彈性力學(xué)空間問題解答

1、空間問題的解答空間問題的解答第八章第八章合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)合肥工業(yè)大學(xué)本科生教學(xué)?彈性力學(xué)彈性力學(xué)?主講老師：袁海平主講老師：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)一、按位移求解空間問題一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布?jí)毫Χ?、半空間體受重力及均布?jí)毫θ肟臻g體在邊界上受法向集中力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應(yīng)力求解空間問題四、按應(yīng)力求解空間問題第八章空間問題的解答第八章空間問題的解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要徐芝綸院士(1911-1999)按位移求解空間問題按位移求解空間問題一一在直角坐標(biāo)系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，求解步驟：在直角坐標(biāo)系中，按位移求解空間問

2、題，與平面問題相似，求解步驟：將應(yīng)力先用應(yīng)變表示應(yīng)用物理方程，再代入幾何方程，得用位移分量將應(yīng)力先用應(yīng)變表示應(yīng)用物理方程，再代入幾何方程，得用位移分量表示應(yīng)力分量的彈性方程：表示應(yīng)力分量的彈性方程：1、取、取u,v,w為根本未知函數(shù)。為根本未知函數(shù)。2、引用幾何方程，將應(yīng)變用位移來表示。、引用幾何方程，將應(yīng)變用位移來表示。(8-1)zwEyvExuEzyx211211211xwzuEzvywEyuxvEzxyzxy121212其中體積應(yīng)變其中體積應(yīng)變zwyvxu3、將式、將式 (8-1)代入平衡微分方程，得在代入平衡微分方程，得在V內(nèi)求解位移的根本方程內(nèi)求解位移的根本方程 按位移求解空間問題按

3、位移求解空間問題一一(8-2)其中拉普拉斯算子其中拉普拉斯算子021112021112021112222zyxfwzEfvyEfuxE位移邊界條件仍為位移邊界條件仍為:按位移求解空間問題按位移求解空間問題一一4、將式、將式(8-1)代入應(yīng)力邊界條件，得用位移表示的應(yīng)力邊界條件：代入應(yīng)力邊界條件，得用位移表示的應(yīng)力邊界條件：(d)2 上的應(yīng)力邊界條件上的應(yīng)力邊界條件(c) ；3 上的位移邊界條件上的位移邊界條件(d) 。這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。 1V內(nèi)的平衡微分方程內(nèi)的平衡微分方程(8-2) ；按位移求解空間問題按位移求解空間問題一一歸結(jié)：

4、歸結(jié)：按位移求解空間問題，位移按位移求解空間問題，位移 必須滿足：必須滿足：在空間問題中，按位移求解方法尤為重要：在空間問題中，按位移求解方法尤為重要： 能適用于各種邊界條件。能適用于各種邊界條件。 未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求解時(shí)，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求解時(shí)，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。在。近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應(yīng)用。近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應(yīng)用。 按位移求解空間軸對(duì)稱問題按位移求解空間軸對(duì)稱問題: : 在柱坐標(biāo)在柱坐標(biāo) 中，可以相似地導(dǎo)出位移中，可以相似地導(dǎo)出位移 應(yīng)滿足：應(yīng)滿足： 1 1V V內(nèi)的平衡微分方程，內(nèi)的平衡微分方程，

5、 按位移求解空間問題按位移求解空間問題一一(8-4)按位移求解空間軸對(duì)稱問題時(shí)的根本微分方程。按位移求解空間軸對(duì)稱問題時(shí)的根本微分方程。021112021112222zzfuzEfuuE 軸對(duì)稱的拉普拉斯算子為軸對(duì)稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變其中體積應(yīng)變 2 2 上的應(yīng)力邊界條件。上的應(yīng)力邊界條件。 3 3 上的位移邊界條件。上的位移邊界條件。 按位移求解空間問題按位移求解空間問題一一一、按位移求解空間問題一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布?jí)毫Χ?、半空間體受重力及均布?jí)毫θ?、半空間體在邊界上受法向集中力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應(yīng)力求解空間問題四、按應(yīng)力求解空間問題第

6、八章空間問題的解答第八章空間問題的解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要徐芝綸院士(1911-1999) 設(shè)有設(shè)有半空間體，受自重體力半空間體，受自重體力 及及邊界的均布?jí)毫吔绲木級(jí)毫。半空間體受重力及均布?jí)毫Π肟臻g體受重力及均布?jí)毫Χ猓喊次灰魄蠼猓航猓喊次灰魄蠼猓何灰莆灰苪,v,w應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條件。件?？紤]對(duì)稱性，此題的任何考慮對(duì)稱性，此題的任何x面和面和y面均為對(duì)面均為對(duì)稱面，可設(shè)稱面，可設(shè))(, 0, 0zwwvu(a)zwzwyvxu22, 0, 0zwzyx體積應(yīng)變體積應(yīng)變1將位移將位移(a)代入平衡微分方程代入平衡微分方程(8-2)，前兩式自然滿足，第

7、三式成為常，前兩式自然滿足，第三式成為常微分方程：微分方程： 半空間體受重力及均布?jí)毫Π肟臻g體受重力及均布?jí)毫Χ?211122222gzwzwEgEzw121122BAzgEwAzgEzw2122111211積分積分其中其中、為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。(b)021112021112021112222zyxfwzEfvyEfuxE半空間體受重力及均布?jí)毫Π肟臻g體受重力及均布?jí)毫Χ?b)代入用位移分量表示的應(yīng)力分量彈性方程，得：代入用位移分量表示的應(yīng)力分量彈性方程，得：01zxyzxyzyxAzgAzg，(c)2邊界條件：在邊界條件：在z=0的負(fù)的負(fù)z面，應(yīng)力邊界條件為面，應(yīng)力邊界條件為qq

