線性系統(tǒng)理論復(fù)習(xí)大綱

1、Chapter 2 Mathematical Descriptions of Systems定義2.1 一個(gè)系統(tǒng)在時(shí)刻的狀態(tài)是一組信息的組合，它和系統(tǒng)的輸入一起可唯一確定系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述小結(jié)系統(tǒng)類型 內(nèi)部描述 外部描述分布、線性 集中、線性 分布、線性、定常 集中、線性、定常 Chapter 4 State-space Solutions and Realizations線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 連續(xù)狀態(tài)方程按采樣時(shí)間T離散化定義4.1 設(shè)P為非奇異實(shí)矩陣，任等價(jià)變換，那么方程與原方程代數(shù)等價(jià)。（其中，）定理 4.1 兩個(gè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為零狀態(tài)態(tài)等價(jià)（具有相同的傳遞矩陣）的充分必要

2、條件定義4.2 設(shè)是的任一基本矩陣，那么稱該方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，它同時(shí)也是方程關(guān)于初始條件的唯一解。線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 其中定理4.3傳遞矩陣可實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是該矩陣是正則有理矩陣。時(shí)變系統(tǒng)等價(jià)狀態(tài)方程 考慮時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程 ，引入時(shí)變矩陣，令，那么方程與原方程代數(shù)等價(jià)，且，該等價(jià)變換過程為定理4.3存在一個(gè)等價(jià)變換使，其中是任一常矩陣（只需令即可）。 若需為零陣，則應(yīng)選擇，此時(shí)方程簡(jiǎn)化為定義4.3 在上述等價(jià)變換中，若滿足非奇異、連續(xù)的條件，且和有界，那么該變換是李雅普諾夫等價(jià)變換。定理 4.4 若線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程中，定理 4.5 一個(gè)脈沖響應(yīng)矩陣可實(shí)現(xiàn)的充分必要條件是能夠分解

3、成 其中，M，N和D分別為矩陣，該脈沖響應(yīng)矩陣的維實(shí)現(xiàn)是Chapter 5 Stability單變量系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定性：定理5.1 一個(gè)SISO系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充要條件是絕對(duì)可積： （其中M為常數(shù)）定理5.2 如果一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)為的系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，那么當(dāng)時(shí)： 1. 由激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為。 2. 由激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為定理5.3 若一個(gè)SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為正則有理函數(shù)，該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充要條件是的每個(gè)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。定理5.D1 一個(gè)SISO離散時(shí)間系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充要條件是絕對(duì)可加： （其中M為常數(shù)）定理5.D2 如果一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)為的離散時(shí)間系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，那么

4、當(dāng)時(shí)： 1. 由激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為。 2. 由激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為定理5.3 若一個(gè)離散SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為正則有理函數(shù)，該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充要條件是的每個(gè)極點(diǎn)都具有小于1的模。多變量系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定性：定理5.M1若一個(gè)多變量系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣為，該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充要條件是每一個(gè)絕對(duì)可積：定理5.M3 若一個(gè)多變量系統(tǒng)的傳遞矩陣為正則有理函數(shù)，該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充要條件是每一個(gè)的每個(gè)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。定理5.MD1若一個(gè)多變量離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列矩陣為，該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充要條件是每一個(gè)絕對(duì)可積。 定理5.M3 若一個(gè)多變量離散時(shí)系統(tǒng)的傳遞矩陣為正則有理函數(shù)，該系統(tǒng)是B

5、IBO穩(wěn)定的充要條件是每一個(gè)的每個(gè)極點(diǎn)都具有小于1的模。內(nèi)部穩(wěn)定性：定義5.1 一個(gè)線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)稱為限界穩(wěn)定或李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定是指每一個(gè)有限狀態(tài)初態(tài)所引起的響應(yīng)是有界的。該系統(tǒng)稱為漸近穩(wěn)定是指每一個(gè)有限狀態(tài)初態(tài)所引起的響應(yīng)是有界且當(dāng)時(shí)趨于零。定理 5.4 （1）方程限界穩(wěn)定的充要條件是A的所有特征值具有零實(shí)部或負(fù)實(shí)部，并且零實(shí)部的特征值是最小多項(xiàng)式的單根。 （2）方程漸近穩(wěn)定的充要條件是A的所有特征值具有實(shí)部。定理 5.D4 （1）方程限界穩(wěn)定的充要條件是A的所有特征值的模小于或等于1，并且模為1的特征值是最小多項(xiàng)式的單根。 （2）方程漸近穩(wěn)定的充要條件是A的所有特征值具有小于1

