高一數(shù)學(xué)必修一典型題例

1、例1 求下列函數(shù)的定義域： ； ； .分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定如果只給出解析式，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合解：x-2=0，即x=2時，分式無意義，而時，分式有意義，這個函數(shù)的定義域是.3x+2<0，即x<-時，根式無意義，而，即時，根式才有意義，這個函數(shù)的定義域是|.當(dāng)，即且時，根式和分式 同時有意義，這個函數(shù)的定義域是|且另解：要使函數(shù)有意義，必須： Þ 這個函數(shù)的定義域是： |且 強調(diào)：解題時要注意書寫過程，注意緊扣函數(shù)定義域的含義.由本例可知，求函數(shù)的定義域就是根據(jù)使函數(shù)式有意義的條件，布列自變量應(yīng)滿

2、足的不等式或不等式組，解不等式或不等式組就得到所求的函數(shù)的定義域.例2 已知函數(shù)=3-5x+2，求f(3), f(-), f(a+1).解：f(3)=3×-5×3+2=14；f(-)=3×(-)-5×(-)+2=8+5；f(a+1)=3(a+1) -5(a+1)+2=3a+a.例3下列函數(shù)中哪個與函數(shù)是同一個函數(shù)？；解：（）,，定義域不同且值域不同，不是； （）,，定義域值域都相同，是同一個函數(shù)；|=,；值域不同，不是同一個函數(shù)例4 下列各組中的兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)？ （定義域不同） （定義域不同） （定義域、值域都不同）例1已知 例2已知f(x)=

3、x2-1 g(x)=求fg(x) 解：fg(x)=（）2-1=x+2例3 求下列函數(shù)的定義域： 解：要使函數(shù)有意義，必須： 即： 函數(shù)的定義域為： 要使函數(shù)有意義，必須： 定義域為： x|要使函數(shù)有意義，必須： Þ 函數(shù)的定義域為：要使函數(shù)有意義，必須： 定義域為： 要使函數(shù)有意義，必須： 即 x< 或 x> 定義域為：例4 若函數(shù)的定義域是R，求實數(shù)a 的取值范圍解：定義域是R,例5 若函數(shù)的定義域為-1，1，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須：函數(shù)的定義域為：求用解析式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)的定義域時，常有以下幾種情況：若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；

4、若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實數(shù)集；若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)集合；若f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；若f(x)是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題.例6 已知f(x)滿足，求；已知 ，將中x換成得 ，×2-得 .例7 設(shè)二次函數(shù)滿足且=0的兩實根平方和為10，圖象過點(0,3)，求的解析式.解：設(shè), 圖象過點(0,3),有f(0)=c=3,故c=3；又f(x)滿足且=0的兩實根平方和為10，得對稱軸x=2且=10，即且，a=1，b=-4， 四、

5、練習(xí)：1設(shè)的定義域是-3，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須： 得： 0 函數(shù)的定域義為：2已知f(x)是一次函數(shù), 且ff(x)=4x-1, 求f(x)的解析式解：設(shè)f(x)=kx+b則 k(kx+b)+b=4x-1則 或 或3若,求f(x) 解法一（換元法）：令t=則x=t-1, t1代入原式有 （x1） 解法二（定義法）： 1 (x1)例1 判斷下列對應(yīng)是否映射？有沒有對應(yīng)法則？ a e a e a e b f b f b f c g c g c g d d (是) （不是） （是） 是映射的有對應(yīng)法則，對應(yīng)法則是用圖形表示出來的例2下列各組映射是否同一映射？a e a e d e

6、b f b f b f c g c g c g例3判斷下列兩個對應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？ （1）設(shè)A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，對應(yīng)法則 （2）設(shè)，對應(yīng)法則 （3），（4）設(shè) （5），例1某種筆記本每個5元，買 x1,2,3,4個筆記本的錢數(shù)記為y（元），試寫出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像解：這個函數(shù)的定義域集合是1,2,3,4，函數(shù)的解析式為y=5x，x1,2,3,4.它的圖象由4個孤立點A (1， 5)B (2， 10)C (3， 15)D (4， 20)組成，如圖所示例2 國內(nèi)投寄信函（外埠），每封信函不超過20g付郵資80分，超過20g

