洛必達(dá)法則的一些應(yīng)用

1、1 引言18 世紀(jì)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展， 以及這個世紀(jì)后期數(shù)學(xué)研究活動的擴張和數(shù)學(xué)教育的改革都 為 19 世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展準(zhǔn)備了條件 微積分學(xué)的深人發(fā)展， 才有了后面的洛比達(dá)法則， 而且 在英國和歐洲大陸是循著不同的路線進(jìn)行的在歐洲大陸，新分析正在萊布尼茨的繼承者 們的推動下蓬勃發(fā)展起來伯努利家族的數(shù)學(xué)家們首先繼承并推廣萊布尼茨的學(xué)說 . 雅各 布·伯努利運用萊布尼茨引用的符號，并稱之為積分，萊布尼茨采用他的建議，并列使用 微分學(xué)與積分學(xué)兩個術(shù)語雅各布·伯努利的弟弟約 . 翰·伯努利在萊布尼茨的協(xié)助之下 發(fā)展和完善了微積分學(xué) . 他借助于常量和變量，用解析表達(dá)式來定義函數(shù)

2、，這比在此之前 對函數(shù)的幾何解釋有明顯的進(jìn)步 . 他在求“ 0 / 0”型不定式的值時，發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)稱為洛必達(dá) 法則的方法，即用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限 . 約翰·伯努利的學(xué)生、法國 數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的無限小分析 (1696) 一書是微積分學(xué)方面最早的教科書，在十八世紀(jì)時 為一模范著作，他在書中規(guī)范了這一種算法即洛必達(dá)法則，之后洛必達(dá)法則的也得到了廣 泛應(yīng)用，這對傳播微分學(xué)起到很大的作用 .從極限概念的產(chǎn)生到現(xiàn)在已經(jīng)經(jīng)歷了兩千五百多年的發(fā)展，漫漫的歷史長河，人類在 尋求真理和科學(xué)的過程中不斷探索和總結(jié)，對于數(shù)學(xué)的探索給了人類科學(xué)發(fā)展以強大的動 力我們應(yīng)當(dāng)對任何知識都認(rèn)真的學(xué)習(xí)、研

3、究及做出總結(jié)不僅踏尋前人的路跡，同時也 要從中開創(chuàng)新的空間極限是數(shù)學(xué)分析的基石，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)不定式極限是一種常見和重要的極限類 型，其求法多種多樣，變化無窮本文先介紹了洛必達(dá)法則的定義，然后對洛必達(dá)法則使 用條件及其常見誤區(qū)進(jìn)行了詳細(xì)分析，闡述了該法則適用于解決函數(shù)極限的類型并舉例說 明其應(yīng)用，總結(jié)了洛必達(dá)法則的各種形式及使用范圍，并介紹了洛必達(dá)法則的基本應(yīng)用， 以及在使用洛必達(dá)法則解題時應(yīng)注意的問題 文章還將法則的適用范圍推廣至求數(shù)列極限， 然后分析法則的使用過程中容易出現(xiàn)的錯誤；最后通過具體實例說明了可以將法則和其他 求極限方法結(jié)合起來使用，使我們對法則有了更深入的理解，進(jìn)而提高了應(yīng)用

4、洛必達(dá)法則 解決問題的能力2 洛必達(dá)法則及使用條件在計算一個分式函數(shù)的極限時，常常會遇到分子分母同時趨向于零或無窮大的情況，由于這時無法使用“商的極限等于極限的商”的法則，運算將遇到很大的困難，事實上， 這時極限可能存在，也可能不存在，當(dāng)極限存在時，極限的值也會有各種各樣的可能，如當(dāng) x a(或 x )時，兩個函數(shù) f (x)與 g (x)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限lim f (x)可能存在也可能不存在 . 通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為 0 型和 (xx a) g(x)0型. 未定式極限除了以上兩種外，還有0 型、 型、 0型、1 型、 00型等五種，后面幾種都可以轉(zhuǎn)換成前面兩

