天體力學(xué)二體問題的解

1、天體力學(xué)二體問題的解內(nèi)容提要本文簡(jiǎn)單介紹了天體力學(xué)次級(jí)學(xué)科內(nèi)容，發(fā)展簡(jiǎn)史，及其在人類文明發(fā)展的歷史地位。天體力學(xué)認(rèn)為二體問題已經(jīng)解決，這是一個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)。文章詳細(xì)地?cái)⑹隽硕w問題的傳統(tǒng)解法，按照伯力克物理教程第一卷力學(xué)第九章中高級(jí)課題所講述的方法，導(dǎo)出二體問 題與時(shí)間有關(guān)的解。探討了二體問題方程式。天體力學(xué)二體問題傳統(tǒng)解，致使許多自然現(xiàn)象困惑難解。走出天體力學(xué)認(rèn)識(shí)的誤區(qū)，一大批物理批疑難問題豁然開朗。附件用10個(gè)專題文章嘗試解解釋有關(guān)物理疑難問題目錄1天體力學(xué)簡(jiǎn)介1.1 天體力學(xué)次級(jí)學(xué)科內(nèi)容1.2 天體力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史1.3 天體力學(xué)歷史地位2天體力學(xué)傳統(tǒng)觀念2.1 牛頓絕對(duì)時(shí)空觀念2.2 二體問題

2、常規(guī)解2.3 天體力學(xué)認(rèn)識(shí)中的誤區(qū)3二體問題與時(shí)間相關(guān)的解3.1 天體引力場(chǎng)的時(shí)空結(jié)構(gòu)3.2 二體問題與時(shí)間相關(guān)的解3.3 二體問題與時(shí)間有關(guān)的解附件1哈勃定律的理論解釋2太陽系天體距離和周期的規(guī)律性3水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)4月球長(zhǎng)期加速運(yùn)動(dòng)5古生物化石的年輪和月輪6河外天體光譜紅移7天體形態(tài)與微觀結(jié)構(gòu)的聯(lián)系8太陽常數(shù)理論計(jì)算9物理黑洞10地球能量、溫度和輻射1天體力學(xué)簡(jiǎn)介1.1天體力學(xué)次級(jí)學(xué)科天體力學(xué)是研究天體的運(yùn)動(dòng)和形狀的學(xué)科。天體力學(xué)可分為六個(gè)次級(jí)學(xué)科：多體問題，又稱做N體問題，或稱攝動(dòng)理論。研究N個(gè)質(zhì)點(diǎn)在萬有引力作用下的動(dòng)力學(xué) 問題，其中只有二體問題已徹底解決。數(shù)值方法。采用數(shù)值計(jì)算的方法來

3、求解天體的運(yùn)動(dòng)方程并討論解的收斂性、穩(wěn)定性及計(jì)算方法的改進(jìn)等問題。定性方法。探討天體運(yùn)動(dòng)軌道的宏觀圖像、運(yùn)動(dòng)區(qū)域和軌道特征。天文動(dòng)力學(xué)。又稱為星際航行動(dòng)力學(xué)，主要是研究各種人造天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。歷書天文學(xué)。根據(jù)天體運(yùn)動(dòng)理論和軌道要素編制各種天體的歷表和計(jì)算各種天象。 天體的形狀和自轉(zhuǎn)理論。主要研究各種物態(tài)組成的天體的自轉(zhuǎn)平衡形態(tài)、穩(wěn)定性及自轉(zhuǎn) 軸的變化規(guī)律。歷史淵源1.2 天體力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史丹麥天文學(xué)家第谷(B. Tycho ,15461601)在16世紀(jì)對(duì)行星繞日運(yùn)行作了長(zhǎng)期的觀 測(cè)，記錄了大量準(zhǔn)確可靠的天文數(shù)據(jù)資料。德國(guó)天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家開普勒(Kepler , Johannes,1571163

