) 1 ( 1,2) 205 a 2 2 a 22 a 2220a2即a 最小值為最小值為527 例2：已知函數(shù)已知函數(shù)(2)若若 在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值為上的最大值為 ,求該區(qū)間上的

8、最小值求該區(qū)間上的最小值32( )39,f xxxxa ( )f x 2,2 20所以函數(shù)的最大值為所以函數(shù)的最大值為 ,最小值為最小值為(2)22fa ( 1)5fa 當(dāng)當(dāng) 變化時變化時, 的變化情況如下表的變化情況如下表:( ),( )fxf x x解解:2(1)( )33f xx 令令 解得解得( )0f x 11或xx 所以函數(shù)的極大值為所以函數(shù)的極大值為 ，極小值為，極小值為 2 a 2 a 當(dāng)當(dāng) 變化時變化時, 的變化情況如下表的變化情況如下表:( ),( )fxf x x- + x( )f x( )f x ( 2, 1) 1 ( 1,1) 1(1,3)0-2 a 2 a 0極小值

9、極小值極大值極大值3( )3, 2,3f xxxa x (1)求求 的極值的極值(2)當(dāng)當(dāng) 在什么范圍內(nèi)取值時，曲線在什么范圍內(nèi)取值時，曲線 與與 軸總有交點(diǎn)軸總有交點(diǎn)( )f xxa( )yf x 例例3：已知函數(shù)已知函數(shù)218即a2a 18a 曲線曲線 與與 軸總有交點(diǎn)軸總有交點(diǎn)x( )yf x 20180aa 由（由（1）可知，函數(shù)在區(qū)間）可知，函數(shù)在區(qū)間 上的極大值上的極大值為為 ，極小值為，極小值為 ，又因，又因 ， 2a ( 2)2fa(3)18fa 2,3 2a (2)所以函數(shù)的最大值為所以函數(shù)的最大值為 ，最小值，最小值為為例例3：已知函數(shù)：已知函數(shù)(2)當(dāng)當(dāng) 在什么范圍內(nèi)取值

10、時，曲線在什么范圍內(nèi)取值時，曲線 與與 軸總有交點(diǎn)軸總有交點(diǎn)3( )3, 2,3f xxxa x xa( )yf x 練習(xí)：練習(xí)：1 1.函數(shù)函數(shù) 的最大值為的最大值為( )( )cos ,0,2f xxx x.0632ABCD2.2.函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值是上的最大值是 ，最小值是最小值是 ，若，若 ，則，則 ( )( )( )yf x , a bMmMm( )fxA. 等于等于0 B. 大于大于0 C.小于小于0 D.以上都有可能以上都有可能3 3.若函數(shù)若函數(shù) ，則，則 （ ）3( )6 12f xxx( )f xA.最大值為最大值為22，最小值為，最小值為2B.最大值為最大值為22，無最小值，無最小值C.最大值為最大值為-22，最小值為，最小值為2D.即無最大值也無最小值即無最大值也無最小值DC2.( )ln2 ,1,f xxxxe4 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為_.5.( ) 1,2_.xxf xe函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0e (2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)( (端點(diǎn)處端點(diǎn)處) )比較比較, ,其中最大的一個為最大值，最小的一個最小值其中最大的一個為最大值，最小的一個最小值. . 求求f(x)在在閉