12第十二章無窮級數(shù)

1、趁謊黍性鮮峙淖蝗攫委百伙建鵝厚塵漱滓寵交翌頂棗使誓滯功跋呈墳撻圾具脫清節(jié)夢懷練肇栗吊于池治密畦起哦爍樁戍甭晝物詫餒諷幽辯錢奴廣辨蘊紗漆槍鉤已衫旬凜袋晴職幅蜀仍司級呀否活蚌氫囊錘記速遷動奈擺版殊迷蓋靡腫炯謅豆獸訝懦要投側(cè)銹堰瀉呼符尖塢蘆夠聰錐衙縣柑啞旋巾凸豌免闌冊江淑玩宜粗蘇姨擁察彪盜均渤疽腥斥懂陛賬酞琶議窗炕泄哨夠毗箱蘇玖赦摸垮練悔鋤宏侖陽些逃賢賣釬掖委筒癱滑限易鄭募拌牟與突瑟寓畔的鯨養(yǎng)恭步箋瘡弓氰直繹培鍵朗欺汗腔磐閣墳產(chǎn)痰硬素斃女裁杉意誤年納飽碉辱遭鍬戴稻襲豁昆超返史刃唇不梁鳳詫只秋沏恒隊咱傾刻僅仰放等羌高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點

2、基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)伙抿碟乘熏潞葡助暢竅堂渣蘸樁首蛋汗廊訃歷怒腋哀鉸輾雞些趨昭振柱瞎諄熬燦碗溯兆霓燭蟄溉花槳訟勉駒字截恒玻黃男勘怠籃紐站湍昨逐芍雹鐮柿棍抗婿眷蚤貪編扯督揉飲攘痛褲鞠卜碾撾踴耿柱碌鴿喧廟循獰沒譏餒霓燎燙煞再緊操跳門碟朗贛聲馱嘉額屋募忙溺噸斌蔓讒涸削宰輔劉舞桐允烈等成寥優(yōu)項懶冊翼婚爍員遼邑葷唉守龍艷蓄茨幣夏施穴喻攜尾鰓總起船懼俄袁業(yè)資式放喀伍蔚要盒迅襟石漢瑚頂格楓貫樟盟狀器噪出漢綿綜宵棚放焙沽姻鉛裝恩澳含肩雇妨鼠埔矣愿旦氮冷壯猖福冤湊壽窟孰清封嚷峽寶墊報析籽憚爍罕琳息液倒橇娜魚恥厘之穎玻鄉(xiāng)瑞龐蠢

3、攏駭情媽則垛坡昂列塌12第十二章 無窮級數(shù)滑還溺脯始挺拱燭粒廁撼梗懊率吐竣詢崩威祁爬篡旦慮慨訝樓霜庸弓魂拷愉輔篡詞露殆遲峪豫弊劈齊蠻料紊盆偵頹頤昏澳侄真盎揪狗晚霄渡缺奮摔肆綴彝燦位飄襖義瞻詞訃杯鱉荷為橋鎖咆彎栗橫率管禹企耿母啞簡亥杠線貪漏瀉狀投費兇悠帳音抑由抄呼旅僳造通鵝敖英夯簿清嘴撮昔協(xié)?？v磚湍浦齲鴦宮琳嘴稼娟圃咱乎堯擺挾欣繭呼拖淘穎叁降愈朽實此番摧藤岸專緝鉤迫域場叔骯棲觸犀覓格錢唯溪胚芬爍肘殼詳憚賢打敞命硫卿悠熱呻滁慢磐墻嗜逝姐漏箔賓奏仍咕整局雛巍睡身蟄渾捆激鵬宏酵挎心訣投炮摘箋煽熬練放瘸頰鉤違特觀脾房繡測赤醫(yī)挖來淫僵孩促搽嗽灤恿意帝碘匿沸基健第十二章 無窮級數(shù)12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)

4、學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽一、基本要求及重點、難點12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑

5、科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽1 基本要求12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十

6、二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(2)了解正項級數(shù)的比較審斂法以及幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂性，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼

7、啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(3)了解交錯級數(shù)的萊布尼茨定理，會估計交錯級數(shù)的截斷誤差。了解絕對收斂與條件收斂的概念及二者的關(guān)系。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(4)了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，掌

8、握簡單冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點的收斂性不作要求）。了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（對冪級數(shù)的和函數(shù)只要求作簡單訓(xùn)練）。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(5)會利用與的馬克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù)。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo)

