高等數(shù)學(xué)二復(fù)習(xí)指導(dǎo)曲線積分與曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分一、基本要求及重點、難點1. 基本要求(1) 了解第一類曲線積分（即對弧長的曲線積分）的概念及其物理與幾何意義，并掌握其計算方法。(2) 了解第二類曲線積分（即對坐標(biāo)的曲線積分）的概念及物理意義，并掌握其計算方法，能熟練應(yīng)用曲線積分計算力場沿曲線所做的功。(3) 掌握格林公式的條件和結(jié)論，熟練掌握利用格林公式把第二類曲線積分化為二重積分的計算方法，及掌握通過添加輔助曲面利用格林公式改變積分路徑的計算方法。(4) 掌握在單連通區(qū)域上第二類曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件及其應(yīng)用，會求全微分的原函數(shù)。(5) 了解第一類曲面積分（即對面積的曲線積分）的概念及其物理與幾何意義，并

2、掌握其計算方法。(6) 掌握高斯公式的條件與結(jié)論，并會利用高斯公式計算第二類曲面積分。2. 重點及難點（1）重點： (a) 熟練選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程或坐標(biāo)系將曲線積分化為定積分。(b) 熟練掌握用投影法將曲面積分化為二重積分。(c) 格林公式（熟練使用格林公式計算曲線積分）。(d) 曲線積分與路徑無關(guān)的概念及條件。(e) 高斯公式（熟練使用高斯公式計算曲面積分）。（2）難點： (a) 兩類曲線積分的關(guān)系。 (b) 格林公式的靈活使用（條件、結(jié)論；輔助曲線的添加）。(c) 高斯公式的靈活使用（條件、結(jié)論；輔助曲面的添加）。二、內(nèi)容概述1、曲線積分的基本概念與性質(zhì)(1) 對弧長的曲線積分（又稱第一類

3、曲線積分）定義 設(shè)在xOy面內(nèi)的光滑曲線上有界. 第一類曲線積分為(見課本).為空間曲線時，類似地有.物理意義 設(shè)曲線的線密度為，則其質(zhì)量為 性質(zhì)1 運(yùn)算性質(zhì) 其中為常數(shù)性質(zhì)2 對弧長的曲線積分與積分路徑的走向無關(guān)，即性質(zhì)3 對積分路徑具有可加性，即其中(2) 對坐標(biāo)的曲線積分（又稱第二類曲線積分）定義 設(shè)在xOy面內(nèi)的有向光滑曲線上有界.為空間曲線時，類似地有.物理意義 變力沿曲線所作的功為性質(zhì)1 對坐標(biāo)的曲線積分與積分路徑的方向有關(guān)，即性質(zhì)2 對積分路徑具有可加性，即其中（3）兩類曲線積分之間的關(guān)系平面曲線上兩類曲線積分有如下關(guān)系其中為平面有向曲線上點處的切線向量的方向角空間曲線上兩類曲線

4、積分有如下關(guān)系其中為空間有向曲線上點處切向量的方向角2、曲線積分的計算公式(1) 對弧長的曲線積分（1）設(shè)函數(shù)在平面曲線上連續(xù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則（2）設(shè)平面曲線的方程為且在區(qū)間上連續(xù)，則（3）設(shè)函數(shù)在空間曲線上連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)，且，則注意 化對弧長的曲線積分為定積分時,定積分的上限一定比下限大（2）對坐標(biāo)的曲線積分(1) 設(shè)函數(shù)在有向曲線上連續(xù)，的參數(shù)方程為: ，即為有向曲線的始點對應(yīng)的參數(shù)值，為其終點對應(yīng)的參數(shù)值且在以為端點的區(qū)間上連續(xù)，則(2) 若是由方程給出,的始點的橫坐標(biāo)為,終點的橫坐標(biāo)為,具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則(3) 類似地,對于空間曲線為有向曲線的始點對應(yīng)的參數(shù)值，為其終點對應(yīng)的

