魚群運(yùn)動(dòng)行為模型

1、魚群運(yùn)動(dòng)行為模型摘要本文研究了魚群運(yùn)動(dòng)時(shí)受環(huán)境及鄰近同族的影響而改變速度方向的機(jī)制，并以此為基礎(chǔ)分析了魚群在躲避捕食者和覓食時(shí)的信息傳遞和轉(zhuǎn)移路線。對于問題一，本文考慮平衡狀態(tài)時(shí)，即沒有捕食者威脅也無覓食和遷移的需求時(shí)，個(gè)體魚的游動(dòng)規(guī)律。本文假設(shè)個(gè)體魚在二維平面內(nèi)游動(dòng)時(shí)能夠感知到一定范圍（R）內(nèi)的同族的位置和游動(dòng)方向，并遵循四個(gè)規(guī)則：慣性規(guī)則、靠近規(guī)則、對齊規(guī)則、規(guī)避規(guī)則，個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)方向由這四個(gè)規(guī)則對魚的影響大小決定，。由此可對每一條魚的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行迭代更新。對于問題二，本文考慮在二維平面中引入捕食者，并假設(shè)捕食者將游向其感知范圍（R0）內(nèi)距離其最近的個(gè)體魚，同時(shí)受其自身游動(dòng)慣性的影響，則其

2、游動(dòng)方向。由此可對捕食者的游動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行迭代更新。當(dāng)捕食者靠近個(gè)體魚，出現(xiàn)在個(gè)體魚的感知范圍內(nèi)時(shí)，小魚將產(chǎn)生避險(xiǎn)意識，避險(xiǎn)方向?yàn)椴妒痴叩絺€(gè)體魚的方向，同時(shí)向其感知范圍內(nèi)的個(gè)體魚發(fā)送告警信號，接受到告警信號的個(gè)體魚將產(chǎn)生離散意識，離散方向?yàn)槠涓兄降谋茈U(xiǎn)個(gè)體魚游動(dòng)方向的平均方向。則此時(shí)小魚的游動(dòng)方向。由此可對捕食者和個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行迭代更新。對于問題三，本文僅考慮掌握食物源位置信息的信息豐富者，它們在遵循問題一中提出的游動(dòng)規(guī)則條件下，將主動(dòng)靠近食物源，并且把它向食物源游去的信息告知鄰居，召集其它個(gè)體魚共同覓食。對于非信息豐富者來說，它能受到其感知范圍內(nèi)信息豐富者的召集信息，并趨向這些信息豐富者

3、的實(shí)際游動(dòng)方向的平均方向，追隨它們共同覓食。此時(shí)個(gè)體魚的游動(dòng)方向：。對于信息豐富者，受到召集作用的權(quán)重。對于非信息豐富者，游向食物源的權(quán)重。由此可得魚群覓食的集群運(yùn)動(dòng)情況。關(guān)鍵詞：個(gè)體運(yùn)動(dòng) 集群運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)規(guī)則 一、 問題重述1.1問題背景 在動(dòng)物界，大量集結(jié)成群進(jìn)行移動(dòng)或者覓食的例子并不少見，這種現(xiàn)象在食草動(dòng)物、鳥、魚和昆蟲中都存在。這些動(dòng)物群在運(yùn)動(dòng)過程中具有很明顯的特征：群中的個(gè)體聚集性很強(qiáng)，運(yùn)動(dòng)方向、速度具有一致性。在生態(tài)系統(tǒng)中,動(dòng)物個(gè)體的行為相對簡單,集群后卻能表現(xiàn)出復(fù)雜的群體行為。個(gè)體行為是構(gòu)成群體行為的基礎(chǔ),個(gè)體之間的組織結(jié)構(gòu)、個(gè)體行為之間的關(guān)系和群體行為的涌現(xiàn)機(jī)制是研究群體行為的關(guān)

