考研數(shù)學知識點總結

1、考研數(shù)學考點與題型歸類分析總結1高數(shù)部分1.1 高數(shù)第一章函數(shù)、極限、連續(xù)求極限題最常用的解題方向：1.利用等價無窮小；2.利用洛必達法則型和型直接用洛必達法則、型先轉化為型或型，再使用洛比達法則；3.利用重要極限，包括、；4.夾逼定理。1.2 高數(shù)第二章導數(shù)與微分、第三章不定積分、第四章定積分第三章不定積分提醒：不定積分中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時如果在答案中少寫這個C會失一分。所以可以這樣加深印象：定積分的結果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分，把它折彎后就是中的那個C,漏掉了C也就漏掉了這1分。第四章定積分及廣義積分解題的關鍵除了運用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差

2、異出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對于型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有=0；若f(x)為偶函數(shù)則有=2；對于型積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時用的代換是常用方法。所以解這一部分題的思路應該是先看是否能從積分上下限中入手，對于對稱區(qū)間上的積分要同時考慮到利用變量替換x=-u和利用性質(zhì) 、。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對于證明定積分等式的題目也同樣有效。1.3 高數(shù)第五章中值定理的證明技巧用以下邏輯公式來作模型：假如有邏輯推導公式AE、(AB)C、(CDE)F,由這樣一組邏輯關系可以構造出若干難易程度不等的證明題，其中一個可以是這樣的

3、：條件給出A、B、D，求證F。為了證明F成立可以從條件、結論兩個方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把從結論入手證明稱之為反方向。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的邏輯推導公式太多，難以從中找出有用的一個。如對于證明F成立必備邏輯公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同時存在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如(AB) M，因為其中涉及了題目所給的3個條件中的2個，但這恰恰走不通； 2.對于解題必須的關鍵邏輯推導關系不清楚，在該用到的時候想不起來或者弄錯。如對于模型中的(AB) C，如果不知道或弄錯則一定無法得出結論。反方向入手證明時也會遇到同樣的問題

4、。通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。so，解證明題時其一要靈活，在一條思路走不通時必須迅速轉換思路，而不應該再從頭開始反復地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點是如何從題目中盡可能多地獲取信息?！氨M可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結論”中獲取信息有時也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時一開始就想到了公式(CDE) F再倒推想到 (AB) C、 AE就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的

5、證明題，那么主要靠“倒推結論”入手的“結論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結論可用定理A關于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，常常是只有連續(xù)性已知存在一個滿足某個式子介值定理（結論部分為：存在一個使得）零值定理（結論部分為：存在一個使得）B條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導存在一個滿足費馬定理（結論部分為： ）羅爾定理（結論部分為：存在一個使得）C存在一個滿足拉格朗日中值定理（結論部分為：存在一個使得）柯西中值定理（結論部分為：存在一個使得）另還常用構造輔助函數(shù)法，轉化為費馬或羅爾定理。

6、面對這一部分的題目時，如果把欲證結論與可能用到的幾個定理的的結論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處so要“牢記定理的結論部分”。綜上所述，針對包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結論的提示作用，正推和倒推相結合；同時保持清醒理智，降低出錯的可能”。不過僅僅弄明白這些離實戰(zhàn)要求還差得很遠，因為在實戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當時想不到；我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運用各種變形轉換技巧，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。1.

7、4 高數(shù)第六章常微分方程歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復雜。解題套路：“辨明類型套用對應方法求解”先討論一階方程部分。這一部分結構清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠對易混淆的題目做出準確判斷。各種類型的方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為f(x)dx=f(y)dy的形式，再積分得到答案。對于可分離變量型方程 變形為=-，再積分求解齊次方程做變量替換，則化為原方程就化為關于的可

8、分離變量方程，變形積分即可解對于一階線性方程y = Ce -ò p(x)dx（ò e ò p(x)dx q(x) dx+C）全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy因為其有條件，而且解題時直接套用通解公式.所以，對于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于型方程，就是先把當作未知函數(shù)Z，則 原方程就化為 的一階方程形式，積分即得；再對、依次做上述處理即可求解； 叫不顯含y的二階方程，解法是通過變量替換 、 (p為x的函數(shù))將原方程化為一階方程；叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令（但此中的p為y的函