5、參數(shù)值（3）二元函數(shù)的全微分求積設(shè)函數(shù),在單連通域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且，則在內(nèi)為某一函數(shù)的全微分，且有，(如圖 (a)或 ，(如圖 (b)圖 (b)圖 (a)3、曲線積分的有關(guān)定理定理1 (格林公式) 設(shè)閉區(qū)域是由分段光滑的曲線圍成,函數(shù)在上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有其中是的取正向的邊界曲線定理2 (平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件) 設(shè)函數(shù),在單連通域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個條件等價與路徑無關(guān),即,其中、為內(nèi)具有相同始點和終點任意曲線；,其中為內(nèi)的任意閉曲線;在內(nèi)恒成立; ,即在內(nèi)為某一函數(shù)的全微分4、曲面積分的基本概念與性質(zhì)（1）對面積的曲面積分（又稱第一類曲面積分）定義設(shè)在光滑

6、曲面上有界.(極限存在時)物理意義 設(shè)曲面的面密度為，則其質(zhì)量為性質(zhì) 設(shè)曲面都是光滑的,則（2）對坐標(biāo)的曲面積分（又稱第二類曲面積分）指定了側(cè)的曲面稱為有向曲面定義 設(shè)在有向光滑曲面上有界.(極限存在時)(極限存在時)(極限存在時)其中是任意分割有向曲面為片小曲面后,所得到的第片小曲面上的任意一點,分別為在三個坐標(biāo)面上的投影.為片小曲面的直徑中的最大者曲面在點處的單位法向量為物理意義 穩(wěn)定流動的不可壓縮的流體（密度），如果在點處的流速是,則單位時間內(nèi)流過曲面一側(cè)的流量為性質(zhì)1 設(shè)曲面則性質(zhì)2 設(shè)表示與取相反側(cè)的有向曲面，則（3）兩類曲面積分之間的關(guān)系空間曲面上的兩類曲面積分有如下關(guān)系其中是有向

7、曲面上點處的法向量的方向余弦5、曲面積分的計算公式（1）對面積的曲面積分 設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為，則設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為，則設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為，則（2）對坐標(biāo)的曲面積分 設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為，取上（下）側(cè)，則其中，取上側(cè)時為正，取下側(cè)時為負(fù)注意 當(dāng)曲面是母線平行于軸的柱面時，上任意一點的法向量與軸的夾角的余弦，則設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為，則取右側(cè)時為正，取左側(cè)為負(fù)設(shè)光滑曲面的方程是在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為，則取前側(cè)時為正，取后側(cè)為負(fù)6、曲面積分的有關(guān)定理定理1（高斯公式） 設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉

8、曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有或其中是的整個邊界曲面的外側(cè)，是上點處的法向量的方向余弦三、典型例題分析例1： 計算,其中為圓周,直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界.分析 由于曲線分段光滑,所以先將分為若干光滑曲線段之和,再利用曲線積分的可加性計算曲線積分.解: 的方程為 的方程為：的方程為 ，.所以例2 ：具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)應(yīng)滿足怎樣的條件才能使曲線積分與積分路徑無關(guān)。解： 設(shè) (充要條件)例3：計算 ,其中為由點到點的曲線.解： , 從而此曲線積分與路徑無關(guān)，取折現(xiàn)，。例4 ：確定值，使曲線積分(與路徑無關(guān)， 解： 系數(shù)相等： 4a=6(a-1) a=3例5：計算,其

9、中為由點到點的上半圓周.解： （如右圖）例6：計算，其中是由沿到的曲線段。解：本題方法較多。可在直角坐標(biāo)系下計算，分為取為積分變量，取為積分變量，亦可利用參數(shù)方程計算。(方法一) 取為積分變量，需分為兩段：，有 。(方法二 ) 取為積分變量，的方程為，始點，終點，則有被積函數(shù)中，第一項是關(guān)于的奇函數(shù)，第二項是關(guān)于的偶函數(shù)，于是。在方法二中，這里是無窮間斷點，由于原曲線積分存在，可知此廣義積分收斂，故能算出結(jié)果。這種把曲線積分化成廣義積分的情形常會發(fā)生。(方法三) 利用積分曲線的方程化簡被積表達(dá)式的方法求解，作法如下：由于，故，于是 ，所以。(方法四) 將曲線用參數(shù)方程表示，則有。(方法五) 利