4、鍵要素。通過數(shù)學(xué)模型來模擬動(dòng)物群的集群運(yùn)動(dòng)行為以及探索動(dòng)物群中的信息傳遞機(jī)制一直是仿生學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重要內(nèi)容。目前主要研究有仿生的群體優(yōu)化算法,群體組織內(nèi)部的通信機(jī)制及其應(yīng)用方面 ,如微粒群算法、 蟻群算法、 群體機(jī)器人等。1.2 目標(biāo)任務(wù) 題目要求查閱相關(guān)資料，思考動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)的機(jī)理，建立數(shù)學(xué)模型刻畫動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)、躲避威脅等行為，主要針對以下問題分析建模：1. 建立數(shù)學(xué)模型模擬動(dòng)物的集群運(yùn)動(dòng)。 2. 建立數(shù)學(xué)模型刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運(yùn)動(dòng)行為。3. 假定動(dòng)物群中有一部分個(gè)體是信息豐富者(如掌握食物源位置信息，掌握遷徙路線信息)，請建模分析它們對于群運(yùn)動(dòng)行為的影響，解釋群運(yùn)動(dòng)方向決策如何達(dá)成。

5、二、模型假設(shè)(1) 假設(shè)所有個(gè)體魚具有相同的物理特性；(2) 假設(shè)所有個(gè)體魚具有有限感知能力以及遵循共同的行為規(guī)則 ； (3) 假設(shè)所有個(gè)體魚之間的相互作用及信息的交互不受外界因素影響； (4) 假設(shè)捕食者和個(gè)體的運(yùn)動(dòng)速度相等并且保持不變；(5) 假設(shè)所有信息豐富者掌握的是同一食物源的信息。三、符號說明符號符號說明Ai魚群中的個(gè)體魚R個(gè)體魚感知范圍的半徑 下一個(gè)時(shí)間步長周期個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)方向 本周期t中A1的游動(dòng)方向周期 t當(dāng)前個(gè)體到鄰居平均位置的方向鄰居的平均方向 小于碰撞距離的鄰居到當(dāng)前個(gè)體方向的平均值個(gè)體魚決策方向是的權(quán)重值個(gè)體魚為了躲避威脅而以最快方式逃逸的方向該個(gè)體魚受其它個(gè)體發(fā)出的告

6、警信號的平均方向r個(gè)體間避免碰撞的最小距離R0捕食者的威脅范圍四、問題分析在自然界中，動(dòng)物出于生存、避險(xiǎn)、覓食、求偶、繁殖等原因往往選擇采取群體行為的方式。某些動(dòng)物個(gè)體的行為相對簡單,集群后卻能表現(xiàn)出復(fù)雜的群體行為。這些動(dòng)物群在運(yùn)動(dòng)過程中具有聚集性很強(qiáng)，運(yùn)動(dòng)方向、速度保持一致性等明顯的特征。在生態(tài)系統(tǒng)中,個(gè)體行為是構(gòu)成群體行為的基礎(chǔ)。本文認(rèn)為由個(gè)體簡單運(yùn)動(dòng)到群體復(fù)雜行為是存在一種映射關(guān)系的。個(gè)體之間的組織結(jié)構(gòu)、個(gè)體行為之間的關(guān)系和群體行為的涌現(xiàn)機(jī)制是研究群體行為的關(guān)鍵要素。文章的總體思路是要從個(gè)體的行為、個(gè)體與個(gè)體的相互作用、個(gè)體在群體中的作用等角度出發(fā)，通過數(shù)學(xué)方法模擬動(dòng)物的群體運(yùn)動(dòng)行為，并

7、利用Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)模型的仿真，探索動(dòng)物群的集群運(yùn)動(dòng)行為以及動(dòng)物群中的信息傳遞機(jī)制。對問題一：題目要求建立合理的數(shù)學(xué)模型來模擬動(dòng)物的集群運(yùn)動(dòng)。為了能夠建立簡潔易懂的模型，在本文中選取魚群為研究對象，研究魚群的形成和行為，希望通過研究個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)機(jī)制科學(xué)闡釋集群行為的內(nèi)在變化原因。針對魚群的形成、結(jié)構(gòu)和行為，很多研究者從不同角度提出了一些理論和模型。本文通過研究個(gè)體魚在群體中位置和速度隨時(shí)間的不斷變化的規(guī)律，采取從個(gè)體到局部，從局部到整體，自下向上的建模思想 ,對個(gè)體魚進(jìn)行建模 ,進(jìn)而通過個(gè)體遵循一定的行為規(guī)則來研究個(gè)體之間以及個(gè)體和環(huán)境之間的相互作用，最終探討出魚群集群運(yùn)動(dòng)的形成機(jī)理，

