高中數(shù)學(xué)競賽數(shù)列

1、競賽輔導(dǎo)數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個重要課題，也是數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問題。數(shù)列最基本的是等差數(shù)列與等比數(shù)列。 所謂數(shù)列，就是按一定次序排列的一列數(shù)。如果數(shù)列an的第n項an與項數(shù)(下標)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。 從函數(shù)角度看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集1，2，n)的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。 為了解數(shù)列競賽題，首先要深刻理解并熟練掌握兩類基本數(shù)列的定義、性質(zhì)有關(guān)公式，把握它們之間的(同構(gòu))關(guān)系。 一、 等差數(shù)列 如果一個數(shù)

2、列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。 等差數(shù)列an的通項公式為：前n項和公式為：從(1)式可以看出，是的一次數(shù)函()或常數(shù)函數(shù)()，()排在一條直線上，由(2)式知，是的二次函數(shù)()或一次函數(shù)()，且常數(shù)項為0。在等差數(shù)列 中，等差中項： 且任意兩項的關(guān)系為：它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。 從等差數(shù)列的定義、通項公式，前項和公式還可推出：若二、 等比數(shù)列 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比。公比通常用字母表示。等比數(shù)列an的通

3、項公式是： 前項和公式是： 在等比數(shù)列中，等比中項： 且任意兩項的關(guān)系為如果等比數(shù)列的公比滿足01，這個數(shù)列就叫做無窮遞縮等比數(shù)列，它的各項的和(又叫所有項的和)的公式為：從等比數(shù)列的定義、通項公式、前項和公式可以推出： 另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。重要的不僅是兩類基本數(shù)列的定義、性質(zhì)，公式；而且蘊含于求和過程當中的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)智慧，也是極其珍貴的，諸如“倒排相加”(等差數(shù)列)，“錯位相減”(等比數(shù)列)。 數(shù)列中主要

4、有兩大類問題，一是求數(shù)列的通項公式，二是求數(shù)列的前n項和。 三、 范例 例1 設(shè)ap，aq，am，an是等比數(shù)列an中的第p、q、m、n項，若p+q=m+n，求證： 證明：設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為q，則 說明：這個例題是等比數(shù)列的一個重要性質(zhì)，它在解題中常常會用到。它說明等比數(shù)列中距離兩端(首末兩項)距離等遠的兩項的乘積等于首末兩項的乘積，即：a1+k·an-k=a1·an對于等差數(shù)列，同樣有：在等差數(shù)列 中，距離兩端等這的兩項之和等于首末兩項之和。 即：a1+k+an-k=a1+an例2在等差數(shù)列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a9-a10= A.20

5、 B.22 C.24 D28 解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得5a8=120，a8=24而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故選C 例3已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a3+a101=0，則有( ) A.a1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000年北京春季高考理工類第(13)題 解：顯然，a1+a2+a3+a101例4設(shè)Sn為等差數(shù)列的前項之各，S9=18，Sn=336，則為( ) A.16 B.21 C.9 D8 例5設(shè)等差數(shù)列滿足，且0，為其前項之和，則 中最大的是( )。

6、(1995年全國高中聯(lián)賽第1題) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21所以:S19=S20最大，選(C) 注：也可用二次函數(shù)求最值 例6設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項的和為972，則這樣的數(shù)列共有( ) (A)2個 (B)3個 (C)4個 (D)5個 1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第3題 解：設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，則依題意有： 因為是不小于3的自然數(shù)，97為素數(shù)，故數(shù)的值必為2×972的約數(shù)(因數(shù))，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。 若，則由(*)式知2×972故只可能有=97，(*)式化為

7、：，這時(*)有兩組解： 或 若，則(*)式化為：，這時(*)也有兩組解。 或 故符今題設(shè)條件的等差數(shù)列共4個，分別為： 49，50，51，145，(共97項) 1，3，5，193，(共97項) 97，97，97，97，(共97項) 1，1，1，1(共972=9409項) 故選(C) 例7將正奇數(shù)集合1，3，5，由小到大按第n組有(2n-1)個奇數(shù)進行分組： 1，3，5，7， 9，11，13，15，17， (第一組)(第二組)(第三組) 則1991位于第組中。 1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第3題 解：依題意，前n組中共有奇數(shù) 1+3+5+(2n-1)=n2個 而1991=2×996-1

8、，它是第996個正奇數(shù)。 因為:312=9619961024=322 所以:1991應(yīng)在第31+1=32組中。 故填32例8一個正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為。 1989年全國高中聯(lián)賽試題第4題 解：設(shè)該數(shù)為x，則其整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為x-x，由已知得：x·(x-x=x2其中x0，0x-x1，解得：例9等比數(shù)列的首項，公比，用n表示它的前項之積，則n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)13 1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 解：等比數(shù)列的通項公式為 前n項和 選(C)例10設(shè)，且兩數(shù)列和均為等差數(shù)列，則 1988年全國高中聯(lián)賽