5、種類型來進(jìn)行計算， 因此掌握 0 型和 型極限的計算方法是0前提洛必達(dá)法則 0 型0定理 設(shè)函數(shù) f (x)， g(x) 滿足：(1)當(dāng) x a時，函數(shù) f(x)及 g(x)都趨于零；(2)在點 a的某去心鄰域內(nèi)， f '(x)及 g'(x)都存在且 g'(x) 0；(3)lim f ' (x)存在(或為無窮大) ，x a g'(x)那么lim f(x) lim f'(x).x a g(x) x a g'(x)這就是說，當(dāng) lim f'(x)存在時， lim f ( x)也存在且等于 lim f '( x) ；當(dāng)lim f

6、 '(x)為x a g'(x) x a g(x) x a g'(x) x a g'(x)無窮大時， lim f (x) 也是無窮大， 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確 x a g(x)定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則 .證 明 因 為 f(x) 當(dāng) x a 時 的 極 限 與 f (a) 及 g(a) 無 關(guān) ， 所 以 可 以 假 定 g(x)f(a) g(a) 0 ，于是由條件( 1)、(2)知道， f (x)及g(x)在點 a的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的，設(shè) x是這一鄰域內(nèi)的一點，那么在以 x及 a為端點的區(qū)間上，柯西中值定理的條件均滿足，因此有g(shù)

7、f(xx)gf(xx) gf(aa)gf''( )( 在x與a之間).令x a并對上式兩端求極限，注意到 x a時a ，再根據(jù)條件( 3)便得要證明的結(jié)論如果 f'(x)當(dāng) xg'(x)a 時仍屬于 0 型，且這時0f ' (x) ， g'(x) 都能滿足定理中f (x) ，g(x)所要滿足的條件，那么可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則，從而確定lxima gf(xx)，即limxaf(x) g(x)lim f '(x)x a g'( x)lim f ''(x)x a g''( x)且可以依次類推 定理 設(shè)函數(shù)

8、 f (x)， g(x) 滿足：1)當(dāng) x時，函數(shù) f(x)及 g(x)都趨于零；(2)當(dāng) x N時， f '(x)及 g'(x)都存在且 g'(x) 0；(3) lim f '(x) 存在(或為無窮大) ，x g '( x)那么lim f(x) lim f'(x)x g(x) x g'( x)洛必達(dá)法則 型定理 設(shè)函數(shù) f (x)， g(x) 滿足：(1)當(dāng) x a 時，函數(shù) f (x)及 g(x) 都趨于 ；(2)在點 a的某去心鄰域內(nèi)， f '(x)及 g'(x)都存在且 g'(x) 0；(3)lim f &

9、#39; (x)存在(或為無窮大) ， x a g' (x)那么limxaf (x) g(x)limxaf '( x) g'(x)定理 設(shè)函數(shù) f (x)， g(x) 滿足：1)當(dāng) x時，函數(shù) f(x)及 g(x)都趨于2)當(dāng) x N時， f '(x)及 g'(x)都存在且 g'(x) 0；3)lim f'(x) 存在(或為無窮大) x g '( x)那么limxf (x) g(x)limxf '( x)g'(x)這幾如下0型其他類型未定式除了上述的 0 型和 型未定式外，還有 1 ,00 , 0 ,0 , 等類型

10、的未定式 0種類型的未定式， 都可轉(zhuǎn)化為 0 型或 型的未定式， 即可利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解0圖所示：00,1 , 0 型具體步驟如下：(1) 0 型未定式，則可將乘積化為除的形式，即當(dāng) x x0或 時，若 f (x) 0, g(x)這樣， 0(2)這樣，xlimx0 f x g型未定式就變?yōu)樾臀炊ㄊ娇赏ㄟ^通分計算，即當(dāng)x limx x0 1f x 或 lim f xx x0gx0 型或 型未定式 .0x x0 或時，若 f (x)gxlximx g1x ，x x0 1, g(x)fx，則lim f x g xx x01( f xxlimx01 1f x g x型未定式就變?yōu)?0 型未定式0(