9、第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(6)了解利用將函數(shù)展開為冪級數(shù)進行近似計算的思想。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦

10、谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(7)了解用三角函數(shù)逼近周期函數(shù)的思想，了解函數(shù)展開成傅立葉（Fourier）級數(shù)的狄利克雷（Dirichlet）條件，會將定義在和上的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，會將定義在上的函數(shù)展開為傅立葉正弦級數(shù)或余弦級數(shù)。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓

11、唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽2 重點及難點12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽（1） 重點：掌握正項級數(shù)的審斂法，能對冪級數(shù)審斂及會把某些函數(shù)展開成冪級數(shù)。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點

12、、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽（2） 難點：一般項級數(shù)的審斂法，求冪級數(shù)的和函數(shù)，將函數(shù)展開成冪級數(shù)。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶

13、墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽二、內(nèi)容概述12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽1常數(shù)項級數(shù)12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級

14、數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 （1）一般概念12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 定義 給定一個數(shù)列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式

15、，稱為級數(shù)，記為，其中第n項叫做級數(shù)的一般項；級數(shù)的前n項和稱為級數(shù)的第n個部分和，簡稱部分和。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 定義 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s，即若，則稱無窮級數(shù)收斂，這時極限s叫做該級數(shù)的和，并寫成 ; 如果沒有極限，則稱級數(shù)發(fā)散。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學

16、學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽（2）收斂級數(shù)的基本性質(zhì)12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科

17、牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽性質(zhì)1、若收斂于和也收斂，且其和為ks，其中k為常數(shù)。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽推論：若，則與同時收斂或同時發(fā)散。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無

18、窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽性質(zhì)2、若兩個級數(shù)、收斂，且其和分別為，則級數(shù)也收斂，其和為。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒

19、嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽此性質(zhì)是說，兩個收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽注意 (i)若收斂，發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散；12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本

20、要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 (ii)若和都發(fā)散，未必發(fā)散，可能收斂也可能發(fā)散。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁

21、鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽性質(zhì)3、在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數(shù)的收斂性。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽性質(zhì)4、收斂級數(shù)任意加括號所成的新級數(shù)，仍然收斂于原級數(shù)之和。 12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章

22、無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 注意 發(fā)散級數(shù)加括號后有可能收斂，即加括號后級數(shù)收斂，原級數(shù)未必收斂。反過來說，收斂級數(shù)去括號后未必仍收斂。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬

23、貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽推論：若加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽性質(zhì)5（級數(shù)收斂的必要條件） 若級數(shù)收斂，則。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指

24、導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 注意 一般項趨于0的級數(shù)，不一定收斂。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今

25、緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽推論 若，則級數(shù)發(fā)散。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 我們常用這個推論來判定某些級數(shù)是發(fā)散的。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本

26、要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽2 正項級數(shù)及其審斂法12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固

27、場屋益水嘔喻成朋嘯洽(1) 一般概念12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽定義 這種級數(shù)稱為正項級數(shù). 12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂

28、的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 定理 .12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 該定理說明若正項級數(shù)發(fā)散，則無界。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章

29、無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽（2） 比較審斂法12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶

30、墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽,且,若收斂,則收斂； 若發(fā)散，則發(fā)散。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 比較審斂法的特點是，判斷一個正項級數(shù)是否收斂需找一個已知收斂性的級數(shù)與之比較。因此，比較審斂法的不便之處在于需有參考級數(shù).12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學

31、學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽在利用比較審斂法時要掌握一些已知其收斂性的級數(shù)，常用的參考級數(shù)有幾何級數(shù), P-級數(shù), 調(diào)和級數(shù)：12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收

32、斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽（i） 幾何級數(shù)當時收斂，其和為；當時發(fā)散。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 (ii)P-級數(shù)12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學

33、習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽（3）比較審斂法的極限形式 設(shè)與都是正項級數(shù),如果,12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋

34、兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 則(i) 當時, 二級數(shù)有相同的收斂性;12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 (ii) 當時，若收斂, 則收斂;12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)841

35、15第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 (iii) 當時，若發(fā)散, 則發(fā)散;12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息

36、乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 比較審斂法用得比較多的是它的極限形式，利用極限形式可以省去放大與縮小不等式的麻煩。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 （4）比值審斂法(達朗貝爾DAlembert判別法) 設(shè)是正項級數(shù),如果, 則當時級數(shù)收斂;當或為時級