9、數(shù)），則，也可化為一階形式。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換”，“求解貝努利方程就用變量替換”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換、 ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換、”。大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應的公式即可。其中二階線性微分方程解的結構定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結構定理非常相似，可以對比記憶：若、是齊次方程的兩個線性無關的特解，則該齊次方程的通解為若齊次方程組Ax=0的基礎解系有(n-r)個線性無關的解向量，則齊次方程組的通解為非齊次方程的通解為，其中是非齊次方程的一個特解，是對應齊次方程的通解非齊次方程組Ax=b的一

10、個通解等于Ax=b的一個特解與其導出組齊次方程Ax=0的通解之和若非齊次方程有兩個特解，則對應齊次方程的一個解為若、是方程組Ax=b的兩個特解，則(-)是其對應齊次方程組Ax=0的解可以說本章難就難在記憶量大上。1.5 高數(shù)第七章一元微積分的應用本章包括導數(shù)應用與定積分應用兩部分，其中導數(shù)應用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點；而定積分的應用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結合。典型的構題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分單獨分離到方程的一端形成“”的形式，在兩邊求導得到微分方程后套用相關方程的對應解法求解。對于導數(shù)應用，有以下一些

11、小知識點：1. 利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導判斷，判定極、最值時則須注意以下兩點： A. 極值的定義是：對于的鄰域內(nèi)異于的任一點都有或,注意是或 而不是或； B. 極值點包括圖1、圖2兩種可能，所以只有在在處可導且在處取極值時才有。討論方程根的情況。這一部分常用定理有零點定理（結論部分為）、羅爾定理（結論部分為）；常用到構造輔助函數(shù)法；在作題時，畫輔助圖會起到很好的作用，尤其是對于討論方程根個數(shù)的題目，結合函數(shù)圖象會比較容易判斷。2. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：A.若函數(shù)在 區(qū)間I上的，則在I上是凸的； 若在I上的，則在I

12、上是凹的；B.若在點處有且，則當時為極大值，當時為極小值。其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導數(shù)定義，是的變化率，是的變化率。可以說明函數(shù)是增函數(shù)； 可以說明函數(shù)的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能：同樣，也只有兩種對應圖像：所以，當時，對應或的函數(shù)圖像，是凸的； 當時，對應或的函數(shù)圖像，是凹的。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“且”，這從圖像上也很容易理解：滿足的圖像必是凸的，即或，當且時不就一定是的情況嗎。對于定積分的應用部分，首先需要對微元法熟練掌握。關于定積分的應用，以下補充列出了定積分各種應用的公式表格：求平面圖形面積 求旋轉體體積（

13、可用微元法也可用公式）繞軸旋轉體的體積，繞軸旋轉體得體積繞軸旋轉體的體積，繞軸旋轉體得體積已知平行截面面積求立體體積 求平面曲線的弧長 1.6 高數(shù)第八章無窮級數(shù)本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級數(shù)斂散性”、“級數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的冪級數(shù)展開”。其中判斂是大、小題都常考的，在大題中一般作為第一問出現(xiàn)，求和與展開則都是大題。對于級數(shù)判斂部分，主要用的方法是比較法、級數(shù)斂散性的定義和四則運算性質(zhì)。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子： 1. 已知級數(shù)收斂，判斷級數(shù)的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式，再應用比較法的一般形式即可判明。其實這種“知一判

14、一”式的題目是有局限性的若已知級數(shù)收斂，則所要求判斂的級數(shù)只能也是收斂的，因為只有“小于收斂級數(shù)的級數(shù)必收斂”這一條規(guī)則可用，若待判斂級數(shù)大于已知收斂級數(shù)，則結果無法判定。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中收斂的是（）”。 2 上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級數(shù)某些性質(zhì)要求判斷斂散性，方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數(shù)建立起聯(lián)系，再應用比較法一般形式判斷。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列滿足，判斷級數(shù)的斂散性。關鍵步驟是：由得到，再利用比較判斂法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。冪級

