2023新教材數(shù)學(xué)高考第一輪專題練習(xí)--專題六平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用應(yīng)用創(chuàng)新題組

1、2023新高考數(shù)學(xué)第一輪專題練習(xí)6.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用應(yīng)用創(chuàng)新題組1.(2022屆湖北黃石9月調(diào)研,6探索創(chuàng)新情境)P為雙曲線x2-y2=1左支上任意一點(diǎn),EF為圓C:(x-2)2+y2=4的任意一條直徑,則PE·PF的最小值為()A.3B.4C.5D.9答案C如圖,圓C的圓心的坐標(biāo)為(2,0),半徑r=2,PE·PF=(PC+CE)·(PC+CF)=(PC+CE)·(PC-CE)=|PC|2-|CE|2=|PC|2-4,則當(dāng)點(diǎn)P位于雙曲線左支的頂點(diǎn)(-1,0)時(shí),PE·PF最小,最小值為5.故選C.2.(2022屆西安中學(xué)第一次月考,

2、11數(shù)學(xué)探究)在ABC中,AC2-AB2=2AM·BC,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過ABC的()A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心答案C取BC的中點(diǎn)O,則AC2-AB2=(AC+AB)·(AC-AB)=2AO·BC=2AM·BC,即(AO-AM)·BC=MO·BC=0,所以MOBC,所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上,故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過ABC的外心,故選C.3.(2022屆黑龍江八校期中,7探索創(chuàng)新情境)在ABC中,若AB(AB-2AC),AC(AC-2AB),則ABC的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形答案

3、CAB(AB-2AC),AB·(AB-2AC)=0,即AB2=2AB·AC,AC(AC-2AB),AC·(AC-2AB)=0,即AC2=2AB·AC,AB2=AC2,AB=AC.由AB2=2AB·AC化簡(jiǎn)得|AB|2=2|AB|AC|cos A,cos A=12,A(0,),A=3,ABC為等邊三角形,故選C.4.(2022屆山西長(zhǎng)治第二中學(xué)月考,7解法創(chuàng)新)在RtABC中,C=90°,CB=2,CA=4,P在邊AC的中線BD上,則CP·BP的最小值為()A.-12B.0C.4D.-1答案A依題意,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AC

4、,BC所在的直線為x軸,y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(0,2),D(2,0),所以直線BD的方程為y=-x+2,因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BD上,所以可設(shè)P(t,2-t)(0t2),所以CP=(t,2-t),BP=(t,-t),所以CP·BP=t2-t(2-t)=2t2-2t=2t-122-12,當(dāng)t=12時(shí),CP·BP取得最小值-12,故選A.5.(2021吉林調(diào)研三,11)已知A、B為平面上的兩個(gè)定點(diǎn),且|AB|=2,該平面上的動(dòng)線段PQ的端點(diǎn)P和Q,滿足|AP|5,AP·AB=6,AQ=2PA,則動(dòng)線段PQ所形成圖形的面積為()A.36B.60C.72D.1

5、08答案B根據(jù)題意,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),則AB=(2,0),設(shè)P(x,y),所以AP=(x,y),由|AP|5得x2+y225,又AP·AB=6,所以2x=6,即x=3,所以y216,即-4y4,因此,動(dòng)點(diǎn)P在線段x=3且-4y4上運(yùn)動(dòng),即|MC|=8,設(shè)Q(x0,y0),因?yàn)锳Q=2PA,所以(x0,y0)=2(-x,-y),即x0=-2x=-6,y0=-2y,因此動(dòng)點(diǎn)Q在線段x=-6上,且-8y8上運(yùn)動(dòng),所以|ND|=16,所以動(dòng)線段PQ所形成圖形為圖中陰影部分,其面積為12×8×3+12×16×6=

6、12+48=60.故選B.6.(2020全國(guó)卷24省4月聯(lián)考,14)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量OA=(1,2),OB=(x,y),且OA·OB=10,則|OB|的最小值為. 答案25解析OA=(1,2),OB=(x,y),且OA·OB=10,x+2y=10,而|OB|=x2+y2表示的幾何意義是點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)的距離,即原點(diǎn)O與直線x+2y=10上的點(diǎn)的距離,|OB|的最小值為點(diǎn)O到直線x+2y-10=0的距離,即|OB|min=|-10|12+22=105=25.7.(2022屆湘豫名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,15解法創(chuàng)新)已知在ABC中,AB=3,BC=4,ABC=3,平面內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)E滿足|BE|=2|AE|,則數(shù)量積BC·BE的最大值是. 答案16解析如圖,根據(jù)已知條件建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,其中OA=1,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,0),B(4,0),C(2,23),設(shè)動(dòng)點(diǎn)E(x,y),則由|BE|=2|AE|得(x-4)2+y2=2(x-1)2+y2,化簡(jiǎn)得x2+y2=4,令x=2cos,y=2si