高精問題論文

1、 重慶科技學(xué)院 數(shù)學(xué)建模 題 目 確定高精度參數(shù)問題 院 （系） 數(shù) 理 學(xué) 院 指導(dǎo)教師 王 曉 峰 學(xué)生姓名 鄭 天 文 專業(yè)班級 應(yīng) 數(shù) 普09 學(xué) 號 2009443406 2012年01月 10日 一、問題的重述考慮航天器在僅受到地球萬有引力、航天器自身發(fā)動機作用力的作用下作平面運動，將地球和航天器視為質(zhì)點，建立航天器運動的數(shù)學(xué)模型。顯然這樣的數(shù)學(xué)模型在精度上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足實際需要的，在其他要求精確制導(dǎo)等有關(guān)高科技的實際問題中，我們都面臨著類似的問題：我們必須建立高精度的數(shù)學(xué)模型，必須高精度地估計模型中的大批參數(shù)，因為只有這樣的數(shù)學(xué)模型才能解決實際問題，而不會出現(xiàn)差之毫厘，結(jié)果卻失之

2、千里的情況。由于航天器的問題太復(fù)雜，本題僅考慮較簡單的確定高精度參數(shù)問題。假設(shè)有一個生態(tài)系統(tǒng)，其中含有兩種生物，即： A生物和B生物，其中A生物是捕食者，B生物是被捕食者。假設(shè)時刻捕食者A的數(shù)目為，被捕食者B數(shù)目為，它們之間滿足以下變化規(guī)律：初始條件為：其中為模型的待定參數(shù)。通過對此生態(tài)系統(tǒng)的觀測，可以得到相關(guān)的觀測數(shù)據(jù)。要利用有關(guān)數(shù)據(jù)，解決以下問題：1) 在觀測數(shù)據(jù)無誤差的情況下，若已知，求其它5個參數(shù)？2)若也未知，至少需要多少組觀測數(shù)據(jù)，才能確定參數(shù)？3) 在觀測資料有誤差（時間變量不含有誤差）的情況下，確定參數(shù) 在某種意義下的最優(yōu)解，并與仿真結(jié)果比較，進(jìn)而改進(jìn)數(shù)學(xué)模型。4) 假設(shè)連觀測

3、資料的時間變量也含有誤差，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解。由于航天器的問題太復(fù)雜，下面本題僅考慮較簡單的確定高精度參數(shù)問題。2 航天器運動的數(shù)學(xué)模型2.1 模型假設(shè) （1）航天器僅受地球萬有引力和航天器自身發(fā)動機作用力下做平面運動； （2）將地球和航天器視為質(zhì)點。2.2符號說明(1)G 是地球萬有引力；(2)F0 是發(fā)動機作用力；(3)F是二力合成后的平面力；(4)X，Y，Z是三維空間對應(yīng)的坐標(biāo)軸，x，y，z是空間中點對應(yīng)的坐標(biāo)軸X，Y，Z上的值。2.3 模型的建立 圖（一）航天器受力圖分析上圖，航天器在平面力下，作高度為,用模型假設(shè)中條件和牛頓運動第二定律建立下列模型：'ìx

4、 (t) = x(t) a + a y(t )ï 1 2í'y (t) = y(t ) a +a x(t)ïx(t ) = a0 5ía 代表凈自然增長率；a a a我們可以得到系統(tǒng)的平衡點為 P (- ,- ) ，被捕食者的數(shù)量圍繞 - 周說明：此模型是最理想狀況下的模型，我們并沒有復(fù)雜的參數(shù)！二、捕食者與被捕食者生態(tài)系統(tǒng)問題的分析題中假設(shè)有一個生態(tài)系統(tǒng)，含有兩種生物，A生物和B生物， A生物是捕食者，B生物是被捕食者。假設(shè)時刻捕食者A的數(shù)目為，被捕食者B數(shù)目為，它們之間滿足以下變化規(guī)律：初始條件為：該模型中，捕食者獨自存在時死亡率，；被捕食者