8、并合理推廣至對動(dòng)物群的研究。對問題二：題目要求建立數(shù)學(xué)模型刻畫魚群躲避黑鰭礁鯊魚的運(yùn)動(dòng)行為。針對這個(gè)問題，本文在問題一研究的基礎(chǔ)上，考慮仍然沿用其個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)模型。當(dāng)有某些個(gè)體受到鯊魚威脅時(shí)，它們一方面選擇最快的逃逸方式躲避，一方面發(fā)出告警信號與其感知范圍內(nèi)的其它個(gè)體進(jìn)行信息交互。這樣，這些受威脅的個(gè)體魚和得到告警信號的個(gè)體魚在下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向就較其它個(gè)體及其上一時(shí)刻有了較大不同。基于此，可以采用數(shù)學(xué)公式計(jì)算其不同范圍內(nèi)的個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)方向和位置坐標(biāo)的變化。對問題三：假設(shè)動(dòng)物群中的部分信息豐富者是提前已知的，并且其不一定是集聚的。為了簡化問題的研究，本文仍然以魚群為例，探討魚群覓食的集群行為。

9、當(dāng)有一部分個(gè)體掌握食物源位置信息，這部分個(gè)體直接向食物源運(yùn)動(dòng)，同時(shí)通過個(gè)體間的信息交互將信息傳遞給其它個(gè)體，引起其它個(gè)體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和位置坐標(biāo)的改變，從而形成集群的覓食行為。 五、模型的建立5.1問題一的模型 模型的分析個(gè)體行為是構(gòu)成群體行為的基礎(chǔ)，在一個(gè)集群中所有個(gè)體行為的匹配結(jié)合就映射一種集群的運(yùn)動(dòng)行為。為了研究集群的運(yùn)動(dòng)行為就必須研究清楚集群中每一個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)行為和由個(gè)體構(gòu)成的局部的運(yùn)動(dòng)行為。對于研究的魚群行為來說，本文采取自下而上的建模方法，根據(jù)對問題的分析，文章對這種模型分為三層：最下層分析個(gè)體魚（設(shè)為）的運(yùn)動(dòng)模型，并且假定個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)滿足設(shè)定的游動(dòng)規(guī)則5，模型具有普遍地適用性。中間層通

10、過分析個(gè)體魚之間的相互作用，個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)信息所能影響到的范圍，形成局部（局部1局部n）的行為。在最上層分析局部行為擴(kuò)大到集群就構(gòu)成集群運(yùn)動(dòng)的行為模型。從個(gè)體到集群的行為關(guān)系略圖如下圖。圖 1 個(gè)體到集群的行為關(guān)系圖 模型的建立.1個(gè)體魚運(yùn)動(dòng)模型1. 個(gè)體魚運(yùn)動(dòng)的的簡化本文描述的是個(gè)數(shù)為N的一群可視為質(zhì)點(diǎn)的個(gè)體魚在L*L的二維周期邊界條件的平面運(yùn)動(dòng)的情況，并且每一時(shí)刻每個(gè)個(gè)體魚運(yùn)動(dòng)的速度大小均相同。2. 對個(gè)體魚的定義每一個(gè)個(gè)體魚是一個(gè)自驅(qū)動(dòng)的個(gè)體，形狀大小相同，具有一定的感知能力。它能感知的范圍是以其質(zhì)心為圓點(diǎn)的半徑為R的圓形區(qū)域，且它能感知這一區(qū)域內(nèi)其他個(gè)體魚的所有動(dòng)態(tài)信息（包括速度大小和方