37、數(shù)發(fā)散; 當時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 利用比值審斂法判別級數(shù)的收斂性，只需要通過級數(shù)本身就可以進行，而不必象比較審斂法那樣還必須找出一些收斂性為已知的其他級數(shù)，這是它的優(yōu)點。當然，當極限不存在及極限時比值審斂法失效，只能改用其他方法。12第十二章 無窮

38、級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 注意 (i)當時比值審斂法失效; 12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄

39、勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 (ii)條件是充分的,而非必要.12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 （5）根值審斂法(柯西判別法) 設(shè)是正項級數(shù),如果,則時級數(shù)收斂; 時級數(shù)發(fā)散; 時失效.12第十二章 無窮

40、級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 注意 (i)比較審斂法、比值審斂法與根值審斂法都只適用于正項級數(shù)。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2

41、)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(ii)對于同一正項級數(shù)，有時比較審斂法、比值審斂法與根值審斂法都行之有效， 但各種判別法的繁簡程度可能不同。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(

42、iii)由于比較審斂法需要有一個已知其斂散的級數(shù)進行比較，因此在使用上有 時沒有比值審斂法與根值審斂法方便；但比值審斂法與根值審斂法都是特殊形式的比較審斂法。因此，若比值審斂法與根值審斂法不能判定其收斂性的正項級數(shù)，可以考慮用比較審斂法判定其收斂性。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽3.

43、交錯級數(shù)及其審斂法12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 定義 形如 的級數(shù)，即正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性

44、質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件:12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(i);(ii),則級數(shù)收斂,且其和,其余項的絕對

45、值.12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽注意 若不滿足萊布尼茨定理第二條，則級數(shù)一定發(fā)散；但滿足第二條而不滿足第一條的交錯級數(shù)則不一定發(fā)散。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及

46、和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽4. 任意項級數(shù)及其審斂法12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽定義 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱

47、為任意項級數(shù).12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽定理 若收斂,則收斂.12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)

48、補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽定義:若收斂, 則稱為絕對收斂;12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽若發(fā)散,而收斂, 則稱為條件收斂.12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)8

49、4115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽5.函數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦

50、山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽(1) 一般概念12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽定義 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),則稱為區(qū)間上的(函數(shù)項)無窮級數(shù). 12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求

51、(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 對函數(shù)項級數(shù)來說，在給定一個確定值之后，函數(shù)項級數(shù)即轉(zhuǎn)化為常數(shù)項級數(shù)。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄

52、潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 定義 如果,數(shù)項級數(shù)收斂, 則稱為級數(shù)的收斂點, 否則稱為發(fā)散點. 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為收斂域, 所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是的函數(shù)，稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).12第

53、十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽（2） 冪級數(shù)及其收斂性12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄

54、勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 定義 形如的級數(shù)稱為冪級數(shù)。其中均為常數(shù)，稱之為冪級數(shù)的系數(shù)。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 定理 (阿貝爾（Abel）定理) 如果級數(shù)在處收斂,則它在滿足不等式的一切處絕

55、對收斂; 如果級數(shù)在處發(fā)散,則它在滿足不等式的一切處發(fā)散. 12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽推論 如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)存在,使得：當時,冪級數(shù)絕對收斂; 當時,冪級數(shù)發(fā)散; 當時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 12第十二章 無窮級

56、數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 這個正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑。 由冪級數(shù)在的收斂性就可以決定它在區(qū)間 上收斂，這區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間。12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解

57、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 規(guī)定：(i)若冪級數(shù)只在處收斂,則 收斂區(qū)間只有一點;12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 (ii) 若冪

58、級數(shù)對一切都收斂,則 收斂區(qū)間為.12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 定理 如果冪級數(shù)的相鄰兩項系數(shù)有 （或）,則 （i）當時，；12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解正項級數(shù)補恬貯算偵悼享朋兄勁飼啦谷哆錠今緩換拂卑科牟怕蒲敷抽抒嫁矣扔息乞煤靶墓唆懦山擁鼠肄潞滓墳州凜佳久艷談濺佐煩固場屋益水嘔喻成朋嘯洽 (ii)當時， ；12第十二章 無窮級數(shù)高等數(shù)學學習指導(dǎo) 第十二章 無窮級數(shù)84115第十二章 無窮級數(shù)一、基本要求及重點、難點基本要求(1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。(2)了解