15、數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的冪級數(shù)展開問題是重點內(nèi)容，也是每年都有的必考題。在復習過程中對于具有“淺看復雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識點要倍加注意，對于無窮級數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識點，更是要緊抓不放。因為這種知識點對“復習時間投入量”的要求接近于一個定值，認認真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點“一次投入，終生受益”的意思，花時間來掌握很劃算。另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達到熟練做題程度以后會發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。這種規(guī)律是建立在對6個關鍵的函數(shù)展開式“熟之又熟”的掌握上的。對此6個展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對條件、等式的左

16、端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯概率降到最小。公式如下：1. （-1，1）2. （-1，1）3.4. 5. 6. 這六個公式可以分為兩個部分，前3個相互關聯(lián)，后3個相互關聯(lián)。1式是第一部分式子的基礎。不就是一個無窮等比數(shù)列嗎，在時的求和公式正是函數(shù)展開式的左端。所以這個式子最好記，以此為出發(fā)點看式子2：1式左端是，2式左端是；1式右端是，2式右端也僅僅是變成了交錯級數(shù),故可以通過這種比較來記憶式子2；對于3式來說，公式左端的與2式左端的存在著關系“”，故由的展開式可以推導出的展開式為。這三個式子中的，相互之間存在著上述的清

17、晰聯(lián)系。后3個式子的，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。這一部分的基本式是公式4：與之相比，的展開式是，的展開式是。一個可看成是將展開式中的奇數(shù)項變成交錯級數(shù)得到的，一個可看成是將展開式中的偶數(shù)項變成交錯級數(shù)而得到。像這樣從“形似”上掌握不費腦子，但要冒記混淆的危險，但此處恰好都是比較順的搭配：、習慣上說“正余弦”，先正后余；而的展開式對應的是奇數(shù)項，的展開式對應的是偶數(shù)項，習慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。在已知冪級數(shù)求和函數(shù)時，最佳途徑是根據(jù)各個公式右端的形式來選定公式：第一部分(前3式)的展開式都不帶階乘，其中只有的展開式不是交錯級數(shù)；第二部分（后3式）的展開式都帶階乘

18、，其中只有的展開式不是交錯級數(shù)。由題目給出的冪級數(shù)的形式就可以看個八九不離十了，比如給出的冪級數(shù)帶階乘而不是交錯級數(shù)，則應該用公式4，因為冪級數(shù)的變形變不掉階乘和；若題目給出的冪級數(shù)不帶階乘而且是交錯級數(shù)，則必從2、3兩式中選擇公式，其它情況也類似。對于函數(shù)的冪級數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級數(shù)展開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用于展開、求和）。對于數(shù)項級數(shù)求和的題目，主要方法是構造冪級數(shù)法，即利用變換求得冪級數(shù)的和函數(shù)以后代入極限式即可。

19、其中的關鍵步驟是選擇適當?shù)?，一般情況下如果、這樣的項在分子中，則應該先用逐項積分再用逐項求導，此時的應為的形式，如、，以方便先積分；若題目有、這樣的項，則應為的形式，如、，便于先求導。這些經(jīng)驗在做一定量的題目后就會得到。1.7 高數(shù)第十章多元函數(shù)微分學復習本章內(nèi)容時可以先將多元函數(shù)各知識點與一元函數(shù)對應部分作對比，這樣做即可以將相似知識點區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數(shù)的對比來促進對二元函數(shù)某些地方的理解。二元函數(shù)相似一元函數(shù)極限二元函數(shù)的極限要求點以任何方向、任何路徑趨向時均有（、）。如果沿不同路徑的不相等，則可斷定不存在。不同一元函數(shù)的極限與路徑無關，由等價式即可判斷。連續(xù)性二元函數(shù)