11、向，有沒有發(fā)出告警信號等）。3. 運(yùn)動(dòng)規(guī)則描述（1）慣性規(guī)則，個(gè)體魚在得到需要改變運(yùn)動(dòng)的信號時(shí)，魚游動(dòng)的方向不可能立刻改變 ,這時(shí)表現(xiàn)出一種慣性的作用。（2）靠近規(guī)則，為了不脫離魚群，需要盡量靠近鄰居的中心。如圖a.（3）對齊規(guī)則，為了保持魚群運(yùn)動(dòng)的連貫性，每個(gè)個(gè)體魚盡量與鄰居的方向一致。如圖b.（4）規(guī)避規(guī)則，為了保持魚群運(yùn)動(dòng)的一致性，個(gè)體魚運(yùn)動(dòng)盡量避免碰撞。如圖c. 圖a 圖b 圖c圖 2 運(yùn)動(dòng)規(guī)則描述示意圖4. 運(yùn)動(dòng)模型的建立假設(shè)每一個(gè)體魚在t時(shí)刻具有相同大小的速度，而運(yùn)動(dòng)速度的方向是任意的或隨機(jī)的，并且位置坐標(biāo)在給定的平面內(nèi)是已知的。建立個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)模型就是要研究個(gè)體魚在下一個(gè)時(shí)刻t+

12、1（1表示一個(gè)時(shí)間步長）時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的方向和在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置。3中的四條規(guī)則對改變魚下一時(shí)刻游動(dòng)方向都起一定作用, 那么在本文中把這四個(gè)方向的平均方向作為魚下一時(shí)刻游動(dòng)的方向。取個(gè)體魚A1研究其運(yùn)動(dòng)。由于方向就是與水平方向的夾角, 因此僅僅需要對上述四個(gè)方向與水平方向的夾角進(jìn)行平均 ,即為下一時(shí)刻該魚的游動(dòng)方向。用公式表示為： （1）其中 為下一個(gè)時(shí)間步長周期個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)方向, 為本周期t中A1的游動(dòng)方向, 為周期 t當(dāng)前個(gè)體到鄰居平均位置的方向, 為鄰居的平均方向, 為小于碰撞距離的鄰居到當(dāng)前個(gè)體方向的平均值 (見圖 3)。圖 3 運(yùn)動(dòng)方向的確定圖考慮到各規(guī)則對魚的影響力不同, 個(gè)體魚作為自主

13、決策的自驅(qū)體在決策時(shí)考慮的先后級不同，所以還需要對各個(gè)方向加權(quán), 取加權(quán)平均值 ,權(quán)重的大小文中可以根據(jù)偏好確定。則公式轉(zhuǎn)化為： （2）其中。下面給出四個(gè)規(guī)則所代表的四個(gè)方向的具體實(shí)現(xiàn)方法：（1） 慣性規(guī)則的實(shí)現(xiàn)：為本周期t中A1的游動(dòng)方向, 本周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方向由上一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向所確定，即。（2） 靠近規(guī)則的實(shí)現(xiàn): 每個(gè)個(gè)體都有向鄰居中心靠攏的特性, 鄰居中心為觀察范圍內(nèi)各個(gè)體所在位置的平均值。假設(shè)當(dāng)前A1所處的位置為，為當(dāng)前各個(gè)鄰居的位置 ， 則鄰居平均位置，為周期 t當(dāng)前個(gè)體到鄰居平均位置的方向,則 （3）（3） 對齊規(guī)則的實(shí)現(xiàn): 個(gè)體會(huì)和它的鄰居朝同一個(gè)方向游動(dòng)。公式表示為 ： （4）

14、其中為各個(gè)鄰居的方向, N 為鄰居的個(gè)數(shù), 為鄰居的平均方向。（4）避免碰撞規(guī)則的實(shí)現(xiàn):當(dāng)個(gè)體和它的鄰居靠的太近時(shí) (距離小于碰撞距離 ) ,應(yīng)自動(dòng)避開。公式表示為： （5）其中為小于碰撞距離的鄰居到當(dāng)前個(gè)體方向的平均值,M 為鄰居中小于碰撞距離的鄰居個(gè)數(shù)。最后根據(jù)以上計(jì)算可得出個(gè)體 A1的位置迭代規(guī)則為： （6）.2局部運(yùn)動(dòng)模型（1）個(gè)體間的感知感知問題前以述及，個(gè)體魚在魚群中相互感知，二維空間內(nèi)，感知范圍為半徑為R的圓面，通過個(gè)體魚之間的通信，傳遞位置和運(yùn)動(dòng)信息以及其他信號。（2）通信機(jī)制通信范圍：與感知范圍一致。通信對象：位于Ai的通信范圍內(nèi)的所有個(gè)體魚。通信過程：當(dāng)Ai的位置坐標(biāo)發(fā)生變