10、用格林公式計算。注：用不同方法計算曲線積分，既可以比較不同方法的繁簡，也有利于理解曲線積分的概念和訓(xùn)練計算技巧。例7：證明曲線積分在整個坐標(biāo)面上與路徑無關(guān),并計算積分值.解 ，因為且在坐標(biāo)面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),故曲線積分與路徑無關(guān).例8：設(shè),求.解 設(shè)由 , 所以注意 利用上述方法求函數(shù)時，選擇的起點不同求出的可能相差一個常數(shù)。例9：計算曲面積分,其中為平面在第一卦限的部分.解 設(shè)，在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為：.由于所以 例10：設(shè)為橢球面的上半部分,點為在點處的切平面,為點到平面的距離,試求.解 設(shè)為上任意一點,則,在點處的切平面的方程為：，即 在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域記為,由,則所以 例11：計算

11、，其中為曲面在第一象部分（）的上側(cè)解：（方法一）投影法（直接計算）設(shè)，分別表示在平面、平面、平面的投影，相應(yīng)把的方程分別是，則（方法二） 高斯公式 此時要補(bǔ)上三個平面塊，與曲面塊構(gòu)成封閉曲面，所圍成的空間區(qū)域記為，注意到取內(nèi)側(cè)，因此（方法三）（化為第一類曲面積分） 曲面塊方程，得，從而 ， ， 例12：計算，其中：，上側(cè)解： ，補(bǔ)有向曲面：取下側(cè)，則 所以 四、自測題及解答（一）選擇題1、設(shè)L是起點為A(1,1)終點為B(2,2)的任意不通過原點的路徑，則為( )(A) ln2 (B) 0 (C) 2 (D) 2、設(shè)函數(shù)在單連通域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分在D域內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是

12、 ( )（A） （B） (C） （D）3、記以點A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)為頂點的正方形為ABCDA,則為( )(A) ln2 (B) 2 (C) 0 (D) 14、設(shè), 則曲線積分 ( )(A)與的取向無關(guān)，與的值有關(guān)（B）與的取向無關(guān)，與的值無關(guān)(C)與的取向有關(guān)，與的值有關(guān)（D）與的取向有關(guān)，與的值有關(guān)5、設(shè),為在第一卦限的部分,則有( ) .（二） 填空題1、設(shè)L為取正向的圓周，則=_.2、設(shè)C為逆時針方向的閉曲線，其方程為，則=_.3、設(shè)L為曲線依參數(shù)t增加的方向上的一段弧，則 =_.4、設(shè)C為閉域D的正向邊界閉曲線，則可通過A表示為_(A為D面積)5

13、、 是光滑閉曲面的外法向量的方向余弦，又所圍的空間閉區(qū)域為；設(shè)函數(shù)和在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則由高斯公式，有 = 。(三) 計算題 1、 I=，其中L： 2、 I=其中L是從A(0,1)沿曲線到 3、證明：，并求。 4、求質(zhì)點受作用力沿路徑L順時針方向運(yùn)動一周所作的功。其中L為橢圓 5、計算,其中為圓周。6、設(shè)是沿動圓周的逆時針方向，計算含曲線積分的極限其中為常數(shù)。7、計算，其中是上半球面的上側(cè)。自測題參考答案（一）1、(A) 分析：積分與路徑無關(guān) 2、(D) 3、(C) 4、(D) 分析：因,Q=.且,故在L為邊界的區(qū)域D內(nèi)，有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點（0，0），可取C為不過原點但含于L內(nèi)部并與L同

14、向的曲線，在L與C所圍區(qū)域應(yīng)用格林公式：當(dāng)為正向閉曲線時，取+號，否則取-號。因上，從而即 =，此積分與C的方向也即L的方向有關(guān)，但與a,b無關(guān)。 5、（C）（二）1、 分析：由于 故應(yīng)用格林公式，= 2、 0 . 分析：設(shè)C所圍成的區(qū)域為D，由于 所以在D上， 故應(yīng)用格林公式，= 3、 4、 2A分析：因.由格林公式原式=5、 （三）1、解: 2、解: . 在xoy面內(nèi)， 從而在xoy面內(nèi)與路徑無關(guān) 取O(0,0)，則有3、證: 在xoy面內(nèi)，. 所以 為某函數(shù)u(x,y)的全微分.4、解: 其中D為L所圍成閉域，D： 注：使用格林公式時，要注意積分曲線的封閉性及方向性。此題L為封閉的順時針方向曲線