6、的模。定理 5.5 A的所有特征值均有負(fù)實(shí)部的充要條件是：給定任意正定對(duì)稱陣N，李雅普諾夫方程 具有唯一的解M，且M為正定、對(duì)稱陣。推論 5.5 一個(gè)維矩陣A的所有特征值均有負(fù)實(shí)部的充要條件是：給定任一矩陣，其中是扁矩陣，并有，即列滿秩，則方程具有唯一的解M，且M為正定、對(duì)稱陣。定理 5.6 若A的所有特征值均有負(fù)實(shí)部，則方程對(duì)任意N均有唯一解定理 5.D5 A的所有特征值的模均小于1的充要條件是給定任意正定對(duì)稱陣N，方程 具有唯一的解M，且M為正定、對(duì)稱陣。定理 5.D6 若A的所有特征值的模均小于1，則方程對(duì)任意N均有唯一解線性時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性1. 線性時(shí)變系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是存在常

7、矩陣使得，且2. 線性時(shí)變系統(tǒng)限界穩(wěn)定的充要條件是存在有限常數(shù)，使得3. 線性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件是：當(dāng)時(shí)，注意線性時(shí)變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定與A的特征值是否具有負(fù)實(shí)部無關(guān)。定理 5.7 限界穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性在李雅普諾夫變換下保持不變。Chapter 6 Controllability and Observability定義6.1 狀態(tài)方程稱為可控是指對(duì)于任意初態(tài)和任一末態(tài)，都存在一個(gè)輸入在有限時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)由轉(zhuǎn)移到。否則該狀態(tài)方程稱為不可控。定理 6.1 以下命題等價(jià)： 1. 維是可控的。 2. 矩陣是非奇異。 3. 可控性矩陣滿秩。 4. 矩陣對(duì)于任一A的特征值均滿秩。 5. 若A所有特征值具

8、有負(fù)實(shí)部，那么方程的唯一解是正定的：系統(tǒng)由轉(zhuǎn)移至的輸入信號(hào)：將此輸入信號(hào)代入得能控性指數(shù)：。其中，推論6.1 維（A，B）對(duì)是可控的充要條件是當(dāng)時(shí)， 滿秩。定理6.2 系統(tǒng)的可控性在等價(jià)變換下保持不變。定理6.3 （A，B）對(duì)的可控性指數(shù)集在等價(jià)變換或任意調(diào)換B陣的各列的情況下保持不變。定義6.O1 一個(gè)狀態(tài)方程稱為能觀是指對(duì)于任何未知的狀態(tài)初態(tài)，存在一個(gè)有限時(shí)間使得在已知的輸入和輸出可以唯一確定該狀態(tài)初態(tài)。否則系統(tǒng)稱為不能觀。定理6.4 一個(gè)狀態(tài)方程能觀的充要條件是維矩陣非奇異。定理6.5 對(duì)能控的充要條件是對(duì)能觀，該定理稱對(duì)偶定理。定理6.O1 以下命題等價(jià)： 1. 維是可觀的。 2. 矩

9、陣非奇異。 3. 可控性矩陣滿秩。 4. 矩陣對(duì)于任一A的特征值均滿秩。 5. 若A所有特征值具有負(fù)實(shí)部，那么方程的唯一解是正定的：能觀性指數(shù)：。其中，推論6.O1 維（A，C）對(duì)能觀的充要條件是當(dāng)時(shí)， 滿秩。定理6.O2 系統(tǒng)的能觀性在等價(jià)變換下保持不變。定理6.O3 （A，C）對(duì)的能觀性指數(shù)集在等價(jià)變換或任意調(diào)換C陣的各行的情況下保持不變。定理 6.6 對(duì)于維狀態(tài)方程，可構(gòu)建非奇異矩陣 其中前列為原列，后列任選。作等價(jià)變換或使原方程變換為：定理 6.O6對(duì)于維狀態(tài)方程，可構(gòu)建非奇異矩陣，其中前行為原行，后行任選。作等價(jià)變換可使原方程變換為：定理6.7 任意狀態(tài)空間方程可同時(shí)作能控性和能觀性