15、化后，Ai立即更新其通信范圍內(nèi)的通信對象；能及時(shí)將所有通信對象；所有通信對象能將它們的位置、運(yùn)動(dòng)等信息傳遞給Ai。通過Ai與通信對象之間的通信，實(shí)現(xiàn)個(gè)體魚在群體中的局部交互。（3）魚群的局部交互魚在群體中排列十分緊密，但有時(shí)擁擠會(huì)造成身體遮擋了部分感知范圍，但是離散的魚卻能組合成連貫的魚群結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)全局的統(tǒng)一。但是，如果假設(shè)每條魚能夠與其他所有個(gè)體進(jìn)行交互，獲取全局信息，那么所有魚都將集聚在魚群的質(zhì)心，而不是一種均勻的分布。因而可以推斷在魚群中只存在局部交互。局部的交互，經(jīng)過反復(fù)協(xié)調(diào)，最終達(dá)成全局的和諧結(jié)構(gòu)。魚群運(yùn)動(dòng)是一個(gè)和諧的整體，而局部與局部是在整體中相交互聯(lián)的。而且個(gè)體之間的交互和局部之

16、間的交互都是在不斷地更新中，所以魚群的整體運(yùn)動(dòng)建立在局部交互的基礎(chǔ)之上。.3魚群運(yùn)動(dòng)模型根據(jù)前面兩點(diǎn)分析，求解出在給定初始狀態(tài)情況下，每個(gè)個(gè)體魚在下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向能夠根據(jù)個(gè)體魚運(yùn)動(dòng)模型求得，其所有的位置也能通過迭代給出。按照上述的方法，所有魚群中的個(gè)體趨于同步運(yùn)動(dòng)，最后形成魚群的一種集群運(yùn)動(dòng)。圖 4 個(gè)體、局部與集群之間的關(guān)系圖5.2問題二的模型 模型的建立根據(jù)對資料的分析，認(rèn)為鯊魚在攻擊時(shí)有它的威脅范圍R0，假定所有在它攻擊范圍內(nèi)的個(gè)體魚均能感受到威脅的存在，并立即在它的感知范圍內(nèi)向其它個(gè)體發(fā)出告警交互信號。此時(shí)對于集群里的個(gè)體魚來說可以分成三類：第一類是在鯊魚的攻擊范圍之內(nèi)，它要躲避威脅

17、，并且在感知范圍內(nèi)發(fā)出告警交互信息同時(shí)它能收到威脅范圍內(nèi)其它個(gè)體發(fā)出的告警交互信號。第二類是不在威脅范圍之內(nèi)但是在第一類魚的感知范圍內(nèi)。第三類魚既不在威脅范圍內(nèi)又不在第一類魚的感知范圍內(nèi)，具體用圖形表示如下： 圖 5 危險(xiǎn)信號的傳遞考慮鯊魚的運(yùn)動(dòng)：鯊魚的運(yùn)動(dòng)受其運(yùn)動(dòng)慣性的影響，并游向其感知范圍內(nèi)與其距離最近的小魚。則其運(yùn)動(dòng)方向，其中，。其位置。由此可得鯊魚的位置更替。在問題一模型的基礎(chǔ)上，考慮對于第一類魚，它在下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向?qū)⑹艿搅鶄€(gè)因素的影響，如下圖：圖 6 第一類魚的方向確定用公式可以表示為： （7）其中的含義同問題一，表示個(gè)體魚為了躲避威脅而以最快方式逃逸的方向，表示該個(gè)體魚受其它個(gè)

18、體發(fā)出的告警信號的平均方向；表示魚在決策時(shí)對它們的偏好權(quán)重，對于第二類魚來說，它在下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向受五個(gè)因素的影響，如下圖：圖 7 第二類魚的方向確定用公式可以表示為： （8）各符號含義同上，其中。對于第三類魚來說，它在下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向仍然受問題一中的四個(gè)因素影響。 參數(shù)解算算法個(gè)體魚在下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向確定： （9）其中為鯊魚當(dāng)前的位置坐標(biāo)。 （10）其中表示感知范圍內(nèi)第k條個(gè)體魚的位置坐標(biāo)，K 為該個(gè)體魚受其它個(gè)體發(fā)出的告警信號的個(gè)數(shù)。個(gè)體魚在下一時(shí)刻的位置坐標(biāo)確定： （11）5.3 問題三的模型5.3.1 模型的建立假設(shè)魚群中有一部分個(gè)體是信息豐富者，本文僅考慮掌握食物源位置信息的個(gè)