4、0)根據(jù)第谷多年的行星 觀測(cè)資料于1609年1619年先后提出了行星運(yùn)動(dòng)三大定律，還提出了著名的開普勒方程， 對(duì)行星軌道要素下了定義。從此可以預(yù)報(bào)行星(以及月球)更準(zhǔn)確的位置，形成理論天文學(xué)，揭開了天體力學(xué)的序幕；英國(guó)著名的物理學(xué)家牛頓(I.Newton ,16431727),英國(guó)科學(xué)家胡克(R. Hook )和荷 蘭物理學(xué)家惠更斯(C. Huygens)都曾根據(jù)開普勒定律推測(cè)行星和太陽間存在和距離二次方 成反比的引力，為此胡克和牛頓還通過信，因此，對(duì)定律的首創(chuàng)權(quán)有過爭(zhēng) 議。1687年7月Newton名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 問世，提出絕對(duì)時(shí)空觀念，牛頓 動(dòng)力學(xué)三定律和萬有引力定律，建立經(jīng)典力學(xué)

5、理論基礎(chǔ)。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉 (Euler, Leonhard, 17071783)是第一個(gè)較完整的月球運(yùn)動(dòng)理論的創(chuàng)法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾(dAlembert, Jean le Rond, 17171783)的 動(dòng)力學(xué)是力學(xué) 方面的一部奠基性著作，書中包括后來以他的名字命名的達(dá)朗貝爾原理，根據(jù)這個(gè)原理建立起把動(dòng)力學(xué)問題化為靜力學(xué)問題來處理的一般方法。他運(yùn)用這個(gè)方法研究了天體力學(xué)中的三體問題，并把它推廣到流體動(dòng)力學(xué)中法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange, Joseph-Louis , 17361813)在分析力學(xué)一書中， 運(yùn)用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化了，拉格朗日是大行

6、星運(yùn)動(dòng)理論的創(chuàng)始人。法國(guó)數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家拉普拉斯(Laplace, Pierre-Simon, 17491827)是天體力學(xué)集大 成者。他的五卷十六冊(cè)巨著天體力學(xué)成為經(jīng)典天體力學(xué)的代表作。在這部著作中，他對(duì) 大行星和月球的運(yùn)動(dòng)都提出了較完整的理論，而且對(duì)周期彗星和木星的衛(wèi)星也提出了相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)理論。同時(shí)，他還對(duì)天體形狀的理論基礎(chǔ)-流體自轉(zhuǎn)時(shí)的平衡形狀理論作了詳細(xì)論述。法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(Legendre, Adrien-Marie , 17521833)在天文學(xué)的研究中，引進(jìn) 了著名的 勒讓德多項(xiàng)式”，發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)。德國(guó)數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，物理學(xué)家高斯(Gauss, Carl Friedric

7、h , 17771855)創(chuàng)立三次觀測(cè)決定小行星軌道的計(jì)算方法，1809年發(fā)表其計(jì)算方法。此后，幾乎都用這個(gè)方法推算小行星軌道。在星歷表計(jì)算中，他引進(jìn)一組輔助量(又稱為高斯常數(shù))，使求日心赤道直角坐標(biāo)計(jì)算大大簡(jiǎn)化。法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松 (Poisson , Sim con-Denis ,1781 1840)對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、 熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)。“泊松方程”是經(jīng)典引力理論的分析形式。德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比(Jacobi , Carl Gustav Jacob , 18041851)和英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué) 家哈密頓(Hamilton , William Rowan

8、 18051865)對(duì)分析力學(xué)的建立做出了重要貢獻(xiàn)。1846年，根據(jù)法國(guó)天文學(xué)家勒威耶( Le Verrier, Urbain Jean Joseph, 18111877)和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯(Adams, John Couch, 18191892)的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了海王星。這是經(jīng)典天體力學(xué)的偉大成果，也是自然科學(xué)理論預(yù)見性的重要驗(yàn)證。此后，大行星和月球運(yùn)動(dòng)理論益臻完善。成為編算天文年歷中各天體歷表的根據(jù)。法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincar e , Jules-Henri , 18541912),又譯彭加勒龐加萊，龐 加萊在18921899年出版的三卷本天體力學(xué)新方法是這個(gè)時(shí)期的代表作。數(shù)值方法最早

