直角三角形的存在性問題

1、 直角三角形的存在性問題1.（2008年盧灣區(qū)第24題）在坐標(biāo)平面xOy中（如圖1），已知拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與y軸交于點C，且OC2OA（1）求這個拋物線的函數(shù)解析式；（2）求點A到直線BC的距離；（3）將ABC沿直線AC翻折，使點B落到點B，連結(jié)BB，點Q是BB的中點，在拋物線上是否存在一點P，使QCP是以QC為直角邊的直角三角形，如果存在，求出P點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由2.（2010年浦東新區(qū)第24題）如圖2，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2，0），點B是點A關(guān)于原點的對稱點，P是函數(shù)圖像上的一點，且ABP是直角三角形（1）求點P的坐標(biāo)；（2）如果二次函

2、數(shù)的圖像經(jīng)過A、B、P三點，求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果第（2）小題中求得的二次函數(shù)圖像與y軸交于點C，過該函數(shù)圖像上的點C、點P的直線與x軸交于點D，試比較BPD與BAP的大小，并說明理由圖1 圖2【滿分攻略】上海中考很少考到直角三角形的存在性問題，偶有區(qū)縣在模擬考中訓(xùn)練一下借第1題（2008年盧灣區(qū)第24題），我講一個重要的策略，就是數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用：我們可以用函數(shù)的解析式表示圖像上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)可以表示點到坐標(biāo)軸的距離如圖4，圖5，二次函數(shù)的解析式為，那么拋物線上點P的坐標(biāo)可以設(shè)為在圖4中，點P到x軸的距離可以表示為，在圖5中，點P到x軸的距離可以表示為，點P到y(tǒng)軸的距

3、離可以用x表示我們先解完這道題，再點撥滿分攻略解：（1）由，知.因為，所以，因此，解得.所以拋物線的解析式為.（2）如圖3，過點作,垂足為點.在RtBOC中，所以，.在RtBAD中，所以.圖3（3），且，OCABCA，點落在軸上,.由于，所以.設(shè)點P的坐標(biāo)為.如圖4，當(dāng)時，過點P作PM軸于點M，則即當(dāng)時，P與B重合,；當(dāng)時，解得, 如圖5，當(dāng)時，過點P作PNy軸于點N，則AOCCNP，所以解得（P與C重合，不符合題意）綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為或或. 圖4 圖5我們從這道題的解題過程可以看到：1拋物線與x軸的交點A、B的坐標(biāo)與a(a0)的取值無關(guān)由OC2OA，數(shù)形結(jié)合可以確定點C的坐標(biāo)，從

4、而確定拋物線的解析式2原題中只給了一個沒有刻度的直角坐標(biāo)系，因此解這道題目的第一障礙是畫圖3第（2）題求A到直線BC的距離有什么意義呢？由點A的坐標(biāo)及點A到直線BC的距離，可以判定點A在OCB的平分線上，所以點B落在 y 軸上，OQ垂直平分線段BB，垂足為Q4在拋物線上求點P，拋物線是畫不準(zhǔn)確的，但是你必須明確這么幾點：準(zhǔn)確畫出A、B、C、B、Q五個點；拋物線開口向下，過A、B、C三點，頂點在第一象限，拋物線與BB的交點在CQ的右側(cè)5分類討論直角PQC的存在性，按直角頂點分和兩種情況6求點P的坐標(biāo)，關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形構(gòu)造的一般策略是過點P向坐標(biāo)軸畫垂線，這樣通過數(shù)形結(jié)合就可以把線段的長用點的

5、坐標(biāo)表示出來我們來看第2題（2010年浦東新區(qū)第24題）第（1）題，如果ABP是直角三角形，第一意識是要分類，憑借直覺和經(jīng)驗，PAB不可能為直角如圖6，ABP為直角是顯然的，點P與點B的橫坐標(biāo)相同APB為直角真的存在嗎？要分三步走：假如存在，列方程，根據(jù)方程的解判斷是否真的存在當(dāng)APB90°時，OP是RtAPB的斜邊上的中線，OP2設(shè)點P的坐標(biāo)為，由OP24，得解得如圖7，此時點P的坐標(biāo)為（，）第（2）題，又要憑借直覺和經(jīng)驗，當(dāng)ABP為直角時，經(jīng)過A、B、P三點的拋物線顯然不存在圖6 圖7第（3）題，直覺和經(jīng)驗更重要，點C在拋物線的對稱軸上，如圖8，由點C和點P的坐標(biāo)，可以判斷OPC

6、是等腰直角三角形，那么在圖9中， 1與2是同角的余角， 而2與3是等腰三角形OAP的兩個底角，經(jīng)過等量代換，得到1等于與3可能初三的同學(xué)更容易想到用相似三角形的判定定理2證明DAP與DPB相似(如圖9)，計算雖然麻煩，但是好不容易抓住思路了，就不要怕麻煩，仔細(xì)一些圖8 圖9 直角三角形的存在性問題1如圖1，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C(0，3)，對稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限當(dāng)以C、D、E

7、為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標(biāo)圖12如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(4，0)，點B的坐標(biāo)為(0，b)(b0)P是直線AB上的一個動點，作PCx軸，垂足為C記點P關(guān)于y軸的對稱點為P（點P不在y軸上），聯(lián)結(jié)PP、PA、PC設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a是否同時存在a、b，使PCA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a、b的值；若不存在，請說明理由 圖23如圖3，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標(biāo)；（2）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當(dāng)以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直

8、線l的解析式 圖3 4在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖像交于點A(1,k)和點B(1,k)設(shè)二次函數(shù)的圖像的頂點為Q，當(dāng)ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值 直角三角形的存在性問題答案1（1）拋物線為（2）直線BC為（3），圖1 圖2求點P的坐標(biāo)的步驟是：如圖1，圖2，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標(biāo)，再求出CE的中點F的坐標(biāo)，把點F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個值就是點P的橫坐標(biāo)2如圖3，當(dāng)PAC90°時，四邊形PACP是正方形點P的坐標(biāo)為(4，8)，此時a4，b4如圖4，當(dāng)PCA90°時，B、P、P三點重合，與點P不在y軸上矛盾，故此情況舍去如圖5，當(dāng)APC90°時，PPC是等腰直角三角形，AC2PP4OC所以4OC4OC此時，b2圖3 圖4 圖53（1）A(4, 0)、B(2, 0)（2）如圖6，過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了聯(lián)結(jié)GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在