19、體魚，它們在遵循問題一中提出的游動(dòng)規(guī)則條件下，將主動(dòng)靠近食物源，并且把它向食物源游去的信息告知鄰居，召集其它個(gè)體魚共同覓食。在問題一個(gè)體魚運(yùn)動(dòng)的模型中把向食物源游動(dòng)的趨勢加入其實(shí)際游動(dòng)方向的方程模型中，用公式表示： （12）其中的含義同問題一，表示個(gè)體魚向食物源游動(dòng)的方向，表示魚在決策時(shí)對它們的偏好權(quán)重，。圖 8 掌握食物源信息的個(gè)體的方向確定對于其它沒有食物源位置信息的個(gè)體魚來說，它能受到其感知范圍內(nèi)信息豐富者的召集信息，并趨向這些信息豐富者的實(shí)際游動(dòng)方向的平均方向，追隨它們共同覓食。則它在下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向受五個(gè)因素的影響，如下圖：圖 9未掌握食物源信息的個(gè)體的方向確定用公式可以表示為：

20、（8）各符號含義同上，表示個(gè)體魚受召集信息而跟隨信息豐富者的偏好。其中。 參數(shù)解算算法信息豐富者向食物源游去的方向： （9）其中為食物源當(dāng)前的位置坐標(biāo)。為信息豐富者的位置坐標(biāo)。 沒有掌握食物源信息的個(gè)體魚受召集信息影響的游向： （10）其中表示感知范圍內(nèi)第i個(gè)信息豐富者的位置坐標(biāo)，k為所研究的非信息豐富者感知到的信息豐富者的個(gè)數(shù)。個(gè)體魚在下一時(shí)刻的位置坐標(biāo)確定： （11）六、模型的求解及分析6.1 問題一模型的求解 模型結(jié)果預(yù)測首先本文根據(jù)模型的分析對結(jié)果進(jìn)行預(yù)測： a 魚群的初始狀態(tài) b 運(yùn)行t s后魚群的集群效果c 運(yùn)行t+n s后魚群的集群效果圖 10 魚群運(yùn)動(dòng)效果 模型的結(jié)果仿真本文利

21、用Matlab軟件對模型進(jìn)行結(jié)果仿真。模型開始運(yùn)行時(shí) ,平面環(huán)境中任意分布一定數(shù)量的個(gè)體 ,每個(gè)個(gè)體具有自己的狀態(tài)屬性，即其初始狀態(tài)是隨機(jī)的。模型運(yùn)行中個(gè)體不斷產(chǎn)生位置移動(dòng)并與環(huán)境以及其它個(gè)體發(fā)生交互作用。在中,對參數(shù)設(shè)定為；以及對對象屬性設(shè)定：魚的數(shù)量 100 , 速度0.5，感知范圍為5個(gè)單位，碰撞的最小距離5/5=1個(gè)單位。仿真結(jié)果如圖所示：（1）魚群的初始狀態(tài)（2）運(yùn)行20 s后魚群的集群效果（3）運(yùn)行45 s后魚群的集群效果圖 11 魚群運(yùn)動(dòng)的仿真效果 模型的結(jié)果分析（1）魚群中個(gè)體的初始狀態(tài)即運(yùn)動(dòng)方向和位置坐標(biāo)是隨機(jī)給定的，在圖中可以看出魚群沒有規(guī)律性的集群運(yùn)動(dòng)行為。（2）運(yùn)動(dòng)一段