9、可追溯到高斯的工作方法。十九世紀(jì)末形成的科威耳方法和亞當(dāng)斯方法，至今仍為天體力學(xué)的基本數(shù)值方法(見天體力學(xué)數(shù)值方法)，但在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前應(yīng)用不廣。二十世紀(jì)五十年代以后，由于人造天體的出現(xiàn)和電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，天體力學(xué)進(jìn) 入一個(gè)新時(shí)期。研究又增加了各種類型的人造天體，以及成員不多的恒星系統(tǒng)。在研究方法中，數(shù)值方法有迅速的發(fā)展，不僅用于解決實(shí)際問題，而且物理學(xué)同定性方法和分析方法也有相應(yīng)發(fā)展，以適應(yīng)觀測(cè)精度日益提高的要求。1.3 天體力學(xué)歷史地位天體力學(xué)是人類文明史上偉大的豐碑，也是人類歷史上第一個(gè)走出地球的科學(xué)理論，以 足夠精確的計(jì)算結(jié)果預(yù)言了天體前后幾百年、幾千年甚至幾萬年的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)受了

10、無數(shù)的新的觀測(cè)考驗(yàn)。天體力學(xué)對(duì)人類社會(huì)的進(jìn)步起了巨大的推動(dòng)作用。2天體力學(xué)傳統(tǒng)觀念2.1 牛頓絕對(duì)時(shí)空觀念Newton時(shí)空觀念一般稱為經(jīng)典時(shí)空觀念，又稱為絕對(duì)時(shí)空觀念，Newton曾經(jīng)對(duì)這個(gè)時(shí)空觀念詳細(xì)描述：1、絕對(duì)的、真正的和數(shù)學(xué)的時(shí)間自身在流逝著，而且由于其本性而在均勻地、與任何 其他外界事物無關(guān)地流逝著，它又可以名之為延續(xù)性；相對(duì)的、表觀的和通常的的時(shí)間是延續(xù)性的一種可感覺的、外部的(無論是精確的或是不相等的)通過運(yùn) 動(dòng)來進(jìn)行的量度我們通常就用諸如小時(shí)、日、月、年等這種量度以代替真正的時(shí)間。2、絕對(duì)的空間，就其本性而言，是與任何外界事物無關(guān)而永遠(yuǎn)是相同的和不動(dòng)的。相 對(duì)空間是絕對(duì)空間的可

11、動(dòng)部分或者量度。我們的感官通過絕對(duì)空間對(duì)其他物體的位置而確定了它，弁且通常把它當(dāng)作不動(dòng)的空間看待。如相對(duì)地球而言的地下，大氣 或天體等空間就是這樣確定的。絕對(duì)空間和相對(duì)空間，在形狀上和大小上都相同， 但在數(shù)字上并不總是保持一樣。因?yàn)椋绠?dāng)?shù)厍蜻\(yùn)動(dòng)時(shí)，一個(gè)相對(duì)地球總是保持 不變的大氣空間，將一個(gè)時(shí)間是大氣流入的絕對(duì)空間的一個(gè)部分，而在另一時(shí)間將 是絕對(duì)空間的另一個(gè)部分，所以從絕對(duì)的意義來了解，它總是在不斷變化的?！?摘自H S塞耶編牛頓自然哲學(xué)著作選第十九頁至二十頁)Newton時(shí)空觀念為經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)參照系建立提供了哲學(xué)的、物理的理論依據(jù)。按照Newton時(shí)空觀念，一個(gè)無限延伸的三維鋼架和一

12、個(gè)均勻流逝的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成了一個(gè)運(yùn) 動(dòng)參照系，一個(gè)剛性的尺和一個(gè)穩(wěn)頻的鐘可以分別對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行度量。在三維鋼架上的空的空間構(gòu)成三維Euclid空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo) h (I=1,2, 3),時(shí)間t作為參變量，%作為時(shí)間t的函數(shù)xa (t)。如果有另一個(gè)參照系 K以速度V相對(duì)K運(yùn)動(dòng)，K中的相應(yīng)的空間坐標(biāo)為 Xu，t,則Xq, 1和%, t之間變換由下述的 Galilao時(shí)空變換公式?jīng)Q定： X,y X,y V；t(2.1)(2.2)上式中v0t是v沿x方向的分量，在變換中，位矢 的平方r2是不變量，即:(2.3)22=X：、Y =按照慣例，上式重復(fù)下標(biāo)表示求和。2.2 二體問題傳統(tǒng)解二體問題是各類天體真