7、而不超過40g付郵資160分，依次類推，每封x g(0<x100)的信函應(yīng)付郵資為（單位：分），試寫出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像解：這個函數(shù)的定義域集合是，函數(shù)的解析式為這個函數(shù)的圖象是5條線段（不包括左端點），都平行于x軸，如圖所示.這一種函數(shù)我們把它稱為分段函數(shù)例3 畫出函數(shù)y=|x|=的圖象.解：這個函數(shù)的圖象是兩條射線，分別是第一象限和第二象限的角平分線，如圖所示. 說明：再次說明函數(shù)圖象的多樣性；從例4和例5看到，有些函數(shù)在它的定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應(yīng)法則不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù).注意分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).注意：并

8、不是每一個函數(shù)都能作出它的圖象，如狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)D(x)=,我們就作不出它的圖象.例4作出分段函數(shù)的圖像解：根據(jù)“零點分段法”去掉絕對值符號，即： = 作出圖像如下例5作出函數(shù)的圖象列表描點：1直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為x|x0，值域為y|y0；二次函數(shù)的定義域為R，當(dāng)a>0時，值域為；當(dāng)a<0時，值域為.例1求下列函數(shù)的值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函數(shù)的值域是 y| y2 即函數(shù)的值域是 y| yÎR

9、且y¹1（此法亦稱分離常數(shù)法）當(dāng)x>0，=，當(dāng)x<0時，=值域是2，+).（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：2二次函數(shù)比區(qū)間上的值域(最值)：例2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：； ； ；解：，頂點為(2,-3)，頂點橫坐標(biāo)為2. 拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R，x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的值域是y|y-3 .頂點橫坐標(biāo)23,4，當(dāng)x=3時，y= -2；x=4時，y=1； 在3,4上，=-2，=1；值域為-2，1.頂點橫坐標(biāo)20,1，當(dāng)x=0時，y=1；x=1時，y=-2,在0,1上，=-2，=1；值域為-2，1.頂點橫坐標(biāo)2 0,5，當(dāng)x=0時，y

10、=1；x=2時，y=-3, x=5時，y=6,在0,1上，=-3，=6；值域為-3，6.注：對于二次函數(shù),若定義域為R時，當(dāng)a>0時，則當(dāng)時，其最小值；當(dāng)a<0時，則當(dāng)時，其最大值.若定義域為x a,b,則應(yīng)首先判定其頂點橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)間a,b.若a,b,則是函數(shù)的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較的大小決定函數(shù)的最大（小）值.若a,b,則a,b是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（小）值；當(dāng)頂點橫坐標(biāo)是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進行討論.3判別式法（法）：判別

11、式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項系數(shù)是否為0的討論例3求函數(shù)的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 當(dāng) y¹1時 xÎR =(y+5)+4(y-1)×6(y+1)0由此得 (5y+1)0檢驗 時 （代入求根）2 Ï 定義域 x| x¹2且 x¹3 再檢驗 y=1 代入求得 x=2 y¹1綜上所述，函數(shù)的值域為 y| y¹1且 y¹方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù) (x¹2) 由此可得 y¹1 x=2時 即 函數(shù)的值域為 y| y

12、85;1且 y¹說明：此法是利用方程思想來處理函數(shù)問題，一般稱判別式法. 判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項系數(shù)是否為0的討論.4換元法例4求函數(shù)的值域解：設(shè) 則 t0 x=1-代入得 t0 y45分段函數(shù)例5求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法2：函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，易見y的最小值是3，函數(shù)的值域是3，+. 如圖兩法均采用“數(shù)形結(jié)合”，利用幾何性質(zhì)求解，稱為幾何法或圖象法.說明：以上是求函數(shù)值

13、域常用的一些方法（觀察法、配方法、判別式法、圖象法、換元法等），隨著知識的不斷學(xué)習(xí)和經(jīng)驗的不斷積累，還有如不等式法、三角代換法等.有的題可以用多種方法求解，有的題用某種方法求解比較簡捷，同學(xué)們要通過不斷實踐，熟悉和掌握各種解法，并在解題中盡量采用簡捷解法.例1 如圖6是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). 解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在區(qū)間-5，-2)，1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間-2，1)，3，5上是增函數(shù).說明：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定

14、的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題；另外，中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時，包括不包括端點都可以；還要注意，對于在某些點上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點.例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明：設(shè)是R上的任意兩個實數(shù)，且<，則=(3+2)-(3+2)=3(), 由<x,得<0 ,于是<0,即 <.在R上是增函數(shù).例3 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).證明：設(shè),是(0,+)上的任意兩個實數(shù)，且<，則=, 由,(0,+ )，得>0,又由