20、在點處連續(xù)性判斷條件為：存在且等于相似一元函數(shù)在點處連續(xù)性判斷條件為且等于（偏）導數(shù)二元函數(shù)的偏導數(shù)定義：分段函數(shù)在分界點處求偏導數(shù)要用偏導數(shù)的定義相似一元函數(shù)的導數(shù)定義：分段函數(shù)在分界點處求導數(shù)需要用導數(shù)定義全微分簡化定義為：對于函數(shù)，若其在點處的增量可表示為，其中為的高階無窮小，則函數(shù)在處可微，全微分為，一般有相似簡化定義為：若函數(shù)在點處的增量可表示為，其中是的高階無窮小，則函數(shù)在該點可微，即，一般有可微、可導、連續(xù)連續(xù) 可導 可微不同連續(xù) 可導 可微全導數(shù)設，且都可導，則對的全導數(shù)不同一元函數(shù)沒有“全導數(shù)”這個概念，但是左邊多元函數(shù)的全導數(shù)其實可以從“一元復合函數(shù)”的角度理解。一元復合函

21、數(shù)是指、時有。與左邊的多元函數(shù)全導數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來。復合函數(shù)微分法鏈式求導相似一元復合函數(shù)求導公式如上格所示，與多元復合函數(shù)求導公式相似，只需分清式子中與的不同即可隱函數(shù)微分法求由方程確定的隱含數(shù)的偏導數(shù)，可用公式：，對于由方程組確定的隱含數(shù)、可套用方程組不僅 “形似”，且在相當大程度上相通一元復合函數(shù)、參數(shù)方程微分法對一元隱函數(shù)求導常采用兩種方法：1.公式2.將y視為x的函數(shù)，在方程兩邊同時對x求導一元參數(shù)方程微分法：若有則極值極值定義：函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，且對于其中異于P點的任一點，恒有或，則稱為的極小/大值，方程組的解稱為函數(shù)的駐點。相似極值定義：函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義

22、且對于其中異于該點的任一點恒有或，則稱為的極小/大值，方程的解稱為函數(shù)的駐點。取極值的充分條件函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有連續(xù)二階偏導，且滿足、，若或則為極小值點；若或則為極大值點。大綱對于多元函數(shù)條件極值的要求為“會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值”，是一種比較簡單而且程式化的方法。一元函數(shù)則無對應的內(nèi)容。相似函數(shù)在點的鄰域內(nèi)可導，且滿足、，則：若，則為極小值；若，則為極小值1.8 高數(shù)第十章重積分大綱對于本章的要求只有兩句：1.理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）在做二重積分的題時常用的是更換積分次序的方法與幾個變換技巧2 線性代數(shù)部

23、分2.1 線代這門課的特點 線性代數(shù)與高數(shù)和概率相比，特點之一是知識點比較細碎。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關系，記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點在于知識點間的聯(lián)系性很強。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導和前后印證的關系。所以我們在復習線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會貫通”。“融會”可以理解為設法找到不同知識點之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識點之間的順承關系。這樣做的目的就在于當看到題目的條件和結論、推測出其中涉及到的知識點時立刻就能想到與之有

24、關聯(lián)的其他知識點隊列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。出題專家在編制題目時常常利用這些聯(lián)系將兩部分的內(nèi)容結合起來出題，比如在歷年真題中出現(xiàn)頻率很高的性質(zhì)“齊次方程組是否有零解對應于A的列向量組是否線性相關；非齊次方程組Ax=b是否有解對應于向量b是否可由A的列向量線性表示”。再如一個貌似考察向量組線性無關的題目，做起來以后才發(fā)現(xiàn)實際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題眼就在于性質(zhì)“方陣A可逆ó|A|=0óA的列向量組線性無關ór(A)=n”，依靠這一性質(zhì)建立起了線性無關和矩陣秩兩個知識點間的聯(lián)系。2.2 線代第一章行列式、第二章矩陣第一章行列式、第二章矩陣是線性代數(shù)