22、時(shí)間后，根據(jù)個(gè)體魚的運(yùn)動(dòng)模型，每個(gè)個(gè)體魚遵從同樣的游動(dòng)規(guī)則，在狀態(tài)參數(shù)的不斷更迭下，魚群開始慢慢集聚，并趨向于一致的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（3）當(dāng)模型運(yùn)行長時(shí)間后，魚群的集群運(yùn)動(dòng)行為涌現(xiàn)出來。魚群個(gè)體在各自運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上通過個(gè)體間的相互作用，實(shí)現(xiàn)局部到整體的不斷匹配，不斷協(xié)調(diào)，最后形成一個(gè)統(tǒng)一的同步的運(yùn)行結(jié)構(gòu)。6.2問題二模型的求解 模型結(jié)果預(yù)測首先本文根據(jù)模型的分析對結(jié)果進(jìn)行預(yù)測： a 鯊魚靠近魚群的初始狀態(tài) b 部分個(gè)體魚受威脅時(shí)的反應(yīng)c 運(yùn)行t s后魚群的集群效果圖 12 受威脅時(shí)魚群運(yùn)動(dòng)的效果模型的結(jié)果仿真利用Matlab軟件對模型進(jìn)行仿真，結(jié)果如下圖：（1）鯊魚靠近魚群的初始狀態(tài)（2）部分個(gè)體

23、魚受威脅時(shí)的反應(yīng)（3）運(yùn)行t s后魚群的集群效果圖 13 受威脅時(shí)魚群運(yùn)動(dòng)的仿真效果模型的結(jié)果分析（1）當(dāng)鯊魚入侵魚群時(shí)，一部分個(gè)體魚首先出現(xiàn)在鯊魚的威脅范圍并立刻感受危險(xiǎn)存在。它們會(huì)選擇最快的方式逃逸并在感知范圍內(nèi)發(fā)出告警信號與其它所有在其感知范圍內(nèi)的個(gè)體魚進(jìn)行信息交互。（2）隨著部分個(gè)體的快速逃逸和個(gè)體間的不斷信息交互，得知危險(xiǎn)的魚群數(shù)量不斷擴(kuò)大，選擇逃逸的個(gè)體魚越來越多，但是它們逃逸時(shí)仍然受游動(dòng)規(guī)則的影響。（3）雖然魚群在不斷地逃逸，但要受到游動(dòng)規(guī)則的約束，在保證安全時(shí)仍然表現(xiàn)出集群運(yùn)動(dòng)行為，結(jié)果與事實(shí)吻合。七、模型的評價(jià)7.1 模型的優(yōu)點(diǎn)：1、本文將復(fù)雜的動(dòng)物集群運(yùn)動(dòng)行為巧妙地轉(zhuǎn)化為在

24、一個(gè)二維坐標(biāo)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向和坐標(biāo)位置不斷變化的數(shù)學(xué)問題，使得問題簡單明了，易于解決。2、文章在建立問題二、三的模型時(shí)充分借鑒了問題一的模型，充分研究了三個(gè)問題之間的關(guān)聯(lián)性。3、文章對于模型的結(jié)果作了合理的預(yù)測，結(jié)果能夠反映模型的真實(shí)情況，與實(shí)際比較接近。7.2 模型的不足:1、本文在模型建立之初，為了簡化問題，假設(shè)魚群運(yùn)動(dòng)的周圍環(huán)境是一個(gè)二維平面，這與現(xiàn)實(shí)是不相吻合的。動(dòng)物群體的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是在空間和時(shí)間上的不斷變化的復(fù)雜的量。文中沒有考慮模型在三維立體空間的建立過程，具有一定的缺陷。 2、模型的仿真結(jié)果比較粗糙，不是非常滿意。八、模型的推廣1、將二維平面環(huán)境變?yōu)槿S的立體空間可使模型具有更

25、加廣泛的適用性。在向三維推廣的過程中，建立三維坐標(biāo)軸，模型中運(yùn)動(dòng)方向的改變和位置坐標(biāo)的迭代均應(yīng)在三維空間上的橫、縱、豎坐標(biāo)上進(jìn)行。依此，模型在三維的仿真結(jié)果會(huì)更加逼真。圖 13 模型一的三維仿真圖2、集群運(yùn)動(dòng)行為模型的推廣：本文研究的集群運(yùn)動(dòng)行為，不存在著集中控制或領(lǐng)導(dǎo)者，只是個(gè)體依據(jù)簡單的行為規(guī)則相互交互促使整個(gè)群體突現(xiàn)出一種復(fù)雜的協(xié)調(diào)和適應(yīng)能力。可見，這種群智能的涌現(xiàn)，正是由于群體內(nèi)部存在著大量的正負(fù)反饋機(jī)制。將這種模型應(yīng)用到控制領(lǐng)域，建立多樣性控制器，對于存在多種作動(dòng)器的系統(tǒng)有很好的借鑒。參考文獻(xiàn)1 姜啟源、謝金星、葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003。2 周義倉、赫孝良，數(shù)學(xué)