13、實(shí)運(yùn)動(dòng)的第一次近似結(jié)果，也是研究天體在有心力場(chǎng)的引力作用下的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓絕對(duì)時(shí)空觀念、牛頓動(dòng)力學(xué)基本定律和牛頓萬有引力定律，運(yùn)動(dòng)方程具有如下形式d v m- =F(2.4)上式中，m表示天體質(zhì)量，v表示天體運(yùn)動(dòng)速度， F表示太陽和天體之間的引力，t表示時(shí)間。在解方程(2.4)時(shí)，二體問題采用了下述的邏輯推理：第一、選擇質(zhì)心參照系描述二體運(yùn)動(dòng)，以折合質(zhì)量-=Mm 代替天體質(zhì)量 m,M m折合質(zhì)量也稱約化質(zhì)量，約化質(zhì)量既小于M ,也小于m ,主要由兩者中質(zhì)量較小者決定；第二、引進(jìn)勢(shì)函數(shù)描述質(zhì)點(diǎn)與球形物體之間作用力，勢(shì)函數(shù)對(duì)空間坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)正比于質(zhì)點(diǎn)所受總引力的相應(yīng)分力。把中心天體看成是質(zhì)量密度均

14、勻分布的球體，以*表示勢(shì)函數(shù)， GF則巾等于4=,單位質(zhì)量體元受的作用力為,這樣，萬程(2.4)可以寫成rm如下形式業(yè)=-6(2.5)dt按照上述邏輯形式，行星對(duì)太陽運(yùn)動(dòng)，就像是在以太陽為中心的慣性參照系中運(yùn)動(dòng)一 樣，只是要用約化質(zhì)量代替行星質(zhì)量。在太陽系黃道面上選擇極坐標(biāo)系，以太陽白質(zhì)量中心為極坐標(biāo)系的原點(diǎn)，r表示矢徑(描述天體相對(duì)太陽的位置)，r表示矢徑的長(zhǎng)度，日表示矢徑的角度，則方程(2.4)有如 下形式-2m(r-r9 ) = F(2.6)二m d 2 -、m(r 二 2r 1)(r1)=0(2.7)r dt令r2=h ,沿徑r方向和沿8方向的兩個(gè)方程分別為至手 Gr - r - =

15、一 -2- r(2.8)1 dhr dt(2.9上式中h為單位質(zhì)量的角動(dòng)量,2 .h為一個(gè)積分常數(shù)，mr日=mh即天體單位質(zhì)量的動(dòng)量矩守恒。物體受有心力作用時(shí)，時(shí)間 t可以從微分方程消去,人1口，令 u=可以得出r-h - hu2r =di1 duu2 dudF,2,d u .2 2r - -h7 1 = -h udu2d2u將r和8代入(2.8 )式，有h2u2(d-u u);G Lu2 du2(2.10)d 2u dV u =h2(2.11其解為A cos(二-%)(2.12r 二1h2G2(2.13Gcos( 0)如果將基線轉(zhuǎn)過一個(gè)角度,可使 e0=0,則(2.13 )式可以寫為(2.1

16、41 ecosF 1 ecosia(1-e2)(2.14 )式所描述的是圓錐截線，式中h2八h2aA3=Ap=e其中，p為半正焦弦的長(zhǎng),e為偏心率；此時(shí) 日應(yīng)該從焦點(diǎn)至準(zhǔn)線所垂線量起，上述圓錐曲線，可依能量E和偏心率e的數(shù)值分為三種類型:橢圓:p=a(1-e2), h = jGNa(1_e2) = jGNp拋物線:p=2q, h = 72Gq，E = 0,雙曲線:p=a(e2 -1), h=jG%(e2-1), E 0 , e1；根據(jù)二體問題傳統(tǒng)解修正的開普勒第三定律形式是(2.15(2.16a3 G24 二2二體運(yùn)動(dòng)方程一個(gè)積分2, 21v = G -( 一 ) r a稱為活力公式或活力積分

17、；G天體能量表達(dá)式為E = - G(2.172a2.3天體力學(xué)認(rèn)識(shí)中的誤區(qū)天體力學(xué)取得了巨大的成功，人們通過觀測(cè)實(shí)踐和人類的哲學(xué)、邏輯學(xué)和物理學(xué)基本 理論可以發(fā)現(xiàn)天體力學(xué)盡管有極高的可靠性，但是天體力學(xué)并不是一個(gè)完整的理論體系，更確切地說牛頓引力理論是一個(gè)有待于發(fā)展成一個(gè)和諧的、統(tǒng)一的引力理論體系。 天體力學(xué)認(rèn)為二體問題已經(jīng)完全解決。這是一個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)。按照天體力學(xué)二體問題傳統(tǒng)理論，二體問題主要結(jié)論是第一 運(yùn)動(dòng)天體軌道是一條圓錐截線，即r =一p一 曲線與時(shí)間無關(guān)；1 ecosi一 一一，一 . 2 二一 一 一，第二 運(yùn)動(dòng)天體單位質(zhì)量的角動(dòng)量h = r2 H是運(yùn)動(dòng)常數(shù)。二體問題上述結(jié)論不符合天

