大學(xué)數(shù)學(xué)——微積分

1、大學(xué)數(shù)學(xué)微積分期末總復(fù)習(xí)（理專）第一章函數(shù)與極限1. 求極限：（1） lim x23x2 ;x 2 x2x2（2） limx 22 ; （3） lim sin 5x;x 0xx 0 tan3xlimtan xsin x;2xx 21（4）x sin x2（5） lim; （6） lim xsin;x 0xx3x 0x（ ）arctanx（） lim x2sin 1;（） lim sinx .7limx8x 0x9xxx2. 設(shè)f ( x)xsin 1x0,xax2x0,要使 f ( x) 在 (,) 內(nèi)連續(xù) ,應(yīng)當(dāng)怎樣選擇 a？3.設(shè)函數(shù) f ( x)ex ,x0,ax,x0.為了使函數(shù) f

2、( x) 在 (,) 內(nèi)連續(xù)， a 應(yīng)取什么值？4. 選擇題（1）設(shè)函數(shù)f (x)xarctan 1 , 則 x 0 是 f ( x) 的（）.x（A）可去間斷點(diǎn)；(B) 跳躍間斷點(diǎn)；(C) 無(wú)窮間斷點(diǎn)；(D) 振蕩間斷點(diǎn) .1（2）當(dāng) x0 時(shí)，cos3x是x2的（ ）.1（A）高階無(wú)窮小 ；(B)低階無(wú)窮小 ；(C) 等價(jià)無(wú)窮小 ；(D)同階但非等價(jià)無(wú)窮小 .5. 求函數(shù)yx的間斷點(diǎn)及其類型 .sinx6. 求函數(shù)yx的間斷點(diǎn)及其類型 .tanx答案：1. （1） 1. （2） 12. （3） 5 . （4） 1 . （5） e. （ 6） 0.3232（ 7） 0. （ 8）0. （ 9

3、）0.2. a 0.3. a 1.4. （ 1）（B）；（ 2）（ D） .5. 間斷點(diǎn)為 x0, xk (k1, 2, ) ；0是第一類可去間斷 點(diǎn)；xx k (k 1,2,) 是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn) .6. 間斷點(diǎn)為 x k , xk(k 0, 1, 2, ). x 0, x k是第22一類可去間斷點(diǎn) ； xk （ k0） 是第二類間斷點(diǎn) .第二章導(dǎo)數(shù)與微分1.填空題（1）設(shè) f ( x0 ) 4,f ( x0h) f ( x0h)則 limh_.h 02（ 2）曲線 y x2 3 在點(diǎn) M 0 ( x0 , y0 ) 處的切線方程和法線方程為.2.設(shè) fxx x1x 2x100 , 求 f0

4、 .,xx2a .設(shè) fx在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，a f x，3.求4.求 yxcosx ( x0) 的導(dǎo)數(shù) .e所確定，求 dy5.設(shè)函數(shù) yy( x) 由方程 eyxyx 0 .6.設(shè) xln(1 t2 ),求 d2 y2 .dxytarctant .dx7.設(shè)函數(shù)8.設(shè)函數(shù)y3 x21的微分 .y1xearctanx , 求y .9.求 f ( x)eax ( a 為常數(shù) )的 n 階導(dǎo)數(shù) .10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（ 1） ye 3x2; （ 2 ） yIn( x21); （ 3） y sin 2 x;（ 4 ）yarctanx2 ;（5） y(arcsinx)2 ; （6） y arc

5、tan(ex );（7） y In cosx;（8） ya2x2 .答案：1 ( x x0 ).1.（ 1） 8；（2） yy2x ( x x ), y y00002x02.100!3. 2 f (a).4. xcos x sin x ln xcosx.x31 .1t 2.5. e6.4t9. aneax .10. (1)6xe 3 x2;2 a r c sxi n( 5 );1x2211)dx.arctan x17.(3 xx28.e.3x2+1(2)22x ;( 3 ) sxi n( 4 )2x4;x11x(6)ex2x ; ( 7 )xt n a (8)x.1+ea2x2第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

6、1.設(shè)函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 0,1上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f (1) 0 ，證明在 (0,1) 內(nèi)存在點(diǎn)，使得f ( )f ( ) .2. 設(shè)函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 0,1 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)至少存在點(diǎn)，使得(0,1)bf (b)af (a)f ( )f ( ).ba3.求極限：1lim ln(12arctan xxlim(1sinx2)1 cosx;3x ) ;（1） lim（3） x 03); （2）x 0x2x 0 ln(1 2x（4）lim xarctanx ; （5） limln x(n 為正整數(shù) ).2xnxx4x2 sin1l

7、imsin xx .(7)lim xsin x .（6） x 0edtx 04 求極限1t5. 求極限2x2limcosxx2.l i m0s i tn2 t d x 0x6.x 0x22t dl im0c ots6. 求極限x2.x0dtet07.證明不等式當(dāng) x 0 時(shí)，8. 證明不等式1 1 x1 x .2當(dāng) x0 時(shí) ,1+xIn x 1 x21 x2 .19. 確定函數(shù)曲線 y 1 (x 1)3 的凹凸性與拐點(diǎn) .問(wèn)函數(shù)yx254 (x 0)在何處取得最小值 ?10.x11.試確定曲線 yax3bx2cx d 中的 a, b, c, d 使得 x 2為駐點(diǎn)， (1,10) 為拐點(diǎn)，且