15、<,得>0 ,于是>0,即> 在(0,+ )上是減函數(shù).例4討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.解：，對稱軸 若,則在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；若則在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù),在a,2內(nèi)是增函數(shù)若,則在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).1函數(shù)單調(diào)性的證明例1判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性證明：設(shè)則 ，,即 （注：關(guān)鍵的判斷）在R上是增函數(shù). 2復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對于函數(shù)和，如果在區(qū)間上是具有單調(diào)性，當(dāng)時，且在區(qū)間上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性的規(guī)律見下表：增 減 增 減 增 減 增 減 減 增 以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.證明：設(shè)，且在上是增函數(shù)，且

16、在上是增函數(shù)，.所以復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)設(shè)，且，在上是增函數(shù)，且在上是減函數(shù)，.所以復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)設(shè)，且，在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)，.所以復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)設(shè)，且，在上是減函數(shù)，且在上是減函數(shù)，.所以復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)例2求函數(shù)的值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間解：題設(shè)函數(shù)由和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的值域是，在上的值域是.故函數(shù)的值域是.對于函數(shù)的單調(diào)性，不難知二次函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；二次函數(shù)區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時，即，或.當(dāng)時，即，.因此，本題應(yīng)在四個區(qū)間，上考慮 當(dāng)時，而在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時，而在

17、上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時，而在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時，而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)綜上所述，函數(shù)在區(qū)間、上是增函數(shù)；在區(qū)間、上是減函數(shù)另外，本題給出的復(fù)合函數(shù)是偶函數(shù)，在討論具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性時，應(yīng)注意應(yīng)用其奇函數(shù)或偶函數(shù)的性質(zhì)，以使解題過程簡捷、清楚、具有條理性例1某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，畫出這種物質(zhì)的剩留量隨時間變化的圖象，并從圖象上求出經(jīng)過多少年，剩量留是原來的一半（結(jié)果保留1個有效數(shù)字）分析：通過恰當(dāng)假設(shè)，將剩留量y表示成經(jīng)過年數(shù)x的函數(shù)

18、，并可列表、描點、作圖，進而求得所求解：設(shè)這種物質(zhì)量初的質(zhì)量是1，經(jīng)過x年，剩留量是y經(jīng)過1年，剩留量y=1×84%=0.841;經(jīng)過2年，剩留量y=1×84%=0.842; 一般地，經(jīng)過x年，剩留量y=0.84根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系式可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描點法畫出指數(shù)函數(shù)y=0.84x的圖象從圖上看出y=0.5只需x4.答：約經(jīng)過4年，剩留量是原來的一半評述：指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)例2 （課本第81頁）比較下列各題中兩個值的大?。?，； ，； ，解：利用函數(shù)單調(diào)性與的底數(shù)是1.7，它們可以看成函數(shù) y

19、=，當(dāng)x=2.5和3時的函數(shù)值；因為1.7>1，所以函數(shù)y=在R是增函數(shù)，而2.5<3，所以，<；與的底數(shù)是0.8，它們可以看成函數(shù) y=，當(dāng)x=-0.1和-0.2時的函數(shù)值；因為0<0.8<1，所以函數(shù)y=在R是減函數(shù)，而-0.1>-0.2，所以，<；在下面?zhèn)€數(shù)之間的橫線上填上適當(dāng)?shù)牟坏忍柣虻忍枺?gt;1；<1；>小結(jié)：對同底數(shù)冪大小的比較用的是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，必須要明確所給的兩個值是哪個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值；對不同底數(shù)是冪的大小的比較可以與中間值進行比較.例1求下列函數(shù)的定義域、值域： 分析：此題要利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域，并結(jié)合

20、指數(shù)函數(shù)的圖象注意向?qū)W生指出函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量x的取值范圍解（1）由x-10得x1 所以，所求函數(shù)定義域為x|x1由 ，得y1所以，所求函數(shù)值域為y|y>0且y1說明：對于值域的求解，在向?qū)W生解釋時，可以令，考察指數(shù)函數(shù)y=,并結(jié)合圖象直觀地得到，以下兩題可作類似處理（2）由5x-10得所以，所求函數(shù)定義域為x|由 0得y1所以，所求函數(shù)值域為y|y1（3）所求函數(shù)定義域為R由>0可得+1>1所以，所求函數(shù)值域為y|y>1通過此例題的訓(xùn)練，學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域去求解指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，還應(yīng)注意書寫步驟與格式的規(guī)范性例2求函