11、3) 00 ，1 ， 0型未定式可先化為以 e 為底的指數(shù)函數(shù)的極限, 再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性, 轉(zhuǎn)為直接求指數(shù)的極限 , 而指數(shù)的極限形式為“ 0 ”型 ,再轉(zhuǎn)化為0 ” 型或“0”型計算 .當(dāng)xx0 或時，若 f(x) 0(或 f (x)1，或 f (x)， g(x) 0(或g(x)limx x0f(x)g(x)lim eg(x)ln f(x)x x0或 lim f(x)g(x)x x0g(x)ln f (x) lim eg(x)ln f (x) x x0lim g( x)ln f (x)ex x0 ，這樣就可利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解洛必達(dá)法則求極限的條件從定理知道 , 無論是“ 0 ”0型

12、還是“ ”型, 都必須具備一個重要條件 , 即在自變量的同一變化過程中， lim f '(x) 存在(或為 )時，才有 lim f(x) 存在(或為 )，且a) g'(x)(xx a) g(x)x(xlim f (x) lim f '(x) (xx a) g(x) (xx a) g'(x)但是此條件卻不便先驗證后使用，所以連續(xù)多次使用法則時，每次都必須驗證它是否為0 ”型或“ ”0型，其使用程序如下：lim f(x)(“ 0”)，(xx a) g(x) 0limxa(x )f '(x) (“ 0 ”)， (“ ”)， g'(x) 0. ，lxim

13、a f (nn 11)(x) (“ 0 ”)，若lim(xx a) g( n 1)(x)0(xx a)gf(nn)(xx)存在(或為 )，那么才有式子 lim f (x) lim f '(x)(xx a) g(x)(xx a) g'(x)(n 1)(x)(n 1)lim (n 1)(xx a) g(n 1)(x)lximagf(nn)(xx)成(xx a) g(n)(x)立。而上式成立是基lim f (x) (xx a) g(x)，lim f'(x) ，. ，lim(xx a) g'(x)(xx a)f(n 1)(x)gf (n 1)(xx)都是0 ”型未定式，

14、0而且從右到左依次相等， 但為了書寫方便， 在應(yīng)用此法則求極限時總是習(xí)慣于從左至右寫這樣 , 如果忽略了對條件的驗證 , 就有可能出錯 .例題 問 a,b取何值時，下式成立？lxim01bx sinx0x t2 dt0 a t1，a 0.1解法( 1) limx 0 bx sinx0x t 2 dt0at“00”)limx 0 bx sin x a x0，I）x2而 lim0 ，由此可以得到 lim(b cosx)x 0 a x x 00，是 b 1 ，所以lxim012xcosx a xlxim0x2axaxx22x1lim lim x 0 1 cosx a x 0 sin x1，即 a 4

15、. 根據(jù)以上從左至右的推導(dǎo)順序，問題出在式（I），即 limx10 b cosx2x 的存 ax在性并沒有論證，根據(jù)洛必達(dá)法則的條件，只有當(dāng)limx 0 b cosx存在時，式（ I ） ax才能成立，這個問題往往在求極限時被忽視，因此后面的做法就是去了根基，所以上述解法 （1） 錯誤 .x t20 dt 0解法( 2) lim 0 a t (“ 0 ”)x 0 bx sinx 0x2lim a x 0 ，如果 b 1 ，則上式等于 0，x 0 b cosx b 12與已知條件矛盾； 如果 b 1 ，則型未定式， 可用洛必達(dá)法則求解，x lim a x 是“ 0 ” x 0 b cosx 0x

16、 t 2 dt lim 0 a t ("0") x 0 bx sinx 0xaxlim a x (" 0x 0 1 cosx 0lim0ax2x1 cosx1 lim x2a x 0 1 cosxlxim0ax2x1 cosx11a lxim2.a.2x0 1 cosx2x lim x 0 sin x1, a 4.2 根據(jù)以上從右至左 , 多次應(yīng)用法則得a2x解法(2) 求出 lim a xx 0 b cosx0 后，b1討論了其存在性，排除了 b1的情形后，得出2”型未定式，若繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，就避免了x b 1 ；此時 lim a x 是“ 0x 0