5、對捕食者的供養(yǎng)能力；是被捕食者的獨立生存增長率，；是捕食者掠取被捕食者的能力，。2這個方程就是生態(tài)系統(tǒng)中被捕食者與捕食者的volterra模型，為模型的待定參數(shù)。對于該模型理論上不存在解析解，因此我們不能通過參數(shù)擬合確定模型的參數(shù)。Volterra模型在給定參數(shù)和初始值的情形下可以采用數(shù)值積分獲得任意時間點的數(shù)值解。根據(jù)volterra模型進(jìn)行一些公式推導(dǎo)如下：兩個方程相除得：移項得：兩邊積分：得到相軌方程：移項得：該式右邊為只與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)，令易知，將（5）式代入（4）式得到式中方程兩邊同除以C，得：在（7）式中，令，得到 這一方程體現(xiàn)了Volterra模型中兩個變量之間的變化關(guān)系，我們

6、稱此方程為相軌方程。進(jìn)一步研究相軌方程，可以發(fā)現(xiàn)Volterra模型中兩個變量呈現(xiàn)周期性變化。第一問，對來說，相軌方程是一個4未知數(shù)的方程， DATA1中有6組數(shù)據(jù)，用6組數(shù)據(jù)確定4個可以采用極小范數(shù)最小二乘解。又因為已知，C可求，從而可求，由于各觀測值真實準(zhǔn)確，可取DATA1中任意一組數(shù)據(jù)，不失一般性，我們?nèi)〉谝唤M數(shù)據(jù)為初始值。第二問，我們可以證明參數(shù)C與系統(tǒng)周期成反比，由參考資料可以知道volterra模型中的含義，從而確定C的正負(fù)性，在未知的情況下，求C可以從C與時間的關(guān)系入手，我們先在DATA1的6組數(shù)據(jù)中取4組算出，然后設(shè)計一個的新生態(tài)系統(tǒng)，以無誤差的觀測數(shù)據(jù)DATA1為準(zhǔn)，設(shè)計搜索

7、算法找到與DATA1中x，y值極為接近的數(shù)值點，找到對應(yīng)的觀測時間，得到觀測間隔，這個觀測間隔與DATA1中已知的觀測間隔一起可以求出C，從而得到，同第一問。第三問，用所有數(shù)據(jù)求得極小范數(shù)最小二乘解，可以確定。經(jīng)過與第二問類似的方法獲得C。進(jìn)一步求出 ，可取DATA2中觀測初始時間的值，這一套就是我們所求的最小二乘意義下的最優(yōu)解。將這一組參數(shù)帶入volterra模型，獲得各觀測點上的仿真結(jié)果。通過與觀測結(jié)果比較，我們發(fā)現(xiàn)誤差普遍較大。于是我們改進(jìn)了參數(shù)估計模型，改為求取均方誤差意義下的最優(yōu)解。獲得了較好的效果。第四問，我們采取了第三問中的改良算法，以求取使x,y,t三者均方誤差最小的參數(shù)組為目

8、標(biāo)，進(jìn)行計算，然而誤差較大。經(jīng)過判斷，我們認(rèn)為這是由于時間和數(shù)據(jù)均存在誤差導(dǎo)致搜索結(jié)果不夠精確，我們改進(jìn)搜索算法，結(jié)果大為改善。三、模型的建立及求解問題一，已知，求其它5個參數(shù)結(jié)合DATA1.TXT中6組無誤差的觀測數(shù)據(jù)（包括了觀測時刻、A生物數(shù)目、B生物數(shù)目 ），（7）式含有4個未知數(shù)，而題中提供了6組數(shù)據(jù)，寫為矩陣形式即：記為矩陣形式，其中，矛盾方程組的惟一極小范數(shù)最小二乘解為，采用極小范數(shù)最小二乘解，得到的值，如表1所示表1 最小二乘的的值-0.868317924024250.07236037259773因為，由題意，而從volterra模型本身出發(fā)，是捕食者掠取被捕食者的能力，所以利用

