第4章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法

1、1第第4 章章 桿系結(jié)構(gòu)的有限元法桿系結(jié)構(gòu)的有限元法桿系結(jié)構(gòu)定義：桿系結(jié)構(gòu)定義： 由桿件組成的空間結(jié)構(gòu)稱桿系結(jié)構(gòu)。 桿件指細(xì)長(zhǎng)的構(gòu)件，構(gòu)件的幾何特征是一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)大于其它兩個(gè)方向的尺寸。 桿系結(jié)構(gòu)根據(jù)桿件兩端與其它構(gòu)件連接方式的不同，可以分為桁架和剛架。桁架由兩端鉸接的桿件構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu)。剛架亦稱為框架，指由兩端固接的桿件構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu)。24.2拉壓直桿的有限元分析 如圖4-1所示拉壓桿單元，橫截面積為A，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，軸向分布載荷為q(x)。單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i,j，單元節(jié)點(diǎn)位移向量為：qiujuijx xu 1)-(4 Tjieuu節(jié)點(diǎn)力向量為 2)-(4 TjieFFF單元位移模式可設(shè)為3)

2、-(4 21xu待定常數(shù)21,可由節(jié)點(diǎn)位移條件確定，即當(dāng)x=xi時(shí)，u-=uiX=xj時(shí)，u=uj.3 相應(yīng)位移模式為4)-(4 )(jijiijixluuxluuuu寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)形式 5)-(4 eNu而形函數(shù)為6)-(4 )( )(1N jxxxxlNNiji拉壓直桿單元僅有軸向應(yīng)變dxdu/將位移模式（4-5）代入得4 el1 11 7)-(4 eBE上式用應(yīng)變矩B可寫(xiě)為：由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得 8)-(4 eeSBE式中S為應(yīng)力矩陣。而單元?jiǎng)偠染仃嚾钥捎梢话阈问酵瞥? dxxqNFTe)( 10)-(4 11-1-1 lAEk 9)-(4 dx B E B D TTBAdVBk積分可得節(jié)點(diǎn)力

3、計(jì)算公式仍可采用當(dāng)分布力集度為常數(shù)時(shí)，有 11)-(4 112)()(1qlqdxxxxxlFijxxeji6對(duì)于平面桁架的每個(gè)桿件都可看作是局部坐標(biāo)系下的拉壓直桿，可按照前述公式進(jìn)行單元分析。但是桁架結(jié)構(gòu)的各個(gè)桿件傾角不同，要在整體坐標(biāo)系下建立整體平衡方程，就需要建立兩種坐標(biāo)系下的坐標(biāo)變換關(guān)系。根據(jù)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式，節(jié)點(diǎn)i在局部坐標(biāo)系下的位移分量ui,vi與整體坐標(biāo)系下的位移分量iivu ,有下述關(guān)系（4-2）12)-(4 cossinsincosiiiiiivuvvuu7即 ii而方向余弦矩陣為 13)-(4 cossinsincos因此單元節(jié)點(diǎn)位移與整體節(jié)點(diǎn)位移 jjiievuvu之間的關(guān)系

4、為 jjiievuvu變換矩陣為 15)-(4 cossinsincoscossinsincosT 14)-(4 eeT8式（4-10）對(duì)應(yīng)的位移分量是ui ujT，此時(shí)擴(kuò)充為ui vi uj vjT,相應(yīng)單元?jiǎng)偠染仃嚍?16)-(4 0000010100000101lAEk在整體坐標(biāo)系下則有 TTkTk將式（4-15）（4-16）代入得 17)-(4 sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos22222222lEAk94.3 梁的有限元分析按材料力學(xué)梁的彎曲公式，梁的轉(zhuǎn)角，彎矩M，剪力Q，及

5、撓度v之間的關(guān)系為18)-(4 ,3322dxvdEIQdxvdEIMdxdv彎曲應(yīng)力及應(yīng)變公式為19)-(4 ,2222dxvdEyEdxvdy10y)(xvji圖4-3所示一等截面2節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧?，?jié)點(diǎn)位移為撓度和轉(zhuǎn)角，節(jié)點(diǎn)力為彎矩和剪力。單元的位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量分別為xjvjQjMjiviQiiM 20)-(4 Tjjiievv 21)-(4 jjiieMQMQF單元位移模式可設(shè)為22)-(4 )(342321xxxxv11由單元兩端點(diǎn)的條件：x=0,v=vi,=i;x=l, v=vj,=j可解出四個(gè)待定系數(shù)，將位移模式寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形函數(shù)形式，則有： 23)-(4 )(eNxv式中： 4321

6、NNNNN 其中232433232322233231/ )(/ )23(/ )2(/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（4-24）由式（4-19）、式（4-23），可得單元彎曲應(yīng)變和應(yīng)力12 25)-(4 eeeSBEEB其中應(yīng)變矩陣：26)-(4 )26()612()46(612 34321lxllxlxllxlyBBBBB單元?jiǎng)偠染仃嚬綖?lTTdAdxBBEdVBDBk027)-(4 )(13積分得 2222346266126122646612612lllllllllllllEIk式中：I梁截面對(duì)主軸的慣性矩144.4 剛架的有限元分析剛架的有限元分析jiyxiu

7、iivjjvjuiuiivjvjuj 平面剛架中各單元發(fā)生軸向拉壓變形及面內(nèi)的彎曲變形，而且這兩種變形是相互獨(dú)立的，因此剛架單元可以看成是由桿單元和梁?jiǎn)卧B加而成的。其剛度矩陣可以由桿單元和梁?jiǎn)卧膭偠染仃囘M(jìn)行疊加。但平面剛架中各單元的軸向大多不相同，為了進(jìn)行單元分析，需要就每個(gè)單元建立局部坐標(biāo)系。xy15坐標(biāo)原點(diǎn)置于節(jié)點(diǎn)i，單元的軸線為x軸，i端截面的形心主慣性軸為y 軸和z軸，它們構(gòu)成右手坐標(biāo)系，如圖1-4-4所示。局部坐標(biāo)x 方向約定為從整體編號(hào)小的節(jié)點(diǎn)到大號(hào)碼節(jié)點(diǎn)的方向。任一節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度：軸向位移、橫向位移和繞z軸的轉(zhuǎn)角，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力分別為：軸向力、剪力和彎矩。軸向拉壓桿單元?jiǎng)偠染?/p>

8、陣為式（4-10），梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚍槭剑?-28）。將兩式都擴(kuò)展為66階的矩陣，疊加形成平面剛架在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?29)-(4 460260612061200000260460612061200000222323222323lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke16單元在局部坐標(biāo)系下的剛度方程為： 30)-(4 eeekF其中節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力列陣分別為 31)-(4 Tjjjiiievuvu 32)-(4 TjyjxjiyixieMFFMFFF對(duì)于平面剛架，兩種坐標(biāo)系下的變換關(guān)系類似于桁架變換公式（4-12）4-15），兩種坐標(biāo)系下的位移關(guān)系為：17xixiiiiiiivuvvuucossinsincos（4-33） ii而方向余弦矩陣為 1000cossin0sincos（4-34）對(duì)于兩個(gè)節(jié)點(diǎn)而言，就有 而坐標(biāo)變換矩陣為,eeT18 1000cossin00sincos10000cossin0sincosT（4-35） eeFTF（4-36） TTkTk(4-37)19在考慮橫向剪切影響時(shí)，其單元?jiǎng)偠确匠虨?38)-(4 )1 (4)1 (60)1 (2)1 (60)1 (6)1 (120)1 (6)1 (1200000)1 (2)1 (