9、試題 解：依題意，有 所以:例11設(shè)是實數(shù)，成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的值是 1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解：因為成等比數(shù)列，所以有例12已知集合M=及N=并且M=N，那么 ( )解：由M=N知M中應(yīng)有一元素為0，任由lg()有意義知，從而，且，故只有l(wèi)g()=0， xy=1，M=x,1,0；若y=1，則x=1，M=N=0，1，1與集合中元素互異性相連，故y1，從而x=1，x=±1；由x=1, y=1(含)，由x=-1 y=-1，M=N=0,1,-1 此時, 從而 注：數(shù)列x，x2，x3，x2001；以及在x=y=-1的條件下都是周期為2的循環(huán)數(shù)列，S2n-1=-2，S2n=0，

10、故2001并不可怕。 例13已知數(shù)列滿足3an+1+an=4(n1)且a1=9，其前n項之和為Sn，則滿足不等式Sn-n-6的最小整數(shù)n是( ) 1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：由3an+1+an=4(n1) 3an+1-3=1-an 故數(shù)列an-1是以8為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以 當n=7時滿足要求，故選(C) 注：數(shù)列an既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，而是由兩個項數(shù)相等的等差數(shù)列：1，1，1和等比數(shù)列：的對應(yīng)項的和構(gòu)成的數(shù)列，故其前n項和Sn可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個已知數(shù)列的和，這里，觀察通項結(jié)構(gòu)，利用化歸思想把未知轉(zhuǎn)化為已知。 例14設(shè)數(shù)列a

11、n的前n項和Sn=2an-1(n=1,2,)，數(shù)列bn滿足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,)求數(shù)列 的前n項和。 1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試第一題 解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，所以:數(shù)列an是以a1=1為首項，以q=2為公比的等比數(shù)列，故an=2n-1(4) 以上諸式相加，得因為表中均為正數(shù)，故q0，從而，因此，對于任意1kn，有評注：本題中求和實為等差數(shù)列an=n與等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積構(gòu)成的新數(shù)列的前n項的和，將(5)式兩邊同乘以公比，再錯項相減，化歸為等比數(shù)列求各。這種方法本是求等比數(shù)列前n項和的基本方法，它在解決此類問題中非常有用，應(yīng)予掌

12、握。課本P137復(fù)習(xí)參考題三B組題第6題為：求和：S=1+2x+3x2+nxn-1；2003年北京高考理工類第(16)題：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求數(shù)列an的通項公式；(II)令bn=an·xn，求數(shù)列bn的前n項和公式。都貫穿了“錯項相減”方法的應(yīng)用。 高階等差數(shù)列一、基本知識1.定義：對于一個給定的數(shù)列an，把它的連結(jié)兩項an+1與an的差an+1-an記為bn，得到一個新數(shù)列 bn，把數(shù)列bn你為原數(shù)列an的一階差數(shù)列，如果cn=bn+1-bn，則數(shù)列cn是an的二階差數(shù)列依此類推，可得出數(shù)列an的p階差數(shù)列，其中pÎN2.如

13、果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一非零常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列3.高階等差數(shù)列是二階或二階以上等差數(shù)列的統(tǒng)稱4.高階等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)如果數(shù)列an是p階等差數(shù)列，則它的一階差數(shù)列是p-1階等差數(shù)列(2)數(shù)列an是p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列an的通項是關(guān)于n的p次多項式(3) 如果數(shù)列an是p階等差數(shù)列，則其前n項和Sn是關(guān)于n的p+1次多項式5.高階等差數(shù)列中最重要也最常見的問題是求通項和前n項和，更深層次的問題是差分方程的求解，解決問題的基本方法有：(1)逐差法：其出發(fā)點是(2)待定系數(shù)法：在已知階數(shù)的等差數(shù)列中，其通項an與前n項和Sn是確定次數(shù)的多項式(關(guān)于n的)，先設(shè)出多項式的系

14、數(shù)，再代入已知條件解方程組即得(3)裂項相消法：其出發(fā)點是an能寫成an=f(n+1)-f(n)(4)化歸法：把高階等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為易求的同階等差數(shù)列或低階等差數(shù)列的問題，達到簡化的目的二、例題精講例1.數(shù)列an的二階差數(shù)列的各項均為16，且a63=a89=10，求a51解：法一：顯然an的二階差數(shù)列bn是公差為16的等差數(shù)列，設(shè)其首項為a,則bn=a+(n-1)×16,于是 這是一個關(guān)于n的二次多項式，其中n2的系數(shù)為8，由于a63=a89=10,所以an=8(n-63)(n-89)+10，從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658解：法二：由題意，數(shù)列an是二

