經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分十二五規(guī)劃教材51 定積分的概念與性質(zhì)習(xí)題

1、1利用定積分的定義計(jì)算下列積分：（）；【解】第一步：分割在區(qū)間中插入個(gè)等分點(diǎn)：，（），將區(qū)間分為個(gè)等長(zhǎng)的小區(qū)間，（），每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為，取每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)，（），第二步：求和對(duì)于函數(shù)，構(gòu)造和式第三步：取極限令求極限，即得 。【解】第一步：分割在區(qū)間中插入個(gè)等分點(diǎn)：，（），將區(qū)間分為個(gè)等長(zhǎng)的小區(qū)間，（），每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為，取每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)，（），第二步：求和對(duì)于函數(shù)，構(gòu)造和式由于數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，可知其前項(xiàng)和為，于是第三步：取極限令求極限，即得 。2利用定積分的幾何意義，證明下列等式：；【證明】定積分的幾何意義是由直線，及軸圍成的三角形的面積，如圖可見 即知，。證畢

2、。；【證明】定積分的幾何意義是由圓弧與軸及軸所圍成的四分之一圓形的面積，如圖可見 。證畢。；【證明】定積分的幾何意義是由正弦曲線在上的一段與軸所圍成的圖形的面積，如圖可見 圖形由兩塊全等圖形組成，其中位于軸下方，位于軸上方，顯見，從而，證畢?！咀C明】定積分的幾何意義是由余弦曲線在上的一段與軸所圍成的圖形的面積，如左圖所示，為,而定積分的幾何意義是由余弦曲線在上的一段與軸所圍成的圖形的面積，如右圖所示，為,由于曲線關(guān)于軸對(duì)稱，可知，亦即，即知。證畢。3已知，試用矩形法公式（5.3），求出的近似值（取，計(jì)算時(shí)取4位小數(shù)）。【解】矩形法公式（5.3）為，其中（），而（）為區(qū)間的個(gè)等分點(diǎn)。于是，在區(qū)間

3、插入個(gè)等分點(diǎn)，（），對(duì)于，求出，（），于是，當(dāng)時(shí)，。4證明定積分性質(zhì)：；【證明】在區(qū)間中插入個(gè)等分點(diǎn)：，（），每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為，對(duì)于函數(shù)，有： - - 定積分的定義 - - 加法結(jié)合律 - 極限運(yùn)算法則 - 定積分的定義?！咀C明】在區(qū)間中插入個(gè)等分點(diǎn)：，（），每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為，對(duì)于函數(shù)，構(gòu)造和式，即由定積分定義得 。再由上的結(jié)論，即得。綜上得：，證畢。5估計(jì)下列積分的值：；【解】函數(shù)在區(qū)間上，有恒成立，知在區(qū)間上單調(diào)減少，于是有，亦即，從而得 ，亦即。；【解】函數(shù)，由得，而知，從而，即知，亦即，從而得 ，亦即。；【解】函數(shù)在區(qū)間上，有恒成立，知在區(qū)間上單調(diào)增加，于是有 ，亦即 ，整理得

4、 從而得 ，亦即?！窘狻孔⒁獾?，函數(shù)在區(qū)間上，有，得唯一駐點(diǎn)，無不可導(dǎo)點(diǎn)，對(duì)比，知在區(qū)間上有，于是有 ，亦即 。6設(shè)及在閉區(qū)間上連續(xù)，證明：若在上，且，則在上；【證明】反證法：設(shè)有，使不成立，則由題設(shè)在上，不妨設(shè)時(shí)，于是，由于在上連續(xù)，知在上可積，即由曲邊梯形面積定義知，但由于在上，即知在和上，有，于是由定積分性質(zhì)5.1.4知，有，從而由已知亦即，得到，這與上面的相矛盾，從而假設(shè)不成立，即使命題得證成立。若在上，且，則；【證明】由定積分性質(zhì)5.1.5，若在上，則，因此，下面只須由證明，應(yīng)用反證法，設(shè)，則由的已證命題，由在上，且，則在上，這與已知相矛盾，可知假設(shè)不成立，從而命題得證。若在上，且，則在上?！咀C明】設(shè)，即由題設(shè)得，于是，待證命題轉(zhuǎn)換成為：在上，且，則在上，而這是已證命題，從而命題得證成立。7根據(jù)定積分的性質(zhì)及上題的結(jié)論比較下列各組積分的大?。?，；【解】當(dāng)時(shí)，對(duì)不等式兩端同乘，得，亦即，即由定積分的性質(zhì)（推論5.1.1）得 。，；【解】令，即有，易見當(dāng)時(shí)，成立，知函數(shù)在上單調(diào)增加，又因，知當(dāng)時(shí)，有，亦即當(dāng)時(shí)，成立，即由定積分的性質(zhì)（推論5.1.1）得 。，；【解】令，即有，由于是增函數(shù)，由得，