9、DATA1中數(shù)據(jù)算出的，所以C<0，這一問中 ，把C代入，得到表2 已知， 的值對于，來說，由觀測數(shù)據(jù)，已知，而未知，所以，可以是觀測數(shù)據(jù)中任意一組，的值。不失一般性我們?nèi)?，由DATA1知道，所以，。問題二，未知，至少需要幾組數(shù)據(jù)才能確定的值1. 的求解由問題一的分析可知，為了求取，至少需要四個方程，即四組觀測數(shù)據(jù)。列為線性方程可以解得，2. 觀測系統(tǒng)時間變換分析對于同樣系統(tǒng)的觀測，當(dāng)選取的觀測時間起點和觀測時間單位不同時，得到同一物理系統(tǒng)的兩種不同時間觀測結(jié)果。不失一般性，我們將兩種觀測之間的時間變換關(guān)系表示為，其中表示兩種觀測系統(tǒng)的時間單位數(shù)量，反映了兩個觀測系統(tǒng)時間起點上的差異，而

10、反映了兩個觀測系統(tǒng)觀測時間單位的比例，線性關(guān)系是由時間的均勻性確定的。定理一：對于參數(shù)完全相同的生態(tài)系統(tǒng)，其系統(tǒng)常數(shù)與觀測時間單位長度存在反比例關(guān)系，即。證明：在volterra模型中：把，代入得： （8）構(gòu)建對于上述生態(tài)過程的兩個觀測系統(tǒng)，其時間軸變換關(guān)系為，為常數(shù)。（8）即為 （9）對（9）進(jìn)行推導(dǎo) （10）所以，為常數(shù)，結(jié)合，得到，這就證明了在參數(shù)完全相同的生態(tài)系統(tǒng)，其系統(tǒng)常數(shù)與觀測時間間隔參數(shù)存在反比例關(guān)系，即。在volterra模型中，對的推導(dǎo)與上面相同，結(jié)論也相同。3求解在確定的情況下，我們只要得到系統(tǒng)常數(shù)就可以確定生態(tài)系統(tǒng)參數(shù)。對于一個生態(tài)系統(tǒng)，當(dāng)確定時，由方程可知相軌線是完全確

11、定的。對于觀測數(shù)據(jù)中的相鄰兩組數(shù)據(jù)和，其演變過程遵循系統(tǒng)方程即選擇作為起始點根據(jù)系統(tǒng)方程演化到。當(dāng)值不同時，從演化到的過程不同。下面我們在定理一中證明值和演化時間存在反比關(guān)系。我們首先用DATA1中的4組數(shù)據(jù)確定表3 的值 0.868317924024250.072360372597731，模型的建立與求解龍格-庫塔方法求解微分方程對于Volterra模型，沒有顯式的符號解，因此我們采用四階龍格庫塔方法求解常微分方程組的數(shù)值解。求解方法介紹如下：volterra模型可寫為 （11）令下標(biāo)表示步數(shù)，則解此方程組的歐拉方法為 （12）引進(jìn)向量記號，則式（11）與式（12）可分別寫成此時，常用的四階

12、龍格庫塔方法取形式采用龍格庫塔方法，我們可以求出微分方程的數(shù)值解，數(shù)值解十分密集，在圖2上表現(xiàn)為連續(xù)曲線。圖2 龍格-庫塔數(shù)值解與DATA1數(shù)據(jù)對照2，模型的建立我們的目標(biāo)是使用最少數(shù)目的觀測數(shù)據(jù)組，即目標(biāo)： 約束：為DATA1中無誤差觀測間隔，為已知，為新系統(tǒng)觀測間隔，這個新觀測間隔由后面介紹的搜索算法可以獲得，所以C可求，由DATA1中任意4組數(shù)據(jù)解出，由C已求出，則可求，驗證的精度是用求出的再建立新模型v_new，采用DATA1觀測間隔得到觀測值，q為該觀測值與DATA1觀測值的相對誤差，這在結(jié)果驗證中詳細(xì)介紹。3，搜索算法我們采用一種搜索算法尋找與DATA1中無誤差數(shù)據(jù)極為接近的高精度