15、階等差數(shù)列，故其通項是n的二次多項式，又a63=a89=10，故可設(shè)an=A(n-63)(n-89)+10由于an是二階差數(shù)列的各項均為16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16即a3-2a2+a1=16，所以A(3-63)(3-89)+10-2A(2-63)(2-89)+10+A(1-63)×(1-89)+10=16解得：A=8an=8(n-63)(n-89)+10，從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658例2.一個三階等差數(shù)列an的前4項依次為30,72,140,240，求其通項公式解：由性質(zhì)(2)，an是n的三次多項式，可設(shè)an=An3+Bn2+Cn+D由

16、a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得解得： 所以an=n3+7n2+14n+8例3.已知整數(shù)列an適合條件：(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,(2)2a2=a1+a3-2(3)a5-a4=9,a1=1求數(shù)列an的前n項和Sn解：設(shè)bn=an+1-an,Cn=bn+1-bnCn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1=Cn-1 (n=2,3,4,)所以 Cn是常數(shù)列由條件(2)得C1=2,則an是二階等差數(shù)列因此由條件(

17、3)知b4=9，從而b1=3，于是an=n2例4.求證：二階等差數(shù)列的通項公式為證明：設(shè)an的一階差數(shù)列為bn，二階差數(shù)列為cn，由于an是二階等差數(shù)列，故cn為常數(shù)列又c1=b2-b1=a3-2a2+a1所以例5.求數(shù)列1,3+5+7,9+11+13+15+17,的通項解：問題等價于：將正奇數(shù)1,3,5,按照“第n個組含有2n-1個數(shù)”的規(guī)則分組： (1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17), 然后求第n組中各數(shù)之和an依分組規(guī)則，第n組中的數(shù)恰好構(gòu)成以2為公差的項數(shù)為2n-1的等差數(shù)列，因而確定了第n組中正中央這一項，然后乘以(2n-1)即得an將每一組的正中央一項依次寫出得數(shù)

18、列：1,5,13,25,這個數(shù)列恰為一個二階等差數(shù)列，不難求其通項為2n2-2n+1，故第n組正中央的那一項為2n2-2n+1，從而an=(2n-2n+1)(2n-1)例6.數(shù)列an的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求an的通項公式解：易算出an的二階差數(shù)列cn是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列,則cn=2n,an的一階差數(shù)列設(shè)為bn，則b1=1且從而例7.設(shè)有邊長為1米的正方形紙一張，若將這張紙剪成一邊長為別為1厘米、3厘米、(2n-1)厘米的正方形，愉好是n個而不剩余紙，這可能嗎？解：原問題即是是否存在正整數(shù)n，使得12+32+(2n-1)2=1002由于1

19、2+32+(2n-1)2=12+22+(2n)2-22+42+(2n)2=隨著n的增大而增大，當n=19時=9129<10000，當n=20時=10660>10000故不存在例8.對于任一實數(shù)序列A=a1,a2,a3,，定義DA為序列a2-a1,a3-a2,，它的第n項為an+1-an，假設(shè)序列D(DA)的所有項均為1，且a19=a92=0,求a1解：設(shè)序列DA的首項為d,則序列DA為d,d+1,d+2,它的第n項是，因此序列A的第n項 顯然an是關(guān)于n的二次多項式，首項等比數(shù)列為由于a19=a92=0，必有所以a1=819例9:設(shè)a,b是正整數(shù)，是首項是a,公差為b的等差數(shù)列，

20、是首項是b,公比為a的等比數(shù)列,且滿足 （1）求a的值。（2）對于某項存在,使+ 1=,求b的值及m,n的關(guān)系式。（3）在中，對滿足（2）的項，求它的前k項的和分析：（1）由題意=a+(n-1)b = 由, 知a<b<a+b<ab<a+2b 顯然正整數(shù)a1（否則由a+b<ab得1+b<b, 從而1<0，這與1>0矛盾） 所以a2，b3 再由ab<a+2b得， 由于是b3上的增函數(shù)，從而3 所以a<3， 結(jié)合a2得出a=2；（2）對于某項存在,使+ 1=, 即2+(m-1)b+1=b×2n-1 由此得， 因為b3，b與均為整數(shù)