25、中的基礎章節(jié)，有必要熟練掌握。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式具體行列式的計算低階n階應用行列式按行列展開定理化為上下三角行列式求解行列式的定義、行列式的性質(zhì)抽象行列式的計算考點不在求行列式，而在于、等的相關性質(zhì)第二章矩陣中的知識點很細碎，但好在每個小知識點包括的內(nèi)容都不多，沒有什么深度。由歷年考研真題可見，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識點包括矩陣運算的運算規(guī)律、的性質(zhì)、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質(zhì)、某些結構特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。所以復習本章的難度主要在于如何保證復習的全面細致，一些做題時用到的性質(zhì)和方法結合具體的題目就題論題才有最佳的效果：行列式性質(zhì)特征值性質(zhì)（為矩陣的特征

26、值）運算性質(zhì)秩的性質(zhì)轉置矩陣逆矩陣有特征值伴隨矩陣有特征值、三者之間有一個即好記又好用的性質(zhì)數(shù)乘矩陣、矩陣之積及矩陣之和有特征值，有特征值則有：若可逆則有；同樣，若可逆則有2.3 線代第三章向量、第四章線性方程組線代第三章向量、第四章線性方程組是整個線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨立， 可以看作是對第三、四章核心內(nèi)容的擴展。向量與線性方程組兩章的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，因為這樣

27、做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。解線性方程組可以看作是這兩章內(nèi)容的出發(fā)點和目標。線性方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式；其中是系數(shù)矩陣,；另一種是向量形式，其中 。向量就這樣被引入了。先討論其次線性方程組與線性相關、無關的聯(lián)系。齊次線性方程組可以直接看出是一定有解的，因為當式等式一定成立，印證了第三章向量部分的一條性質(zhì)“0向量可由任何向量線性表示”，即當中的時一定存在一組數(shù)使等式成立，至少在全為0時可以滿足。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1.有唯一零解；2.有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的只能全為0才

28、能使等式成立，而第三章向量部分中判斷向量組是否線性相關無關也正是由這個等式定義出的。線性相關的定義為：設為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù)使得等式成立，則稱向量組線性相關；如果等式當且僅當時成立，則稱向量組線性無關。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組是否有非零解對應于系數(shù)矩陣A的列向量組是否線性相關。假如線性相關無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的，那同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數(shù)”，向量組組成的矩陣有說明向量組的極大線性無關組中有n個向量，即線性無關，也即等式只有0解。所以，經(jīng)過“秩線性相關無關線

29、性方程組解的判定”的邏輯鏈條，由就可以判定齊次方程組只有0解。當時，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時有非零解，且有n-r個線性無關的解向量。這又與另一條性質(zhì)相和：如果齊次線性方程組方程個數(shù)小于未知量個數(shù)則必有非零解。若方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，則方程個數(shù)小于未知量個數(shù)時有m<n；因為矩陣的秩等于行秩也等于列秩，所以必有，根據(jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。對于非齊次方程組來說，其解的判定定理與“線性表示”的概念前后聯(lián)系：非齊次方程組是否有解對應于向量是否可由的列向量線性表示。線性表示的定義為：對于向量組若存在一組數(shù)使等式成立，則稱向量可由向量組線性表示。而使上述等式成立的就是非齊

30、次方程組的解，故齊次方程組有性質(zhì)“齊次線性方程組是否由非零解對應于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性向關”，非齊次方程組也由對應性質(zhì)“非齊次線性方程組是否有解對應于向量是否可由的列向量線性表示”。當非齊次線性方程組與對應齊次線性方程組滿足時，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。這一點也正好印證了一個重要定理：“若線性無關，而線性相關，則向量可由向量組線性表示，且表示方法唯一”。以上討論了線性相關、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點，更是為了有效應對考試題。線代部分的題目難就難在考點的跨度大，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識點

