2017年全國高中數學聯賽模擬試題(共11頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2017全國高中數學聯賽模擬試題021、 填空題（每小題8分，共64分）1. 在如下圖所示的正方體中，二面角等于 （用反三角函數表示）2. 如果三角形的三個內角滿足依次成等差數列，則角的最大值是 3.實數列滿足條件：，則通項公式 。4.是橢圓的兩個焦點，為橢圓上任意一點，如果的面積為1，則 5.在同一直角坐標系中，函數與其反函數的圖像恰有三個不同的交點，則實數的取值范圍是 6. 已知正實數與非負實數滿足(1) ;(2) ，則 的最大值為_7. 已知20塊質量為整數克的砝碼可稱出克的物品，砝碼只能放在天平一端，則最大砝碼質量最小值為_克8.設是定義在區(qū)間上的函數，則函數

2、的圖像與軸所圍成圖形的面積是 2、 簡答題（本大題共3小題，共56分）9. （16分）設數列的前項和組成的數列滿足，已知求數列的通項公式。10. （20分）設是多項式方程的三個根。（1）已知都落在區(qū)間之中，求這三個根的整數部分；（2）證明：11. （20分）如下圖，橢圓是橢圓上的兩點，直線是上的一個動點，是過點且與相切的直線，分別是直線與，與，與的交點，求證：三條直線和共點。2017全國高中數學聯賽模擬試題02一、 填空題（每小題8分，共64分）1.在如下圖所示的正方體中，二面角等于 解：2.如果三角形的三個內角滿足依次成等差數列，則角的最大值是 解：.記，則.由于至多一個負數，故，且.即.消

3、去后，得到，方程有實根，所以，故即且時等號成立3.實數列滿足條件：，則 解：.計算前幾項可以猜出結果，再用數學歸納法可以證明.4.是橢圓的兩個焦點，為橢圓上任意一點，如果的面積為1，則 解：.不妨假定設.則的斜率為，的斜率為，因此，解得又，所以，點.從而，所以5.設是定義在區(qū)間上的函數，則函數的圖像與軸所圍成圖形的面積是 6. 已知正實數與非負實數滿足(1) ;(2) ，則 的最大值為_解：.由均值不等式知: ,于是 ,即.取滿足條件,且取到最大值.7. 已知20塊質量為整數克的砝碼可稱出克的物品，砝碼只能放在天平一端，則最大砝碼質量最小值為_克解：147.設這20塊砝碼質量為.首先用歸納法證

4、明: .（1）當時,顯然, （2）設結論對成立，若，則由知克的物品無法稱量，矛盾！于是，所以，所以，即，又當，時，符合條件，故最小值為 147克8.在同一直角坐標系中，函數與其反函數的圖像恰有三個不同的交點，則實數的取值范圍是 二、 簡答題（本大題共3小題，共56分）9.（16分）設數列的前項和組成的數列滿足，已知求數列的通項公式。10.（20分）設是多項式方程的三個根。（1）已知都落在區(qū)間之中，求這三個根的整數部分；（2）證明：11.（20分）如下圖，橢圓是橢圓上的兩點，直線是上的一個動點，是過點且與相切的直線，分別是直線與，與，與的交點，求證：三條直線和共點。解答三：利用賽瓦定理2015全

5、國高中數學聯賽模擬試題02一（本題滿分40分）對任意實數，定義運算“”為：在直角坐標系中，設點集，求所對應的平面區(qū)域的面積二（本題滿分40分）如圖，在中，為的垂心，M為邊BC的中點，點在邊上且滿足，點在直線上的射影為.證明：的外接圓與的外接圓相切.三（本題滿分50分）整數滿足.求的最小值,并求出一切達到最小值的四元數組四（本題滿分50分）設整數,，對，記為滿足，的數組的個數，類似定義，.證明：.2015全國高中數學聯賽模擬試題02一（本題滿分40分）對任意實數，定義運算“”為：在直角坐標系中，設點集，求所對應的平面區(qū)域的面積解：根據運算“”的定義，為整數，進而， 其中表示的小數部分同理可知 比

6、較、可知，當且僅當由于，而與均是偶數，故上式成立的充分必要條件是，且 若，則，若，則，若，則，當取自、中不同的區(qū)間時，不成立對，記，則根據上述討論知，所對應的平面區(qū)域面積，因此點集所對應的平面區(qū)域面積為二（本題滿分40分）如圖，在中，為的垂心，M為邊BC的中點，點在邊上且滿足，點在直線上的射影為.證明：的外接圓與的外接圓相切.證明：聯接并延長交的外接圓于點，作與的外接圓交于點，易知關于對稱，故,因此，由此推出，故為外接圓的直徑.又由，結合知四邊形為平行四邊形，所以過點.設為在上的射影，延長交的外接圓于點，由得，共圓，以為直徑.由有，所以（相等的圓周角所對弦長相等），故有.由得，所以，結合有，由

7、此推出，所以點共線，由得，四點共圓.過點作外接圓的切線，由知，也是圓的切線，故的外接圓與的外接圓相切，證畢.三（本題滿分50分）整數滿足.求的最小值,并求出一切達到最小值的四元數組解:設原式,易知: .(1),則,故同號, 同號.由于,故只須考慮如下兩種情況:(i) ； (ii);.對于(i),由,知:.對于(ii),由,知: .(2).則,所以.若,則,等號成立當且僅當.同理，若,則,等號成立當且僅當.(3).此時,若,則.若,則,取等號時有.但此時,與為整數矛盾!故等號取不到.若,則,取等號時有.但,這不可能!故,取等號時,.由知:.由知,中必有.若,則,故或.同理，若,則,或.綜上所述,最小值為,取等號當且僅當為之一.四（本題滿分