初中常見動點問題解題方法45770

1、初中常見動點問題解題方法初中常見動點問題解題方法 唐江紅旗學校 張遠強引言引言 以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題.動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的某些元素（點、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋. 常見的動點問題常見的動點問題一、求最值問題二、動點構(gòu)成特殊圖形問題一、一、求最值問題求最值問題 初中利用軸對稱性質(zhì)實現(xiàn)“搬點移線”求幾何圖形中一些線段和最小值

2、問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個： （1）兩點之間線段最短； （2）三角形兩邊之和大于第三邊； （3）垂線段最短。 求線段和最小值問題可以歸結(jié)為：一個動點的最值問題，兩個動點的最值問題。一、一、求最值問題求最值問題 例、如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一動點P，使PD+PE的值最小，則其最小值是 _ 一個動點一個動點特點：特點： 已知兩個定點位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一已知兩個定點位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一 動點的位置，使動點與兩定點線段和最小，求出最小值。動點的位置，使動點與兩定點線

3、段和最小，求出最小值。思路：思路： 解決這類題目的方法是找出其中一定點關于直線的對稱點，解決這類題目的方法是找出其中一定點關于直線的對稱點， 連結(jié)這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點連結(jié)這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點 滿足最值的位置。滿足最值的位置。 考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上點就在這個圖形上。32p練習1、如圖，等邊AB

4、C的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則ECF的度數(shù)為（ ）A15 B.22.5 C.30 D. 45 2、如圖，在直角梯形中，ADBC，ABBC,AD=2， BC=DC=5，點P在BC上移動，當PA+PD取得最小值時，APD中AP邊上的高為 _ 3、如圖， O的半徑為2，點A、B、C在 O上，OAOB, AOC=60，P是OB上的一動點，則PA+PC的最小值是_ 兩個動點（一）兩個動點（一）特點：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間， 分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最小。思路：這類問題通過做這一定點關于兩條線的對稱

5、 點，實現(xiàn)“搬點移線”，把線段“移”到同 一直線上來解決。例例、如圖，AOB=45，P是AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值是_ 。BA PPEF例例、如圖，AOB=45，P是AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值是_ 。解析：解析：P P連接與OB，OA的交點即為R、Q過OB作P的對稱點P連接 OP，O P P過OA作P的對稱點9090P PPQR周長的最小值=210OP=O POP=P P由對稱性知： PR+PQ+RQ=P PO=10 練習1. 如圖，已知AOB的大小為，P是AOB內(nèi)部的一個定點，且OP=2，

6、點E、F分別是OA、OB上的動點，若PEF周長的最小值等于2，則=（ ）A30 B.45 C.60 D.902. 如圖，AOB=30，內(nèi)有一點P且OP=2，若M、N為邊OA、OB上兩動點，那么PMN的周長最小為（ ）A26 B.6 C. 6/2 D. 6 兩個動點（二）兩個動點（二）特點：兩動點在兩條直線上，定點和其中一個動點共特點：兩動點在兩條直線上，定點和其中一個動點共 線，求不共線動點分別到定點和另一動點的距線，求不共線動點分別到定點和另一動點的距 離和最小值離和最小值。思路：（思路：（1 1）利用軸對稱變換，使不共線動點在另一動）利用軸對稱變換，使不共線動點在另一動 點的對稱點與定點的

7、連線段上（點的對稱點與定點的連線段上（兩點之間線段兩點之間線段 最短最短） 例例 、如圖，在銳角ABC中AB=42,BAC=45，BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD、AB上的動點，則BM+MN的最小值是 _（2 2）這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直）這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段線時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。的長。 例例 、如圖，在銳角ABC中，AB=42,BAC=45，BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD、AB上的動點，則BM+MN的最小值是 _CDMBNANCBDNMNA解析：解析：作點N關于AD的對稱點N

8、此時BMMNBMMN要使BMMN最小則要滿足： B，M，三點共線NBM+MN的最小值 B =AB B垂直于 ACNN練習1. 如圖，在ABC中，C=90，CB=CA=4，A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是_2. 在銳角三角形ABC中，AB=4，BAC=60，BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動點，則BM+MN的最小值是 _ 小結(jié) 以“搬點移線”為主要方法，利用軸對稱性質(zhì)求解決幾何圖形中一些線段和最小值問題。如何實現(xiàn)“搬點移線”（1）確定被“搬”的點（2）確定被“移”的線二、動點構(gòu)成特殊圖形二、動點構(gòu)成特殊圖形 問題背景是特殊圖形,考

9、查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關系;分析過程中,特別要關注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置).分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關系，或是找到變化中的不變量，建立方程或函數(shù)關系解決。ABCD 如圖：梯形ABCD中，AD/BC，AD=9cm,BC=6cm，點P從點A出發(fā)，沿著AD的方向向終點D以每秒一個單位的速度運動，當點P在AD上運動時，設運動時間為t，求當t為何值時，四邊形APCB為平行四邊形.P問題導入ABCDP解析解析6t四邊形APCB為平行四邊形 AP=6 t=6動點構(gòu)成特殊圖形解題方法動點構(gòu)成特殊圖形解題方法4、根據(jù)所求,利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關系

10、， 找出等量關系列出方程來解決動點問題2、先確定特定圖形中動點的位置,畫出符合題意 的圖形化動為化動為靜靜3、根據(jù)已知條件，將動點的移動距離以及解決 問題時所需要的條件用含t的代數(shù)式表示出來1、把握運動變化的形式及過程;思考運動初始狀 態(tài)時幾何元素的關系，以及可求出的量 如圖，在RtABC中，B=90，BC=5 ，C=30.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒（t0）.過點D作DFBC于點F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF

11、；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由.（3）當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.3例題講解（1）求證：AE=DF解析： At2ttCB又AE=t，AE=DF。在DFC中，DFC=90o o，C=3030o o，DC=2t,DF=t 3030o o1單位/s2單位/s53030o o3（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由.At2ttCB解析：能，理由如下，ABBC，DFBC，四邊形AEFD為平行四邊形。由（1）知AE=DFAE DF在RtABC中，設AB=x, 則AC=2x, 解得x= 5 ,即AB=

12、 5 ,AC=10. 若使平行四邊形AEFD為菱形，則須AD=AE，即t= 10 -2t, t= 即當t= 時，四邊形AEFD為菱形。3030o o1單位/s2單位/s53030o o331031010-2t10-2t222ABBCAC222532XX（3）當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.At2tCB 若EDF=90o時，則四邊形EBFD為矩形3030o o10-2t10-2t解析在RtAED中，ADE=C=30o ,AD=2AE即10-2t=2t,t=3030o o當EDF=90o時1單位/s2單位/s53030o o3即10-2t= t（3）當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.At2tCB當DEF=90o時解析：由（2）知EFADADE=DEF=90oA=90o-C=60oAD= AE2121則t=41