13、，以此確定新的觀測間隔。由于觀測數(shù)據(jù)無誤差，我們可以選擇DATA1中任意一組數(shù)據(jù)作為微分方程的初值，根據(jù)四階龍格-庫塔算法求解得到微分方程的數(shù)值解。不失一般性，我們選取第一組數(shù)據(jù)作為初值，即。以DATA1中的為起點進(jìn)行龍格-庫塔數(shù)值解的搜索。 搜索算法：第一步：預(yù)估生態(tài)系統(tǒng)的周期；第二步：在預(yù)估周期附近搜索真實周期；第二步：以為步長，生成1000組數(shù)據(jù)，搜索其中與目標(biāo)點距離最近的點；在此點前后兩點構(gòu)成的區(qū)間內(nèi)重復(fù)上述搜索。隨搜索深度上升，獲得點的精度隨之上升，我們在計算中考慮到精度和效率，選擇搜索深度為三，即精確到 4，問題的求解為了計算，首先在龍格-庫塔數(shù)值解基礎(chǔ)上搜索出第一組x，y值，得到

14、觀測時間，然后繼續(xù)搜索第二組x，y值，得到對應(yīng)的觀測時間，這時兩觀測時間間隔可求，如表4，表4 新系統(tǒng)觀測間隔9.787980399999489.78790879999960記表4中各個觀測間隔為，它為后一觀測時間減去前一觀測時間的值。在已知數(shù)據(jù)DATA1中，各個觀測值與觀測間隔如表5所示，表5 DATA1中無誤差的觀測數(shù)據(jù)及觀測間隔 none10.60.0.111.7508406503045180.10.1000000000000000420.809218814387980.099999999999999960.126.92522160481810226.706603701525214記表5

15、中各個觀測間隔為，它為后一觀測時間減去前一觀測時間的值。由定理一，我們從理論上知道，結(jié)合表4，表5，又因為，結(jié)合表2，的值即可確定，因為我們的值與無誤差觀測值有極小差距，我們的用表示。表6 (即)的值7.08266991315792對于，來說，由觀測數(shù)據(jù)，已知，而未知，所以，可以是觀測數(shù)據(jù)中任意一組，的值。我們?nèi)。蒁ATA1知道，所以，。由此，我們通過構(gòu)建一個新的觀測系統(tǒng)找到了C與觀測間隔t的對應(yīng)關(guān)系，并且除了確定需要的DATA1中的4組數(shù)據(jù)之外，沒有再需要DATA1中的其它數(shù)據(jù)，因此，至少需要4組數(shù)據(jù)就可以確定的值。5，結(jié)果驗證為了驗證我們的結(jié)果，對于得到的表6中的的值，加上，可以再重新構(gòu)

16、建一個volterra模型（模型v_new），將DATA1中的觀測時間代入模型v_new，得到，表7 模型v_new中取與DATA1相同觀測間隔對應(yīng)的x，y值 NAN10600.111.750933046976590.10.1000000000000000420.809288951375380.099999999999999965.232025537817290.126.9252566485123026.70655846347881定義相對誤差，其中x，y為DATA1中無誤差的觀測數(shù)據(jù)，得到相對誤差表如表8所示。 表8 ，值與DATA1的相對誤差表（單位：）0.049972095034430.

17、078629840047040.033704767117530.08229360851517由此可見我們得到的，值具有5個數(shù)量級以上的精度，它與無誤差觀測值是極為接近的。所以我們得到的的值是高精度的，如果需要我們可以加大搜索深度，提高數(shù)據(jù)精度。問題三，在觀測資料有誤差（時間變量不含有誤差）的情況下，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解，并與仿真結(jié)果比較，進(jìn)而改進(jìn)模型。1，誤差數(shù)據(jù)預(yù)處理：當(dāng)觀測數(shù)據(jù)有誤差時，我們可以進(jìn)行如下數(shù)據(jù)預(yù)處理以部分去除數(shù)據(jù)中誤差的干擾。S1：根據(jù)全體數(shù)據(jù)對，按照極小范數(shù)最小二乘求解生態(tài)系統(tǒng)參數(shù)S2：因為只要四組數(shù)據(jù)就可以求解方程組，從而得到一組系統(tǒng)參數(shù)。但是由于誤差的影響，使得