8、通過(guò)點(diǎn) ( 2,44).答案；3.12;( 3 )3 ;(4) 1; (5(1) ;( 2 ) e(7) 1.64. 1 . 5.1. 6. 0.2e359.曲線在 (,1) 內(nèi)是凹的，曲線在 (1,) 內(nèi)是凸的，拐點(diǎn)是 (1,1).10. x 3處取得最小值，最小值為 27.11.a1,b3,c24, d16.第四章一元函數(shù)的積分學(xué)1. 填空題3sin2xdx _.3x3 x42x212. 填空題dx設(shè)函數(shù) f ( x) 連續(xù) ,則xf (t)dt _.dx03 選擇題設(shè)函數(shù) f ( x)為可導(dǎo)函數(shù)，則（）(A).f ( x)dxf ( x) ;(B)df ( x)f ( x) ;（C）f

9、( x)dxf (x) ;（D） df ( x)dx f (x).4.求導(dǎo)數(shù)dx2d sin t 2 dt;22（1）etdt ;dx sin x（2） dxsin x（3）dx2 t sin t dt;d1 sin t dt.dx 01 t（4） dx x tyt 2x2dy5.求由方程edtcostdt 0 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).00dxxtsinx2dx,求由參數(shù)方程0所確定的函數(shù) y 對(duì) x 的導(dǎo)數(shù) dy .t6.ycosx2dx,dx067.計(jì)算不定積分：（1） x 1 x2 d x .（2）d x（3） xarctanxdx.x(12In x)（4）1xdx.（ ）x32 dx.（

10、 ） xe x dx.94x259x68. 計(jì)算定積分：22e(1)1x dx ;(2) 4tanxdx .Inx dx ;（3） 100e9.設(shè)函數(shù)xe x2,x0,f (x)1,1x 0,1cosx4計(jì)算f ( x2)dx.110. 求曲線 y1x 及 x2 所圍成的圖形的面積 .與直線 yxr a (a上0)相應(yīng)于 由 0 到211.計(jì)算阿基米德螺線的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積 .12.計(jì)算由橢圓x2y21 分別繞 x 軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體a2b2的體積 .13.計(jì)算有 yx3 , x2, y0 所圍成的圖形繞 x 軸及 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積 .14.判定下列各反常積分

11、的斂散性：13 dx; （2）1111（1）113dx;（3）1xdx;（4） 0dx;xxx711111（5）2 dx.（ ）2 dx ;（ ）2 dx .0 ( x1)60 ( x 1)372x(Inx)15.計(jì)算曲線 y2 x23上相應(yīng)于 x從 a 到 b 的一段弧的長(zhǎng)度 .3計(jì)算擺線xa(sin),的一拱 (02 )的長(zhǎng)度.16.ya(1cos)17.求阿基米德螺線 ra (a 0) 相應(yīng)于從0到2一段的弧長(zhǎng) .答案：1. 0.2.xf (t )dtxf ( x).3.(C).022 xsin( x4 )sin(sin2 x)cos x .cosx .4. (1)(2)esin x2x

12、3sinx2(4)sinx(3)1x2.x5.dycos x2ey2.6. tan t2 .dx13（2） 1(1x2 ) 2C .In 1+2In xC .7.（1）3212arctanxxarctanx)C.（ 4 ）（ 3 ） (x21 arcsin2 x194 x2C.234x292+9)+ C.x（5）In( x（ ）e ( x1)C.2268.（1）1.（2） 1. （3） 2(11).tan 11 e 41 .43e9.10.In2.11. 4 a23.2222312.4ab2 ;4a2 b.13.64 .335814. （1）收斂；（2）發(fā)散；（3）發(fā)散；（ 4）收斂；（5）發(fā)

13、散；（6）收斂；（ 7）收斂 .15.23316. 8a.(1b)2(1a) 2 .317.a214 2In(2+1 42).2第五章常微分方程1.求微分方程的通解 ：（ 2） ( y 1)2 dy（1） 1 y23x2 yy；x30.dx2. 求微分方程的通解 ：2xy.（ 2） x dyyIn y .（1） yy2x2dxx3. 求微分方程的通解 ：y x ln x（ 2）( x21)y 2xy cosx 0（1） yx求一曲線的方程，這曲線通過(guò)原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)( x, y) 處的切線斜4.率等于 2xy .5. 求微分方程滿足初始條件的特解 ：y ycotx 5ecos x , y4.2

14、96. 求微分方程的通解 .1.（2） xyy 0.（1） y1 x2( y )2（3） y e2 xcosx .（4） yy0.7. 求微分方程 (1 x2 ) y2xy 滿足初始條件y x 01, y x 03的特解 .2118.求微分方程xy y9 , y x 1x滿 足 初 始 條 件 y x 13的特解 .9. 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解 .（1） y 3y 2y 0.（2） y 4y 4 y 0（3） y 4 y 29y 0（4） y(4)16 y0.10.求二階常系數(shù)齊次線性微分方程 yy 2 y 0; y(0)0, y (0) 3的通解及給定條件的特解 .11. 求微分

15、方程 2y y y 2ex 的通解 .12.選擇題方程 y5y6 y20xe2 x 的特解形式為 （）.(A)axe2x ;(B)(axb)e2x ;(C)x( axb)e2x;(D)x2 (axb)e2x .13. 選擇題方程y3y2 yex cos2x 的特解形式為（）.(A) xex (acos2xbsin2 x);(B)aexcos2x;(C) ex (acos2xbsin2 x);(D)aexsin2 x.答案：101.（1） 1y21C0.3x0.y C(x2y2 )2.（1）3.（1） y= x ln 2 xCx .24.y 2(exx1).（2） 4( y1)33x4C .（2） yxeCx 1.Csinx（2） y2.x15. y11 5ecosx .sin xyx arctan x1 ln(1 x2 ) C xC2.6.（1）21（ 2） y C1In x C2.（3） y1 e2xs