1.2曲線積分對弧長appt課件

1、一、問題的提出一、問題的提出實例實例: :曲線形構件的質量曲線形構件的質量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質之質量勻質之質量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精確值精確值二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘積作乘積點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一為第為第又又個小段的長度為

2、個小段的長度為設第設第個小段個小段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數函數面內一條光滑曲線弧面內一條光滑曲線弧為為設設1.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數則稱此極限為函數這和的極限存在這和的極限存在時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段的如果當各小弧段的被積函數被積函數積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構件的質量曲線形構件的質量.),( Ldsy

3、xM 2.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當 LdsyxfLyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數函數 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數函數4.性質性質 .),(),(),(),()

4、1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為為常常數數kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 三、對弧長曲線積分的計算三、對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一階連續(xù)導數上具有一階連續(xù)導數在在其中其中的參數方程為的參數方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設設注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而是相

5、互有關的而是相互有關的不彼此獨立不彼此獨立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 例例1).(,sin,cos:,象限象限第第橢圓橢圓求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduub

6、aab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到從從其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa四

7、、幾何與物理意義四、幾何與物理意義,),()1(的的線線密密度度時時表表示示當當Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長長時時當當,),(),()3(處處的的高高時時柱柱面面在在點點上上的的表表示示立立于于當當yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz ,)4(軸軸的的轉轉動動慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對對yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲線弧的重心坐標曲線弧的重心坐標)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 五、小結五、小結1.1.對弧長曲線積分的概念對弧長曲線積分的概念2.2.對弧長曲線積分的計算對弧長曲線積分的計算

8、3.3.對弧長曲線積分的應用對弧長曲線積分的應用思考題思考題對弧長的曲線積分的定義中對弧長的曲線積分的定義中 的符號的符號可能為負嗎？可能為負嗎？iS 思考題解答思考題解答iS 的符號永遠為正，它表示弧段的長度的符號永遠為正，它表示弧段的長度.一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲線形構件已知曲線形構件L的線密度為的線密度為),(yx , ,則則L的質量的質量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關；的曲線積分與曲線的方向無關；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二、二、 計算下列求弧長的

9、曲線積分計算下列求弧長的曲線積分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L為圓周為圓周222ayx , ,直線直線xy 及及x軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；練習題練習題 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L為折線為折線ABCD, ,這里這里DCBA, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L為曲線為曲線 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計算、計算 Ldsy, ,其中其中L為雙紐線為雙紐線 )0()()(222222 ayxayx . .三、設螺旋形彈簧一圈的方程為三、設螺旋形彈簧一圈的方程為taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的線密度它的線密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它關于、它關于Z軸的轉動軸的轉動ZI慣量慣量； 2 2、它的重心、它的重心 . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的的弧弧長長L； 3 3