18、這些參數(shù)與總體參數(shù)的偏差程度不同。我們可以設(shè)定偏差門限，從而去除含有較大誤差的數(shù)據(jù)組。S3：對于剩余的數(shù)據(jù)對，選擇一組作為初始值采用前面提到的搜索算法搜索相鄰的下一組值，得到觀測時間間隔；S4：計算上一步計算得到的觀測時間間隔的中位數(shù)，根據(jù)預(yù)先設(shè)定比例門限，去除時間間隔不屬于中位數(shù)某一定義的鄰域的數(shù)據(jù)對。經(jīng)過以上步驟，在一定程度上去除了含有較大誤差的數(shù)據(jù)組，減少了數(shù)據(jù)量，對于后續(xù)的優(yōu)化過程具有重要作用。2，模型的建立及求解（1）DATA2系統(tǒng)由第二問求解過程，我們知道的求解只與數(shù)據(jù)點有關(guān)。我們可以利用第一步數(shù)據(jù)預(yù)處理后的全體數(shù)據(jù)方程做極小范數(shù)最小二乘解，得到。由定理一參數(shù)C與系統(tǒng)觀測間隔成反比

19、，而DATA2系統(tǒng)有給定的觀測間隔，所以與第二問類似，建立的虛擬系統(tǒng)。假設(shè)DATA2中觀測時間相鄰的兩點在同一周期內(nèi)（第一點為初始值），則讓新系統(tǒng)采用與DATA2系統(tǒng)相同的初始值，經(jīng)過與第二問類似的龍格-庫塔計算及搜索，搜索的目標(biāo)是x，y在新舊系統(tǒng)中對應(yīng)值的均方差最小，DATA2系統(tǒng)的相鄰兩點的第二點反映到新系統(tǒng)內(nèi)就得到定理一中所示的新系統(tǒng)對應(yīng)于DATA2系統(tǒng)的觀測時間，從而得到新系統(tǒng)觀測間隔，即：表9 新系統(tǒng)與DATA2系統(tǒng)的對應(yīng)關(guān)系DATA2系統(tǒng)新系統(tǒng)第一個觀測點 觀測間隔觀測值x，y觀測間隔搜索值第二個觀測點根據(jù)定理一，經(jīng)過DATA2中150組數(shù)據(jù)的運算，C可求（），對這150組數(shù)據(jù)采用

20、最小二乘解，可求。DATA2中150組數(shù)據(jù)點和龍格-庫塔數(shù)值解的相軌圖如圖3，圖3 DATA2中150組數(shù)據(jù)點和DATA2系統(tǒng)的龍格-庫塔數(shù)值解我們的目標(biāo)是讓x，y的均方誤差最小，由此建立目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)： 約束：通過這個模型，我們可以直接求出滿足它的C值，這個值是沒有經(jīng)過優(yōu)化的，DATA2系統(tǒng)可直接解出它的極小范數(shù)最小二乘解：，根據(jù)，最優(yōu)解如表7所示，（我們將記為），我們定DATA2中的初始點表10 DATA2系統(tǒng)的最優(yōu)解，（2）DATA3系統(tǒng)DATA3中對建立與之相同的目標(biāo)規(guī)劃模型，也直接求出滿足它的C值，這個值是沒有經(jīng)過優(yōu)化的，DATA3系統(tǒng)也可直接解出它的極小范數(shù)最小二乘解：， ， 根

21、據(jù)，最優(yōu)解如表8所示，（我們將記為），我們同樣定DATA3中的初始點表11 DATA3系統(tǒng)的最優(yōu)解3，所求模型與仿真結(jié)果比較DATA2中，對求出的最優(yōu)建立生態(tài)系統(tǒng)，把無誤差的觀測時間代入該系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)在無誤差觀測時間下x，y的值與DATA2中x，y的值有較大誤差，目標(biāo)7.37696260317394，同樣，對DATA3，對求出的最優(yōu)建立生態(tài)系統(tǒng)，把無誤差的觀測時間代入該系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)在無誤差觀測時間下x，y的值與DATA3中x，y的值的均方差，也非常大，所以表7，表8中的值是非常不精確的，下面設(shè)計改良模型的方法。4，模型的改良（1）DATA3系統(tǒng)首先將DATA3中的初始點固定，修正新系統(tǒng)的C