18、文學(xué)大量觀測(cè)數(shù)據(jù)。例如，許多天文家對(duì)水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng). . . . . . , . 一一 一、.的研究表明，牛頓理論不解釋水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)偏差-43 /世紀(jì)，這是牛頓理論一個(gè)疵點(diǎn)。走出天體力學(xué)認(rèn)識(shí)中的誤區(qū)，這個(gè)疵點(diǎn)就會(huì)變成為光彩奪目的亮點(diǎn)。3二體問題與時(shí)間有關(guān)的解3.1天體引力場(chǎng)的時(shí)空結(jié)構(gòu)時(shí)間和空間是運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)存在的基本形式，是物質(zhì)固有的普遍屬性，時(shí)間和空間與運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)是不可分的。天體力學(xué)在解二體問題時(shí)采用巧妙的方法消去了時(shí)間t ,得到了二體問題的傳統(tǒng)解，消去了時(shí)間t也就是消去了天體的歷史和將來，二體問題的傳統(tǒng)解即天體運(yùn)動(dòng)的圓錐截線，只是 Euclid幾何空間中不隨時(shí)間變化的圓錐截線，它把天

19、體約束在 這條曲線上面，我們把這個(gè)傳統(tǒng)解稱為幾何解，幾何解不能全面地、 真實(shí)地描述天體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，根據(jù)引電統(tǒng)一理論，在(2.14)式和(2.9)式中隱藏時(shí)間因子，根據(jù)引電統(tǒng)一理論，天 體引力場(chǎng)可以近似地看成平面匯源場(chǎng)和虛旋渦場(chǎng)，其速度場(chǎng)強(qiáng)度等于。八 v =2H(3.1)17 .1H稱Hubble系數(shù)，太陽系中 H之10 s。二體問題有關(guān)物理量應(yīng)該加入時(shí)間因子，如軌道長(zhǎng)半軸at等于at =a0exp(-Ht)(3.2)天體運(yùn)動(dòng)周期1等于，3 一、(3.3)t = 0 exp(- Ht)2二體問題的傳統(tǒng)解(2.14)式和(2.9)式應(yīng)該修改為Pn一 .rtexp( - Ht)(3.4)(3.5)1

20、 ecosiHh 2r，一1其中，h = ht = hn exp(- Ht)(3.4)式和(3.5)式正是二體問題與時(shí)間有關(guān)的解，由 (3.5)式可以看出天體單位質(zhì)量角動(dòng)量h=h不是運(yùn)動(dòng)常量。3.2二體問題與時(shí)間相關(guān)的解為了完整地描述天體真實(shí)運(yùn)動(dòng)，必須尋求二體問題的與時(shí)間有關(guān)的解根據(jù)伯力克物理教程第一卷力學(xué)(第402頁)高級(jí)課題介紹，不用解微分方程,同樣可以得出上述結(jié)論。具體敘述如下二體問題偏心率 e是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，e等于J PrG.Lm2r(3.6)上式中，r是矢徑，J是運(yùn)動(dòng)天體角動(dòng)量， P是運(yùn)動(dòng)天體動(dòng)量， G是引力常數(shù)，N是系統(tǒng)約化質(zhì)量，m是運(yùn)動(dòng)天體質(zhì)量。將(3.6)式乘以r ,得出=；rcos?J P rG -m2j2 卜2r(1 -cos?) = = p() Gm2 Gpr =(1Cos)(3.7)上式是圓錐截線數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)形式。而 (2.14)式與(3.7)式分母中偏心率W差一個(gè)負(fù)號(hào)。這是由 于兩式e選取方向相反。2在上面推導(dǎo)過程中，并沒有要求運(yùn)動(dòng)天體單位質(zhì)量的角動(dòng)量h = r6等于常量，將(3.5)1式 h=hnexp(- Ht)代入(3.7)式2p exp(-Ht)(1 - ；cos。)