21、數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明解：設(shè) 則 當(dāng)時， 這時 即 ，函數(shù)單調(diào)遞增 當(dāng)時， 這時 即 ，函數(shù)單調(diào)遞減 函數(shù)y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減解法二、（用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）：設(shè)： 則：對任意的，有，又是減函數(shù) 在是減函數(shù)對任意的，有，又是減函數(shù) 在是增函數(shù)引申：求函數(shù)的值域 （）小結(jié)：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷(見第8課時)例3設(shè)a是實數(shù)，試證明對于任意a,為增函數(shù)；分析：此題雖形式較為復(fù)雜，但應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進行證明還應(yīng)要求學(xué)生注意不同題型的解答方法（1）證明：設(shè)R,且則由于指數(shù)函數(shù) y=在R上是增函數(shù),且,所以即<0，又由>0得+1>0, +1>0所以<0即因為

22、此結(jié)論與a取值無關(guān)，所以對于a取任意實數(shù)，為增函數(shù)評述：上述證明過程中，在對差式正負(fù)判斷時，利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性例1（課本第82頁 例2）用計算機作出的圖像，并在同一坐標(biāo)系下作出下列函數(shù)的圖象，并指出它們與指數(shù)函數(shù)y=的圖象的關(guān)系，y=與y=. y=與y=.解：作出圖像，顯示出函數(shù)數(shù)據(jù)表x-3-2-101230.1250.250.512480.250.51248160.512481632比較函數(shù)y=、y=與y=的關(guān)系：將指數(shù)函數(shù)y=的圖象向左平行移動1個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象，將指數(shù)函數(shù)y=的圖象向左平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象作出圖像，顯示出函數(shù)數(shù)據(jù)表x-3-2

23、-101230.1250.250.512480.6250.1250.250.51240.31250.6250.1250.250.512比較函數(shù)y=、y=與y=的關(guān)系：將指數(shù)函數(shù)y=的圖象向右平行移動1個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象，將指數(shù)函數(shù)y=的圖象向右平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象小結(jié)： y=與y=的關(guān)系：當(dāng)m>0時，將指數(shù)函數(shù)y=的圖象向右平行移動m個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象；當(dāng)m<0時，將指數(shù)函數(shù)y=的圖象向左平行移動m個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象例2 已知函數(shù) 用計算器或計算機作出函數(shù)圖像，求定義域、值域，并探討與圖像的關(guān)系 解： 定義域：x

24、06;R 值域： 關(guān)系：將的圖像y軸右側(cè)的部分翻折到y(tǒng)軸左側(cè)的到的圖像，關(guān)于y軸對稱.已知函數(shù) 用計算器或計算機作出函數(shù)圖像，求定義域、值域，并探討與圖像的關(guān)系解： 定義域：xÎR 值域：關(guān)系：將（x>1）的圖像在直線x=1右側(cè)的部分翻折到直線x=1左側(cè)得到的圖像，是關(guān)于直線x=1對稱推廣：對于有些復(fù)合函數(shù)的圖象，則常用基本函數(shù)圖象+變換方法作出：基本函數(shù)圖象+變換：即把我們熟知的基本函數(shù)圖象，通過平移、作其對稱圖等方法，得到我們所要求作的復(fù)合函數(shù)的圖象，如上例，這種方法我們遇到的有以下幾種形式：函 數(shù)y=f(x)y=f(x+a)a>0時，向左平移a個單位；a<0時

25、，向右平移|a|個單位.y=f(x)+aa>0時，向上平移a個單位；a<0時，向下平移|a|個單位.y=f(-x)y=f(-x)與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.y=-f(x)y=-f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱.y=-f(-x)y=-f(-x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點軸對稱.y=f(|x|)y=f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對稱，x0時函數(shù)即y=f(x)，所以x<0時的圖象與x0時y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.y=|f(x)|，y=|f(x)|的圖象是y=f(x)0與y=f(x)<0圖象的組合.yy=與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.以上是在高一階段