31、，那怕對這些孤立的點掌握的再透徹，在作題時也會被題目給弄的暈頭轉向。矩陣線性方程組向量 解線性相關/無關秩三個雙重定義：1. 秩的定義 a.矩陣秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數(shù) b.向量組秩定義：向量組的極大線性無關組中的向量個數(shù)2.線性相關無關的定義：a. 對于一組向量，若存在不全為零的數(shù)使得成立，則相量組線性相關，否則向量組線性無關，即上述等式當且僅當全為0時才成立。b. 向量組線性相關ó向量組中至少存在一個向量可由其余n-1個向量線性表出； 線性無關ó向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。2. 線性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：b. 向量形式：兩條性質(zhì)：1

32、.對于方陣有：方陣可逆ó存在方陣使得óó的行列向量組均線性無關óó可由克拉默法則判斷有唯一解，而僅有零解。對一般矩陣則有：ó的列向量組線性無關ó僅有零解，有唯一解。2.齊次線性方程組是否有非零解對應于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關，而非齊次線性方程組是否有解對應于是否可以由的列向量組線性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁：性質(zhì)2性質(zhì)1中的“|A|0óA的列向量組線性無關”行列式 線性相關 線性方程組性質(zhì)1中的“r(A)=nóA的列向量組線性無關” 秩 另

33、外，線性代數(shù)部分在考試時會經(jīng)常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導出來”的性質(zhì)和結論，所以有必要擴大一些知識面，說不定在考試時就會有意外收獲：1. 一個線性無關的向量組不可能由一個所含向量個數(shù)比它少的向量組線性表示。如果向量組可由向量組線性表示，則有。等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數(shù)的向量；任何一個向量組都與它的極大線性無關組等價。2. 常見的線性無關組：齊次方程組的一個基礎解系；、這樣的單位向量組；不同特征值對應的特征向量。3. 關于秩的一些結論：；若有、滿足，則；若是可逆矩陣則有；同樣若可逆則有。非齊次線性方程組有唯一解則對應齊次方程組僅有零解，若有無

34、窮多解則有非零解；若有兩個不同的解則有非零解；若是矩陣而則一定有解，而且當時是唯一解，當時是無窮多解，而若則沒有解或有唯一解。2.4 線代第五章特征值和特征向量相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點，但卻是一個考試重點，歷年考研真題都有相關題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關題目要用到線代中的大量內(nèi)容即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關，“牽一發(fā)而動全身”；著重考察這樣的知識點，在保證了考察面廣的同時又有較大的出題靈活性。本章知識要點如下：1.特征值和特征向量的定義及計算方法。記牢一系列公式如、和。歷年真題中常用到下列性質(zhì)：

35、若階矩陣有個特征值 ，則有；若矩陣有特征值，則、分別有特征值、，且對應特征向量等于所對應的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。2.相似矩陣及其性質(zhì)。定義式為，需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：矩陣與矩陣等價（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時矩陣可通過初等變換化為矩陣，并有；當中的、互逆時就變成了矩陣相似（）的定義式，即有，此時滿足、，并且、有相同的特征值。矩陣合同的定義是，其中為可逆矩陣。由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關系：若與合同或相似則與必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。3.矩陣可相似對角化的條件。包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件:

36、階矩陣A有n個線性無關的特征向量óA的任意k重特征根對應有k個線性無關的特征向量；充分條件:1是A有n個互不相同的特征值；充分條件2是A為實對稱矩陣。4.實對稱矩陣極其相似對角化。n階實對稱矩陣A必可正交、相似于對角陣，即有正交陣P使得而且正交陣P由A對應的幾個正交的特征向量組成。 其實本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導的關系：以求方陣的冪作為思路的起點，直接乘來求比較困難，但如果有矩陣P使得A滿足（對角陣）的話就簡單多了，因為此時，而對角陣的冪就等于代如上式即得。而矩陣相似對角化的定義式正是。所以可以認為討論矩陣的相似對角化是為了

37、方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且中的P、也分別是由A的特征向量和特征值決定的。求An相似對角化特征值和特征向量2.5 線代第六章二次型本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標準型的方法。在理年真題中本章知識點出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過大題。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章特征值和特征向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣存在正交矩陣使得可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在為實對稱矩陣時的應用。將本章與上一章中相似對角化部分的內(nèi)