17、 b cosx 0判定上述極限存在的錯誤，該問題的關(guān)鍵是討論 lim f '(x) 的存在性，只有它存在，才能 (xx a) F'(x)使用洛必達(dá)法則 .3 洛必達(dá)法則的應(yīng)用基本類型 : 0型及 型未定式0 在自變量的某變化過程中 , 對上述兩種基本類型可直接應(yīng)用法則求極限例 1 求 lim sinax (b 0) .x 0 sinbx解 這是“ 0 ”型未定式，0例2解例3解例4解例5解例6解例7sin axa cos ax alim limx 0 sin bx x 0 b cosbx b求 lxim1x3 3x 232xxx1這是“ 0 ”型未定式，0lxim1x33 x

18、2x2 x 13x2 3 lim 2 x 1 3x2 2x 1lim 6x 3x 1 6x 2 22 arctan x求 lim 2x1x2 arctanxlim 2 x1xlimx11 x21x22lim x 2 1 x 1 x2求 lim xnxx ( n 為正整數(shù)， e0).這是“”型未定式，相繼用洛必達(dá)法則n 次，得這是“ ”型未定式，n1limxlimxnxxelimxn ( n 1)x n 22xelimn!nxe0求 limx3sin x這是“ 0 ”型未定式，0求極限 limxnxxelimx 0 x3xsin xmli3x2cosxlim 6xsin x6limxnn 1x

19、nxxxlimxex en2n(n 1) xn 2 limx.xexn!. lim x 0 xe x3求極限 limxxln x這是“ ”型未定式，解 這是“ ”型未定式，32lim xlim 3xlim 3x3x ln x x 1xx注：在求極限時 , 如果lim f'(x)還是 0型未定式 ,且 f'(x) , g'(x)仍滿足洛必達(dá)法則條 g'(x) 0件，則可繼續(xù)使用該法則求極限例8求 limx0ln cot xlnxln cot x lim x 0 ln x1( csc2 x)(“ 0 ”)lim cotxlim xx01x 0 sin xcosx0x

20、x1limlim1.x0sin x x 0cosx”)注：計算時要注意已知極限的分離如 lim x 1 ，否則會越算越復(fù)雜 x 0 sin x可轉(zhuǎn)化為基本類型的未定式極限洛必達(dá)法則只能解決 0 型及 型未定式函數(shù)極限 , 而對于某一極限過程中“ 0 0“”，“ 00 ”，“ 0”，“ 1 ”等 5 種類型的極限也可經(jīng)過一定變形 , 轉(zhuǎn)化為基本類型再用法則求之 .1例 9 求 lim x ex 1 .x解 此題為“ 0 ” 型未定式 , 將原式中的 x 寫在分母上 , 使其變?yōu)椤?0 ”型后應(yīng)用洛 0必達(dá)法則 , 即1x e m lix1x1211xem lix”00“111xe m lixex

21、 m limli求解 此題為型未定式，lim 1 1x 1 x 1 lnx11 求極限 lim xx . x0這是 00 型未定式，設(shè)因為lim所以ln x x 1 lim x1(x 1) ln“00”)limx11 x1ln xlimx12x12x，取對數(shù)得lny x ln x時，上式右端是未定式eln y，而y lim eln y12 求極限 lim (1x0，lim ln yx0limln y lim x ln x ee1x2)x.此極限是 0 型未定式，1 lim (1 x2 ) x x故有即可得到lim ( x ln x)x0limlnx1ex1 lim x1x20，limelim0

22、lim0e01.limx1 ln(1 exx2)lim exln(1xx2)limxex2x1 x 22x13 求極限 lim ( arctan x) x .當(dāng)x， arctan x2 arctan x1，因此這是limxxln(2 arctan x) limln( 2 arctan x)limxlimxarctan x“00”)當(dāng)x 0 ），e0 1.1 型未定式，由于有1 2 12 arctan x 1 x212x2，2 x xln( arctan x )lim ( arctan x) xlim exx數(shù)列極限的洛必達(dá)法則求解例14求 limnln n2解 此問題可歸類到 “ ”型未定式極