26、我們看到的幾種函數(shù)圖象的變換，但隨著知識的增加，還會有許多較復(fù)雜的變換，以后再作研究.例3探討函數(shù)和 的圖象的關(guān)系，并證明關(guān)于y軸對稱 證：設(shè)P(,)是函數(shù) 的圖象上任意一點 則 而P(,)關(guān)于y軸的對稱點Q是(-,) 即Q在函數(shù)的圖象上 由于P是任意取的,所以上任一點關(guān)于y軸的對稱點都在的圖象上 同理可證： 圖象上任意一點也一定在函數(shù)的圖象上 函數(shù)和的圖象關(guān)于y軸對稱例4 已知函數(shù) 求函數(shù)的定義域、值域解：作出函數(shù)圖像，觀察分析討論，教師引導(dǎo)、整理定義域為 R由得 xÎR, 0, 即 , , 又，例1已知函數(shù)的定義域是0，1，則函數(shù)的定義域是_.解：由01,解得-11 的定義域為1

27、，1.評述：針對題目中函數(shù)關(guān)系抽象的特點，可將具體化，能有助于對問題的理解與判斷.設(shè)=,它的定義域是0，1，這時，= 的定義域是-1，1，由此可見，列舉實例是處理抽象函數(shù)有關(guān)問題的有效方法.例2若函數(shù)f(x)=x+bx+c對任意實數(shù)x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)f(1) 分析：此題解決的關(guān)鍵是將函數(shù)的對稱語言轉(zhuǎn)化為對稱軸方程.解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函數(shù)f(x)的對稱軸為x=2,由二次函數(shù)f(x)開口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-

28、2)=f(0)在x2時，y=f(x)為減函數(shù)012，f(0)f(1)f(2)即f(2)f(1)f(4)答案：A通過此題可將對稱語言推廣如下：（1）若對任意實數(shù)x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，則x=a是函數(shù)f(x)的對稱軸（2）若對任意實數(shù)x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，則x=是f(x)的對稱軸.例3求f(x)=x-2ax+2在2，4上的最大值和最小值. 解：先求最小值.因為f(x)的對稱軸是x=a，可分以下三種情況：（1）當(dāng)a2時，f(x)在2，4上為增函數(shù)，所以f(x)min=f(2)=6-4a;(2)當(dāng)2a4時，f(a)為最小值，f(x)min=2-a;(3)當(dāng)a4時，f(

29、x)在2，4上為減函數(shù)，所以f(x)min=f(4)=18-8a綜上所述：f(x)min=最大值為f(2)與f(4)中較大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a(1)當(dāng)a3時，f(2)f(4),則f(x)max=f(2)=6-4a;(2)當(dāng)a3時，f(2)f(4),則f(x)max=f(4)=18-8a.故f(x)max=評述：本題屬于二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，由于二次函數(shù)的系數(shù)含有參數(shù)，對稱軸是變動的，屬于“軸動區(qū)間定”，由于圖象開口向上，所以求最小值要根據(jù)對稱軸x=a與區(qū)間2，4的位置關(guān)系，分三種情況討論；最大值在端點取得時，只須比較f(2)與f(4)的大小

30、，按兩種情況討論即可，實質(zhì)上是討論對稱軸位于區(qū)間中點的左、右兩種情況.例4函數(shù)f(x)=x-bx+c，滿足對于任何xR都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,則f(b)與f(c)的大小關(guān)系是（ ）A.f(b)f(c) B.f(b)f(c)C.f(b)f(c) D.f(b)f(c)分析：由對稱語言f(1+x)=f(1-x)可以確定函數(shù)對稱軸，從而確定b值，再由f(0)=3,可確定c值，然后結(jié)合b,c的大小關(guān)系及二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間使問題得以解決.解：f(1+x)=f(1-x)f(x)的對稱軸x=-=1b=2,又f(0)=3,c=3,f(x)=x-2x+3(1)當(dāng)x0時，123,且f(x)在

31、1，+上是增函數(shù)所以f(2)f(3),即f(b)f(c)(2)當(dāng)x0時，123,且f(x)在（-,1）上是減函數(shù)，所以f(2)f(3)，即f(b)f(c)(3)當(dāng)x=0時，2=3=1則f(2)=f(3),即f(b)=f(c)綜上所述，f(b)f(c).答案：A一、選擇題1、設(shè)集合A和集合B都是自然數(shù)集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，則在映射下，象20的原象是（A）2（B）3（C）4（D）52、已知不等式為，則的取值范圍 （A）（B）（C）（D）3、函數(shù)在定義域上的單調(diào)性為 （A）在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù) （B）減函數(shù)（C）在上是減增函數(shù)，在上是減函數(shù) （D）增函數(shù)4、函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的定義域為B，則（A）（B） （C）（D）5、（不做）若函數(shù)的圖象經(jīng)過，那么的反函數(shù)圖象經(jīng)過點(A)(B)(C)(D)6