26、建模實(shí)驗(yàn)，西安：西安交通大學(xué)出版社，2007。3 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2005。4 王曉紅，基于多 Agent的人工魚群自組織行為研究 D，北京：北京科技大學(xué)，2006。5 趙 健、曾建潮，魚群集群行為的建模與仿真，太原：太原科技大學(xué)，2009。附錄：1、n=100;x(1,:)=20*rand(1,n);y(1,:)=20*rand(1,n);drc(1,:)=(rand(1,n)-0.5)*2*pi;d=;for k=1:50;%¼ÆËã¾àÀëfor i=1:n for j=1

27、:n d(i,j)=sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2); endendfor i=1:n d(i,i)=inf;end%Ëٶȷ½ÏòµÄ¸üÐÂfor i=1:n a=0,b=1,c=0,e=0,h=0,l=0; for j=1:n if d(i,j)<5 a=a+1; c=c+x(j),e=e+y(j); m=atan(y(j)/x(j); l=l+m; end if d(i,j)<1 b=b+1; g=atan(y

28、(j)-y(i)/(x(j)-x(i); h=h+g; end end D2=atan(e/a-y(i)/(c/a-x(i); D3=l/a; D4=h/b; drc(k+1,i)=0.4*drc(k,i)+0.3*D2+0.2*D3+0.1*D4; v=0.5;%ËٶȴóС²»±äend%×ø±êµÄ¸üÐÂfor i=1:n x(k+1,i)=x(k,i)+v*cos

29、(drc(k+1,i)*1; y(k+1,i)=y(k,i)+v*sin(drc(k+1,i)*1; if x(k+1,i)>80 x(k+1,i)=x(k+1,i)-80; elseif x(k+1,i)<0 x(k+1,i)=x(k+1,i)+80; end if y(k+1,i)>80 y(k+1,i)=y(k+1,i)-80; elseif y(k+1,i)<0 y(k+1,i)=y(k+1,i)+80; endendendfor i=1:kpause(0.1)plot(x(i,:),y(i,:),'.')axis(0 80 0 80)getfr

30、ameend 2、n=100;x=;y=;xs=;x(1,:)=10*rand(1,n);y(1,:)=10*rand(1,n);draction(1,:)=(rand(1,n)-0.5)*2*pi;d=;%³õʼ»¯öèÓã×ø±êxs(1,:)=40*rand(1,1);ys(1,:)=40*rand(1,1);dractions(1,1)=(rand(1,1)-0.5)*2*pi+(rand(1,1)-0.5)*pi;for k=1:200 dra

31、ctions(k+1,1)=dractions(k,1); vs(k+1,1)=0.3; xs(k+1,1)=xs(k,1)+vs(k+1,1)*cos(dractions(k+1,1)*1; ys(k+1,1)=ys(k,1)+vs(k+1,1)*sin(dractions(k+1,1)*1; if xs(k+1,1)>40 xs(k+1,1)=xs(k+1,1)-40; elseif xs(k+1,1)<0 xs(k+1,1)=xs(k+1,1)+40; end if ys(k+1,1)>40 ys(k+1,1)=ys(k+1,1)-40; elseif ys(k+1,1)<0 ys(k+1,1)=ys(k+1,1)+40; endfor i=1:n ds(i)=sqrt(x(k,i)-xs(k,1)2+(y(k,i)-ys(k,1)2); for j=1:n d(i,j)=sqrt(x(k,i)-x(k,j)2+(y(k,i)-y(k,j)2); endendfor i=1:n d(i,i)=inf;end%Ëٶȷ½Ïòfor i=1:n p=0;l=0.1; for