22、，取區(qū)間，采用二分法進(jìn)行搜索，當(dāng)二分法的搜索精度保證C精確到時就停止搜索，找到滿足該搜索目標(biāo)的作為改良的C值，這時的均方差，確定值，反過來再修正，這里就包含了迭代的思想，由于C一定，且不變，則一定，我們認(rèn)為的修正值在DATA3的初始值附近，給定的（同C）為區(qū)間，對于各個不同的 與構(gòu)成不同系統(tǒng)，尋找使最小的系統(tǒng)，這通過對調(diào)用MATLAB語句做最小二乘曲線擬合來實現(xiàn)，這個系統(tǒng)對應(yīng)的初值就是的修正值。 ，綜上可見：未優(yōu)化的均方差首先優(yōu)化C值，優(yōu)化后，然后優(yōu)化初值，優(yōu)化后 ，P值在第一次優(yōu)化之后的顯著下降，在第二次優(yōu)化之后進(jìn)一步下降，從而可以知道這種優(yōu)化方法是非常好的。至此，我們可以建立改良模型如下：

23、目標(biāo)： 約束：（2）DATA2系統(tǒng)DATA2系統(tǒng)采用與DATA3系統(tǒng)相同的優(yōu)化方法，計算得 ，0.25392540697850問題四，假設(shè)連觀測資料的時間變量也含有誤差，確定參數(shù)在某種意義下的最優(yōu)解。當(dāng)觀測資料的時間變量也含有誤差時，使得觀測時間的間隔含有更大的誤差。如上所述，求解時，相當(dāng)于求解相軌線方程，這與時間變量沒有關(guān)系，因此這四個參數(shù)的求解精度僅受觀測數(shù)據(jù)誤差的影響。同問題三的求解過程，我們在得到時，選取的新的觀測系統(tǒng)，則這是一個除初值外均確定的系統(tǒng)。設(shè)為搜索得到的時間間隔，該時間間隔與這兩組數(shù)據(jù)有關(guān)，搜索結(jié)果為時間間隔與之間的對應(yīng)關(guān)系，如果時間沒有誤差，我們可以直接計算，但是由于時間

24、誤差的存在，直接計算將會把時間上的誤差以倒數(shù)形式傳遞到上，當(dāng)較小時即使很小的時間誤差都會對結(jié)果造成巨大的影響。因此我們對以上常數(shù)計算方法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一下新的計算方法以降低誤差的影響。新的常數(shù)計算方法為。即選取連續(xù)若干組數(shù)據(jù)，每次均是從前一組搜索相鄰下一組數(shù)據(jù)，從上式可以看出經(jīng)過這樣的處理后，分母上是一段比較長的時間間隔，兩個時間的誤差對間隔的影響將會大大降低，從而使得計算得到的常數(shù)更加穩(wěn)定。實際處理中還可以多次分組，對已經(jīng)比較穩(wěn)定的常數(shù)進(jìn)行最小二乘擬合以進(jìn)一步降低誤差水平，提高數(shù)據(jù)精度。通過以上方法確定了常數(shù)，下面考慮優(yōu)化初值，方法同問題三求解過程中的循環(huán)優(yōu)化方法。因為時間，觀測值均含有誤