10、分解，構(gòu)造與原方程代數(shù)等價(jià)的狀態(tài)方程。其中既能控又能觀部分與原方程零狀態(tài)等價(jià)，有相同的傳遞函數(shù)。當(dāng)只考慮輸入輸出特性時(shí)，該方法可作為狀態(tài)方程的化簡(jiǎn)。定理6.8 （1）約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程能控的充要條件是B中相同特征值約當(dāng)塊的最后一行線性無關(guān)，若無相同特征值，則對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊最后（下）一行為非零行向量。 （2）約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程能觀的充要條件是C中相同特征值約當(dāng)塊的最后一列線性無關(guān)，若無相同特征值，則對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊最前（左）一列為非零列向量。推論6.8 （1）一個(gè)單輸入約當(dāng)形狀態(tài)方程可控的充要條件是每個(gè)互異的特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊，且B陣對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊最后一行的元素非零。 （2）一個(gè)單輸出約當(dāng)形狀態(tài)方

11、程能觀的充要條件是每個(gè)互異的特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊，且C陣對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊最前一列的元素非零。三種可控性定義：1. 將系統(tǒng)狀態(tài)從任一初態(tài)轉(zhuǎn)移至任意末態(tài)本書定義的可控性2. 將系統(tǒng)狀態(tài)從任一初態(tài)轉(zhuǎn)移至零到原點(diǎn)的可控性3. 將系統(tǒng)狀態(tài)從零轉(zhuǎn)移至任意末態(tài)能達(dá)性在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中上述三定義等價(jià)，因?yàn)榭偸欠瞧娈?。?duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，若A非奇異，三者仍然等價(jià)，當(dāng)A為奇異時(shí)卻不是，此時(shí)，系統(tǒng)一定具有到原點(diǎn)的可控性。定理 6.9 對(duì)于一個(gè)完全能控的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)以采樣時(shí)間T進(jìn)行離散化后，系統(tǒng)仍然能控的充分條件是對(duì)于所有滿足的特征值，當(dāng)系統(tǒng)為單輸入情況時(shí)，該條件為充要條件。定理6.10 若連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)不能控，那么以任何

12、采樣時(shí)間離散化后的系統(tǒng)仍不能控。定理6.11 維對(duì)在可控的充要條件是存在有限時(shí)間使得非奇異。定理6.12 維對(duì)在可控的充分條件是 其中，定理6.O11 對(duì)在能觀的充要條件是存在有限時(shí)間使得非奇異。定理6.O12 維對(duì)在能觀的充分條件是 其中，Chapter7 Minimal Realizations and Co-prime Fractions傳遞函數(shù)的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為定理7.1 的能控標(biāo)準(zhǔn)型能觀的充要條件是即約。定理7.2 狀態(tài)方程是傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是可控且 能觀，即：定理 7.3 所有的最小實(shí)現(xiàn)是等價(jià)的。定理 7.4 對(duì)于，用分子與分母的系數(shù)構(gòu)造陣，從左向右尋找線性無關(guān)列向量，

13、我們有：線性無關(guān)N列的個(gè)數(shù)，且即約分式的系數(shù) 等于包含最初線性相關(guān)N列及其左手側(cè)各列構(gòu)成的子陣的首一零向量。定理7.5 若和是等價(jià)的最小實(shí)現(xiàn)，那么和等價(jià)，具有正實(shí)特征值。定理7.6 任一維最小實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)方程均可等價(jià)于另一方程使得。定理7.7 嚴(yán)格正則有理傳遞函數(shù)的價(jià)為的充要條件是：友型實(shí)現(xiàn)：1. 計(jì)算2. 令，則，3. 計(jì)算定義7.1 正則有理矩陣的特征多項(xiàng)式是指所有子式的最小公分母。最小多項(xiàng)式是其所有元的最小公分母。定理7.M2 狀態(tài)方程是傳遞矩陣的最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是可控且 能觀，即：定理 7.M3 的所有的最小實(shí)現(xiàn)是等價(jià)的。定義 7.2 一個(gè)方陣稱為么模矩陣是指它的行列式的值非零且與S無

14、關(guān)。定義 7.3 一個(gè)方陣多項(xiàng)式是的最大右公因式是指： 1. 是的右公因式 2. 是所有右公因式的左倍式 若是么模矩陣，那么為右既約分式。定義 7.4 正則有理矩陣分別為右既約和左既約，則的特征多項(xiàng)式定義為或，的階定義為定義 7.5 一個(gè)非奇異多項(xiàng)式矩陣稱為列約是指列階之和，該矩陣稱為行約是指行階之和。一個(gè)矩陣不能同時(shí)行列約。 一個(gè)多項(xiàng)式矩陣為列約的充要條件是它的列階系數(shù)陣非奇異。定理7.8 設(shè)是矩陣，且列約，則有理矩陣正則的充要條件是，其中。推論7.8設(shè)是矩陣，且行約，則有理矩陣正則的充要條件是，其中定理 7.M4 對(duì)于左分式，用的系數(shù)陣構(gòu)造陣，從左向右尋找線性無關(guān)列向量，令是線性無關(guān)列的個(gè)