23、限但由于題目中變量 n 為正整數(shù)對這些孤立點n 無法求導(dǎo) , 故不能直接利用洛必達(dá)法則求解應(yīng)先將極限式中的 n 換成連續(xù)變量 x ,求函數(shù) lim x 2 極限 , 再由歸結(jié)原則知原數(shù)列極限值， n ln x2故由歸結(jié)原則得limnlimnnln n2xlnx2limn12 2xlim xn. 該法則盡管求極限很方便但也并不是萬能的 , 而且使用時也要謹(jǐn)慎 , 否則容易出錯使用洛必達(dá)法則時不要忽視別的求極限方法洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法， 但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用 . 例如 能化簡時應(yīng)盡可能先化簡，可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時，應(yīng)盡可能應(yīng)用，這樣 可以運算簡便 .例 1

24、5 求lxim0taxn2sxinxx.解 如果直接用洛必達(dá)法則，那么分母的導(dǎo)數(shù)（尤其是高階導(dǎo)數(shù)）較復(fù)雜，如果作一個等 價無窮小替代，那么運算就方便得多，其運算如下：tanx xtanxxxtanxxlim 2lim 3lim 3x 0 x2 sinxx 0 x3sin xx 0 x3例 16求 limxolxim0sec2 x3x22sec2 xtanx1tanx1limlimx 0 6x3 x 0x313x sin3x2 tan x ln(1 x)解 顯然當(dāng) x 0 時， tanx x ， ln(1 x)x ，故lim 32x sin3xlim3x s3in3x lim 3 3co2s3x

25、x 0 tan x ln(1 x) x 0xx 03xlim 3sin3xx 0 2x該法則是通過計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 利用導(dǎo)數(shù)的極限求出原函數(shù)的極限 , 故只適用于函數(shù)極限的求解 . 然而在應(yīng)用時 , 對“ 0 ”型及“ ” 型數(shù)列極限也可間接應(yīng)用 04 使用洛必達(dá)法則時常見錯誤不符合條件的使用有時極限式并不滿足法則條件如用法則求解會得出錯誤結(jié)果 , 主要有兩種情形1）極限式非未定式例17求lim 1 cos2x x 0 1 x2lxim01 cosx1 x2lim (1 cos2x)'x 0 (1 x2)'limsin x 12x 2由于本題不是未定式0 ”型 , 而上面錯誤

26、地應(yīng)用了洛必達(dá)法則0從而得出錯誤的結(jié)論. 事實上 , 此題可以直接利用函數(shù)連續(xù)性得到結(jié)果lim 1 cos2xx 0 1 x22）使用法則求導(dǎo)后出現(xiàn)極限不存在現(xiàn)象1 特別當(dāng) x 0 時 , 函數(shù)式中含有 sin1 或 cos 或當(dāng) x xx時函數(shù)式中含有sin x 或cosx 時 , 用法則求極限時出現(xiàn)極限振蕩 , 此時法則失效 .21 x sin 例 18 求極限 lim x x 0 sin x分析 這問題是0 ”型未定式 , 但分子、 分母分別求導(dǎo)后變成 lim0 x 012xsinx1cosx，cosx11而 sin 與 cos 當(dāng) xxx0 時極限均不存在，即此時法則失效，但原極限存在

27、，可用如下方法求得 .21 x sin lim x x 0 sin xlim xx 0 sin x1 x 1x sin lim lim x sin 1 0 0.x x 0 sin x x 0 xxmli 求9 例sinxx解 lim x sinx (“ xx0 ”)0lim 1 cosx （振蕩），法則失效，但原函數(shù)極限存在，可用如x方法求得 .limxx sinxsin x1 lim x1.多次使用法則后極限式出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象例 20 求 limxxxeexex e 解 lim x xex“00”)limxxexexexe“00”)limxxxeex ，求導(dǎo)兩次后極限 e式出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象 , 故洛