21、， 所以b=3 且=1，即b=3, 。（3）在中，對滿足（2）的項=2+(m-1)3=m-1 有, 這就是說，n=1，2，3，k得滿足（2）的前k項 前k項的和Sk=構(gòu)建新數(shù)列巧解遞推數(shù)列競賽題遞推數(shù)列是國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽命題的“熱點”之一，由于題目靈活多變，答題難度較大。本文利用構(gòu)建新數(shù)列的統(tǒng)一方法解答此類問題，基本思路是根據(jù)題設(shè)提供的信息，構(gòu)建新的數(shù)列，建立新數(shù)列與原數(shù)列對應(yīng)項之間的關(guān)系，然后通過研究新數(shù)列達到問題解決之目的。其中，怎樣構(gòu)造新數(shù)列是答題關(guān)鍵。1 求通項求通項是遞推數(shù)列競賽題的常見題型，這類問題可通過構(gòu)建新數(shù)列進行代換，使遞推關(guān)系式簡化，這樣就把原數(shù)列變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列

22、和線性數(shù)列等容易處理的數(shù)列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。例1、數(shù)列中，。求。（1981年第22屆IMO預(yù)選題）分析 本題的難點是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡變形。解：構(gòu)建新數(shù)列，使則 ， ，即化簡得 ，即 數(shù)列 是以2為首項，為公比的等比數(shù)列。 即 2 證明不等式這類題一般先通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項，然后證明不等式或者對遞推關(guān)系式先進行巧妙變形后再構(gòu)建新數(shù)列，然后根據(jù)已經(jīng)簡化的新數(shù)列滿足的關(guān)系式證明不等式。例2、設(shè)， ，求證：。（1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 利用待證的不等式中含有及遞推關(guān)系式中含有這兩個信息，考慮進行三角

23、代換，構(gòu)建新數(shù)列，使，化簡遞推關(guān)系式。證明：易知，構(gòu)建新數(shù)列，使，則 ，又 ， ，從而 因此，新數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列?？紤]到當時，有 。所以，注：對型如 ，都可采用三角代換。3 證明是整數(shù)這類題把遞推數(shù)列與數(shù)論知識結(jié)合在一起，我們可以根據(jù)題目中的信息，構(gòu)建新數(shù)列，找到新的遞推關(guān)系式直接解決，或者再進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合數(shù)論知識解決。例3、設(shè)數(shù)列滿足， 求證： 。（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2001年第8期第53頁，高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題）分析 直接令，轉(zhuǎn)化為證明 證明：構(gòu)建新數(shù)列，令則 ，代入 整理得從而 于是 由已知，由上式可知，依次類推， ，即。例4、設(shè)r為正整數(shù)，定義數(shù)列如下： ， 求證：。（1

24、992年中國臺北數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 把條件變形為比較與 前的系數(shù)及與 的足碼，考慮到另一項為，等式兩邊同乘以，容易想到構(gòu)新數(shù)列，使。證明：由已知得構(gòu)建新數(shù)列，則，又 | | ，從而 。4 解決整除問題一般通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項，再結(jié)合數(shù)論知識解決，也可用數(shù)學(xué)歸納法直接證明。例5、設(shè)數(shù)列滿足，對一切，有，求所有被11整除的的一切n值。（1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析 變形遞推關(guān)系式為，就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。解：由已知構(gòu)建新數(shù)列 則， 從而，當時，由于被11整除，因而也被11整除。所以，所求n值為，8，及的一切自然數(shù)。5 證明是完全平方數(shù)這類題初看似乎難以入手，但如能通過構(gòu)建

25、新數(shù)列求出通項，問題也就迎刃而解了。例6、設(shè)數(shù)列和滿足，且 求證：是完全平方數(shù)。（2000年全國高中聯(lián)賽加試題）分析 先用代入法消去和，得，如果等式中沒有常數(shù)項6，就可以利用特征根方法求通項，因此可令，易求得。證明：由式得， 代入得化為構(gòu)建新數(shù)列，且，由特征方程 得兩根，所以 當，1時，有解得：則 則因為 為正偶數(shù)，所以，是完全平方數(shù)。從上述各題構(gòu)建新數(shù)列的過程中，可以看出對題設(shè)中遞推式的觀察、分析，并據(jù)其結(jié)構(gòu)特點進行合理變形，是成功構(gòu)建新數(shù)列的關(guān)鍵。構(gòu)建新數(shù)列的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數(shù)學(xué)問題的共性之所在。 數(shù)列能力訓(xùn)練題1：是否存在常數(shù)a,b使得等式1×22+2×32+3×42+n(n+1)2 = 解得： 所以：當a=3,b=11,c=10時，等式對n=1,2,3成立再用數(shù)學(xué)歸納法證明當a=3,b=11,c=10時，原式對任意正整數(shù)成立2：設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0（1） 求出d的范圍 （2） 推出S1，S2，S3，S12中哪個值最大，并說明理由解： （1）解之： 另解 ： 一般地，一個遞減（增）等差數(shù)列，則Sk最大（或最?。?。3：已知非常數(shù)的