高中數(shù)學函數(shù)與方程素材蘇教版必修

1、函數(shù)與方程的思想方法課堂資料一、基礎(chǔ)知識整合函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想.函數(shù)思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式，把這種數(shù)量關(guān)系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識.用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察處理問題. 用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題方程思想,就是在解決數(shù)學問題時，先設(shè)定一些未知數(shù)，然后把它們當成已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)各量之間的制約關(guān)系，列出方程，求得未知數(shù)；或如果變量間的數(shù)量關(guān)系是用解析式的形式(函數(shù)形式)表示出來的，那么可把解析式看作是一個方程，通過解方程或?qū)Ψ匠痰难芯?，使問題

2、得到解決.方程思想是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用方程知識或方程觀點觀察處理問題. 函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的.如函數(shù)問題(例如：求反函數(shù)；求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決；方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決.如方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標(即函數(shù)yf(x)的零點)；解不等式f(x)0(或f(x)0)，就是求函數(shù)yf(x)的正負區(qū)間.就中學數(shù)學而言，函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函

3、數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。如數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題;又如函數(shù)f(x)（nN*）與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題;又如解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.又如立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決等.函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣

4、，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應用問題，翻譯成數(shù)學語言，建立數(shù)學模型和函數(shù)關(guān)系式，應用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。二、例題解析1.運用函數(shù)與方程、表達式相互轉(zhuǎn)化的觀點解決函數(shù)、方程、表達式問題。例1 已知，（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解

5、析 法一：依題設(shè)有 a·5b·c0，是實系數(shù)一元二次方程的一個實根；0 故選(B)法二：去分母，移項，兩邊平方得：10ac2·5a·c20ac, 故選(B)點評解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運用重要不等式，思路清晰，水到渠成.2. 構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題例2 已知，t，8，對于函數(shù)f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍.解析t，8，f(t)，3，原題轉(zhuǎn)化為：>0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）當x2時，不等式不成立。x2,令g(m)，m

6、，3問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m，3上恒對于0，則：；解得：x>2或x<1評析首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決.在多個字母變量的問題中，選準“主元”往往是解題的關(guān)鍵。例3已知不等式對任意實數(shù)都成立,求的取值范圍.解:令,則,原不等式可化為在上恒成立的問題,設(shè),當時,當時,當時,所求的取值為下列不等式組的解集,或或解得的取值范圍是或.評析把不等式恒成立問題,通過換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用函數(shù)性質(zhì)解決,處理二次函數(shù)最值時,按對稱軸的位置分情況討論,并利用函數(shù)性質(zhì):,當上恒成立Û,使問題得以解決

7、.3. 運用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題例4設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范圍；（2）指出、，中哪一個最大，并說明理由.解析（1）由得：，>0 ,<0，<d<3（2），d<0，是關(guān)于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x，<d<3 6<< ,當n6時，最大.評析 數(shù)列的通項公式及前n項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題.也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問題進行算式化，從而簡潔明快.由此可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決

8、問題，要求靈活地運用、巧妙的結(jié)合.本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>>a，由S13a<0得a<0，由S6(aa)>0得a>0。所以，在S、S、S中，S的值最大。4.運用函數(shù)思想分析應用中求最值問題例5如圖,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一底寬為的無蓋長方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設(shè)箱體的長度為,高度為,已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與的乘積成反比,現(xiàn)有制箱材料,問當各為多少米時, 經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A、B孔的面積忽略不計). 解:設(shè)為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù),則

9、,其中為比例系數(shù).依題意,即所求的值使值最小.根據(jù)題設(shè),有,得,于是=,當時,取等號,達到最小值.這時將代入式,得.當,經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小.評析利用函數(shù)的思想方法,根據(jù)題意首先建立一個目標函數(shù)是解決問題的第一步和關(guān)鍵,然后再想辦法求目標函數(shù)的最值.5.運用函數(shù)與方程的思想分析直線與二次曲線有關(guān)問題例6點A、B分別是橢圓的長軸的左、右頂點，點F是橢圓的右焦點點P在橢圓上，且位于x軸上方，（1）求P點的坐標；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值解（1）由已知可得點A(-6,0),F(0,4),設(shè)點P(x,y),則=x+6,

10、y,=x-4,y,由已知可得則2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6.由于y>0,只能x=,于是y=.點P的坐標是(,)(2) 直線AP的方程是x-y+6=0.設(shè)點M(m,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又-6m6,解得m=2.橢圓上的點(x,y)到點M的距離d有d2=(x-2)2+y2=x-4x2+4+20-x2=(x-)2+15,由于-6m6, 當x=時,d取得最小值評析方程思想是處理直線與二次曲線有關(guān)問題的基本方法.三、強化練習練習1 對任何,函數(shù)的值總大于零,則的取值范圍是( )(A) (B) (C) (D)練習2已知等差數(shù)列的前n項和為S，且SpS (pq，p、q)，則S_.練習3已知關(guān)于的方程 （2 m8）x +16 = 0的兩個實根 、 滿足 ，則實數(shù)m的取值范圍_.練習4已知集合，集合，且，求實數(shù)a的取值范圍.練習5若，求證:方程至少有一個正根，且不超過ab練習6已知，求的最大值練習答案:1.B 2.解析利用是關(guān)于n的一次