28、必達(dá)法則失效, 不能使用 . 但原式極限存在, 可用下面方法求得 :對離散點列求導(dǎo)例21 求 lim n n .xlimxxex elimx2xe2xe1.錯解 屬于 0 型，先進(jìn)行變形，lim n n limxx1 nnlimx1lnnnx exlim lnn n1 lim n ex1e0 1.錯誤原因： f （n） n n 是離散的點列，系列孤立的點，連續(xù)都談不上， 更不用說可導(dǎo) .正解lim x x lim xxxlimx1lnxexlim ln x exxlimxex1x1 e0 1.因為 lim x xx1 所以 lim n nn1 （這是般”到“特殊”的過程）濫用導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性例

29、22 設(shè) f (x)在某U(0, )存在，且 f(0) 1, f (0)2 求 limxf(x)錯解limx 0 1xf(x)lxim01f (x)11f (0) 2錯誤原因：f (x) 在 x=0 處未必連續(xù) .選擇題可以用此解法，這是一種策略.)正解mli導(dǎo) 可 階 二mlimlilim xlim 1lim 11 1 (導(dǎo)數(shù)定義)x 01 f (x)x 0 f (x) 1x 0 f (x)f (0)f (0) 2xx01lim f (x h) f (x) f (x h) f (x)2 lhim0h h2 lhim0f (x) f (x)錯誤原因：沒有分清在極限過程中0.h和x 誰是變量，誰

30、是常量錯解 2xfmlix(fmlix(fmlim0lih1)x錯誤原因：二階導(dǎo)函數(shù)未必連續(xù)，即：lim f (x h) f (x) 不一定成立 h0注：由 f (x)存在，但 f ( x)不一定連續(xù)， 所以第 2 個等號后面不符合洛必達(dá)法則的條件正解mli)( f2mlimlim lih11 f (x) f (x) f (x) (這是由導(dǎo)數(shù)定義得到的)25 用洛必達(dá)法則解題應(yīng)注意的幾個問題洛必達(dá)法則是求不定式函數(shù)極限的一種普遍且有效的方法但在運用洛必達(dá)法則解題 時發(fā)現(xiàn)，解題過程有時仍然較復(fù)雜，有時出現(xiàn)循環(huán)，甚至無法求解為充分發(fā)揮洛必達(dá)法 則的作用，提高解題效率，解題時應(yīng)注意以下幾個問題 .1

31、）及時化簡使用洛必達(dá)法則前，有時需要對函數(shù)進(jìn)行化簡，可以視函數(shù)式的特征進(jìn)行分子、分母 有理化，或進(jìn)行簡單的分離例24 求lim 1 x 1 3sinxcosx x 0x3分析：本題分子有 2個根式， 若直接運用洛必達(dá)法則， 解題過程則較復(fù)雜， 如果進(jìn)行分子有理化并及時分離，則可以簡化，解題過程如下：解 lim 1 x 1 sinxcosx x0lxim0 ( 31 x)2 ( 1 sinxcosx)2x 0 x3( 1 x 1 sin x cosx)2）及時替換在使用洛必達(dá)法則前，可以應(yīng)用等價無窮小替換時，應(yīng)及時進(jìn)行替換，以減少中間計 算量，簡化運算過程x sin x 例 25 求 limx 0 xsin分析：注意到當(dāng)0 時， sinx解 lim x si2nxx 0 xsin2 xlimx0x sin x3xlim 2 x 0 sin2 xlim 1 cosxx02lim sin x 13x2x 0 6x63）及時變換有時使用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限時，發(fā)現(xiàn)會反復(fù)循環(huán)這時需要觀察題目的特征，及時變換例 26 求xx xlim 33x 33 x分析：直接使用洛必達(dá)法則，無法求解，分子分母同時除以x3 ，則問題迎刃而解解 xlim 3xx 3 xxx 3x 3 xlimx32x 132x 1xlim 2ln3 322xx 1.x 2ln3 32x（4）及時整