25、差，因此我們進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化高精度求解的目標(biāo)不應(yīng)該僅僅包含觀測數(shù)據(jù)的均方誤差，還應(yīng)該包含時間的均方誤差，即均方誤差和為，為DATA4系統(tǒng)時間觀測值，為觀測時間的估計值。根據(jù)以上分析，我們建立時間含有誤差下的單目標(biāo)非線性規(guī)劃模型目標(biāo)： 約束：其中為DATA4系統(tǒng)時間觀測值，為新系統(tǒng)時間觀測值時間含有誤差情形下時間估計算法：S1：對于給定的數(shù)據(jù)組DATA4，進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理；S2：利用預(yù)處理結(jié)果數(shù)據(jù)計算；S3：預(yù)估數(shù)據(jù)周期；S4：搜索時間間隔，并估計；S5：對和初值進(jìn)行優(yōu)化；S5：代入?yún)?shù)和初始值計算均方誤差；DATA4系統(tǒng)可直接解出它的極小范數(shù)最小二乘解：（，）通過這個模型，我們可以直接求出滿足它的C

26、值。經(jīng)過優(yōu)化獲得因為計算時間問題，我們沒有進(jìn)行初始值優(yōu)化。最終以第一組參數(shù)為初始值獲得的仿真數(shù)據(jù)中，兩變量和時間的均方差分別為Pxy=0.54933666827330，P=綜合為P=0.77691196210573該值為取第一組參數(shù)為初始值條件下最優(yōu)。四、模型精度分析及評價模型精度分析：對于問題一，我們利用全部六組無誤差觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)極小范數(shù)最小二乘解求解，在已知時簡單的比例運算得到模型參數(shù)。此過程誤差只能來自矩陣求逆過程和矩陣乘法運算的截斷誤差，提高計算過程中數(shù)據(jù)精度就能夠提高模型參數(shù)的精度，直接來自真實的觀測數(shù)據(jù)精度得到自然保證；對于問題二，利用四組數(shù)據(jù)得到，其精度依賴于數(shù)據(jù)運算中的數(shù)據(jù)精

27、度。在求解的過程中，我們采用了在微分方程數(shù)值解中搜索觀測數(shù)據(jù)從而確定時間間隔的方法。其精度受到微分方程數(shù)值解中步長和搜索算法的影響，減小步長，提高搜索深度均能夠提高的精度，從而提高的精度，直接來自真實的觀測數(shù)據(jù)精度得到自然保證；對于問題三，利用多組誤差觀測數(shù)據(jù)根據(jù)極小范數(shù)最小二乘得到，其精度依賴于數(shù)據(jù)運算中的數(shù)據(jù)精度和觀測數(shù)據(jù)中的誤差，的精度受到微分方程數(shù)值解中步長和搜索算法的影響。在模型的改進(jìn)中，我們增加了對于初值和常數(shù)的優(yōu)化過程，由優(yōu)化過程的最小均方誤差目標(biāo)，我們知道優(yōu)化過程可以提高參數(shù)的準(zhǔn)確度和精度；對于問題四，當(dāng)觀測時間存在誤差時，的精度依賴于數(shù)據(jù)運算中的數(shù)據(jù)精度和觀測數(shù)據(jù)中的誤差。在

28、時間間隔搜索過程，我們采用了預(yù)估周期校正算法，其數(shù)據(jù)精度可以通過搜索深度和步長進(jìn)一步提高。以上我們對各個問題中模型參數(shù)的精度進(jìn)行了定性分析，進(jìn)一步我們可以通過函數(shù)的泰勒級數(shù)展開和誤差傳遞進(jìn)行定量分析。模型評價如上分析該模型最大的優(yōu)點是保證了參數(shù)估計的高精度，該模型的缺點是，建立的生態(tài)系統(tǒng)參數(shù)高精度估計模型，對于小幅度噪聲具有一定的適應(yīng)性，但是當(dāng)噪聲強度較大時，該模型得到的結(jié)果精度顯著下降。五、模型的推廣一 生態(tài)過程周期的多解性。在第二，三，四問的求解過程中，我們均采用了固定初始點搜索相鄰點的搜索算法，在算法中我們均假設(shè)相鄰兩個數(shù)據(jù)來自真實生態(tài)過程的一個周期，此種假設(shè)下我們根據(jù)觀測數(shù)據(jù)得到的生態(tài)過程周期是所有可能周期的最大值。這里我們給出生態(tài)過程