15、數(shù)，則且即約右分式的系數(shù)陣可由個(gè)包含最初線性相關(guān)列及其左手側(cè)各列構(gòu)成的子矩陣的首一零向量求得。算法7.1：由多項(xiàng)式矩陣既約分式求系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)考慮嚴(yán)格正則傳遞矩陣，令其中，（1）計(jì)算，其中兩行分別作為B陣的和最高次兩行。（2）計(jì)算，其中兩行分別作為A陣的和最高次兩行，A陣的左上、右塊低次行按對(duì)角線順序依次寫入1，A陣的左下、右上低次行全補(bǔ)0。（3）寫下，作為C陣。Chapter8 State Feedback and State Estimators定理8.1 可控的充要條件是可控。即狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。定理8.2 若可控的狀態(tài)方程有4階特征多項(xiàng)式為，存在線性變換使之變?yōu)槟芸貥?biāo)準(zhǔn)型。變換陣，

16、。定理8.3 若維狀態(tài)方程能控，則通過狀態(tài)反饋目標(biāo)系統(tǒng)矩陣可以任意配置特征值，其中復(fù)特征值共軛。算法8.1 李雅普諾夫方法配置極點(diǎn)： 1 選擇矩陣使之具有期望特征值。 2 選擇行向量使能觀測(cè)。 3 求解方程。 4 計(jì)算反饋向量定理8.4 若A與F無相同的特征值，則方程的解非奇異的充要條件是可控且可觀。跟蹤條件：，魯棒跟蹤條件：嵌入內(nèi)模。定理8.5 若可控且傳遞函數(shù)無純微分環(huán)節(jié)，那么狀態(tài)反饋外加內(nèi)模的單外反饋系統(tǒng)可通過選擇任意配置極點(diǎn)。閉環(huán)系統(tǒng)特征值。算法8.O1 李雅普諾夫方法求狀態(tài)觀測(cè)器： 1 選擇矩陣使之具有期望特征值。 2 選擇行向量使能控。 3 求解方程。 4 狀態(tài)觀測(cè)器為 算法8.R

17、1 李雅普諾夫方法求降維狀態(tài)觀測(cè)器： 1 選擇矩陣使之具有期望特征值。 2 選擇行向量使能控。 3 求解方程。 4 狀態(tài)觀測(cè)器為定理8. 6 若A與F無相同的特征值，則方程的解非奇異的充要條件是可觀且可控。定理8.M1 可控的充要條件是可控。即狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。定理8.M3矩陣可以任意配置特征值的充要條件是可控。定理8.7 若維輸入對(duì)可控且A是循環(huán)的，那么存在向量，單輸入系統(tǒng)是可控的。定理8.8 若可控，那么存在實(shí)常矩陣K，使是循環(huán)陣。循環(huán)設(shè)計(jì)思路：1. 引入K1，使系統(tǒng)為循環(huán)系統(tǒng)2. 引入，使系統(tǒng)為單輸入可控系統(tǒng)3. 按照單輸入系統(tǒng)設(shè)計(jì)法求4. 系統(tǒng)狀態(tài)反饋陣為算法8.M1 李雅普諾夫方法實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋 1 選擇矩陣使之具有期望特征值。 2 選擇矩陣使能觀測(cè)。3 求解方程。 4 若T為奇異，則重復(fù)上述步驟，若T非奇異，計(jì)算反饋向量算法8.R1 李雅普諾夫方法求降維狀態(tài)觀測(cè)器： 1 選擇矩陣使之具有期望特征值，且與原陣特征值互異。2 選擇矩陣L使能控。3 求解方程。 4 若奇異，則重復(fù)上述步驟，若非奇異，則狀態(tài)觀測(cè)器為Chapter9 Pole Placement and Model Matching定理9.1 對(duì)于任意均有解的充要條件是和互質(zhì)。定理9.2 單位反饋系統(tǒng)中，控制對(duì)象是正則有理函數(shù)，互質(zhì)，設(shè)，則對(duì)于任一階多項(xiàng)式，存在一個(gè)正則的階補(bǔ)償器，使閉環(huán)傳遞函數(shù)定理9.