38、容作比較會有助于理解記憶“化二次型為標準型”的步驟及避免前后混淆，但因為大綱對本章要求不高，所以不必深究。3 概率部分3.1 概率這門課的特點概率這門課如果有難點就應該是“記憶量大”。對于概率部分相當多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎上理解”的路。記牢公式性質(zhì)，同時保證足夠的習題量，考試時概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。3.2 概率第一章隨機事件和概率本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時難題很少。填空、選擇?？缄P于事件概率運算的題目，大多圍繞形如、這樣的式子利用各種概率

39、運算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。在“概率事件的關系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題。區(qū)別互斥、互逆、對立與不相容：事件A與事件B互斥也叫A與B不相容，即，事件A與事件B對立就是A與B互逆，即為A與的關系。公式組在歷年考研真題中頻繁用到，很多題利用這三個公式間的相互轉化關系很容易求得答案。當A、B相互獨立時，也就是指事件A與事件B的發(fā)生互不影響，此時應該有、所以由（2）式即可得出（3）式。3.3 第二章隨機變量及其分布、第三章隨機變量的數(shù)字特征、第四章大數(shù)定律和中心極限定理對于這一部分的復習可說的東西不多，因為在考試中出現(xiàn)的概率題目

40、其實有相當大一部分難度是被解題所用的繁雜公式“分走”了。所以對于概率部分的復習，有兩個步驟即可：首先是牢記公式，然后是把題做熟,在練習過程中透徹理解概念公式和性質(zhì)定理。對于第二章的大表格也可以利用各部分之間的聯(lián)系來對照復習，比如說二維分布的性質(zhì)基本上與一維分布的性質(zhì)一一對應（類似于二重積分和定積分性質(zhì)之間的關系），二維邊緣分布的內(nèi)容與一維分布本質(zhì)上也是相通的，離散型和連續(xù)型分布的各知識點也可互相對比、區(qū)別記憶。也就是“一維和二維相聯(lián)系、離散和連續(xù)相對比、隨機變量分布和隨機變量函數(shù)的分布相區(qū)別”。同時對于重要分布如二項、泊松、正態(tài)、均勻、指數(shù)分布必需記得非常牢，因為考試時會直接拿這些分布做題干來

41、考察各章知識點，萬一出現(xiàn)“由于題干中的分布函數(shù)不會寫或寫錯而導致整道大題知道怎么做也沒法做”的情況將是非?？上У摹１菊碌囊痪S連續(xù)分布和二維離散分布在歷年真題中出現(xiàn)頻率最高，最?？挤植际蔷鶆?、指數(shù)和正態(tài)分布。對于一維連續(xù)型分布的性質(zhì)可借助圖像理解因為分布函數(shù)，所以分別可用圖中的陰影部分表示，容易看出多條性質(zhì)，包括、等；而且在具體做題時用圖像輔助理解也很有效，比如頻繁在真題中出現(xiàn)的正態(tài)分布，作圖輔助解題的效果更為明顯。第三章隨機變量的數(shù)字特征也用表格說話的，同樣需要認真記好。本章在歷年真題中最常出現(xiàn)的題目考察點是幾個重點公式，尤其是式子，大小題都可能利用這一式子的左端或右端出題而以另一端設置答案。還有數(shù)學期望與方差的定義及性質(zhì)也是考察重點，可由下表對比記憶：數(shù)學期望方差（連續(xù)型） 若X、Y相互獨立，則有、（真題不止一次利用這個點作陷阱）若X、Y相互獨立，則有無對應性質(zhì)若X、Y相互獨立則同時具有以下4條性質(zhì)：1. 2.3. 4. 本章所有的大數(shù)定理都是指在獨立同分布且存在數(shù)學期望的條件下若干隨機變量的平均值依概率收斂到均值的期望，即。因為獨立同分布，所以有，故有公式右側，應有，即為辛欽大數(shù)定律；若用表示在n重伯努利試驗中事件的發(fā)生次數(shù)則可得到伯努利大數(shù)定律。3.4 概率第五章