8、fffnmlzzzyx001, 0，邊界條件代入邊界條件代入(c)01zxyzxyzyxgzqgzqgqA，(d)設(shè)設(shè)z=h為剛性層，那么由為剛性層，那么由 可以確定可以確定 B 。半空間體受重力及均布?jí)毫Π肟臻g體受重力及均布?jí)毫Χ⑽灰七吔鐥l件代入將位移邊界條件代入(b)212211gqhgEB最大鉛直位移發(fā)生在邊界上最大鉛直位移發(fā)生在邊界上 20max211211ghqhEwwz2221211zhgzhqEw側(cè)壓力系數(shù)：側(cè)壓力系數(shù)：側(cè)面壓力與鉛直壓力之比。由側(cè)面壓力與鉛直壓力之比。由(d)得得 半空間體受重力及均布?jí)毫Π肟臻g體受重力及均布?jí)毫Χ?8-5)1zyzx討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)

9、，時(shí)， ，三向一樣應(yīng)力狀態(tài)，側(cè)向變形最大，三向一樣應(yīng)力狀態(tài)，側(cè)向變形最大，側(cè)向壓力也最大側(cè)向壓力也最大 , 說明物體的剛度極小，接近于流體。說明物體的剛度極小，接近于流體。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形，說明物體的剛度極大，時(shí)，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形，說明物體的剛度極大，接近于剛體。接近于剛體。一、按位移求解空間問題一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布?jí)毫Χ?、半空間體受重力及均布?jí)毫θ肟臻g體在邊界上受法向集中力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應(yīng)力求解空間問題四、按應(yīng)力求解空間問題第八章空間問題的解答第八章空間問題的解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要徐芝綸院士(1911-1999)解：此題

10、為空間軸對(duì)稱問題。解：此題為空間軸對(duì)稱問題。 zu設(shè)有設(shè)有半空間體半空間體, ,在在o點(diǎn)受有法向集中力點(diǎn)受有法向集中力F。半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力三三按柱坐標(biāo)位移求解，不計(jì)體力，按柱坐標(biāo)位移求解，不計(jì)體力，位移位移 而而 和和 應(yīng)滿足應(yīng)滿足:1平衡微分方程平衡微分方程(8-4)其中其中02110211222zuzuu(a)2在在 z=0 的邊界上，除原點(diǎn)的邊界上，除原點(diǎn)o以外的應(yīng)力邊界條件為以外的應(yīng)力邊界條件為 3由于由于 z=0 邊界上邊界上o點(diǎn)有集中力點(diǎn)有集中力F的作用，取出的作用，取出 z=0至至 z=z的平板脫離體，的平板脫離體，應(yīng)用圣維南原理，考慮此脫

11、離體的平衡條件：應(yīng)用圣維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力三三(b)(c) 由于軸對(duì)稱，其余的由于軸對(duì)稱，其余的5個(gè)平衡條件均為自然滿足。個(gè)平衡條件均為自然滿足。布西內(nèi)斯克布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的得出滿足上述全部條件的解答解答為為 半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力三三(8-6)其中 (8-7) 應(yīng)力特征：應(yīng)力特征：3程度截面上的全應(yīng)力，指向F作用點(diǎn)O。 2程度截面上的應(yīng)力 與彈性常 數(shù)無關(guān)。1當(dāng) 當(dāng) 邊界面上任一點(diǎn)的沉陷：沉陷： 半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力三三(8-8)EFuzz

12、201 假設(shè)單位力均勻分布在 的矩形面積上，其沉陷解為： 將F代之為 ，對(duì) 積分，便得到K點(diǎn)在矩形之外的沉陷量。 半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力三三kikiFEa21(8-9)一、按位移求解空間問題一、按位移求解空間問題二、半空間體受重力及均布?jí)毫Χ肟臻g體受重力及均布?jí)毫θ?、半空間體在邊界上受法向集中力三、半空間體在邊界上受法向集中力四、按應(yīng)力求解空間問題四、按應(yīng)力求解空間問題第八章空間問題的解答第八章空間問題的解答內(nèi)容提要內(nèi)容提要徐芝綸院士(1911-1999)1. 按應(yīng)力求解空間問題的思路：按應(yīng)力求解空間問題的思路： 形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示；位移要通過

13、對(duì)幾何方程的積分，才形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示；位移要通過對(duì)幾何方程的積分，才能用形變或應(yīng)力表示，其中會(huì)出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。能用形變或應(yīng)力表示，其中會(huì)出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。 2 其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:1 取取x yz為根本未知函數(shù)。為根本未知函數(shù)。 因此因此 , 位移邊界條件等用應(yīng)力表示時(shí)，既復(fù)雜又難以求解。所以位移邊界條件等用應(yīng)力表示時(shí)，既復(fù)雜又難以求解。所以按應(yīng)力求解按應(yīng)力求解通常只解全部為通常只解全部為 應(yīng)力邊界條件的問題應(yīng)力邊界條件的問題。 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題四四 :2相容方程相容方程6個(gè)個(gè):1平衡微分方程平衡微分方程3個(gè)。個(gè)。3假設(shè)全部為應(yīng)

14、力邊界條件假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件4對(duì)于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。對(duì)于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。其中：其中：(1),(3) 是靜力平衡條件；是靜力平衡條件； (2),(4)是位移連續(xù)條件。是位移連續(xù)條件。 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題四四(8-10)(8-11)2形變滿足相容方程 , 對(duì)應(yīng)的位移存 在且連續(xù)物體保持連續(xù)； 形變不滿足相容方程, 對(duì)應(yīng)的位移 不存在 , 物體不保持連續(xù)。1物體滿足連續(xù)性條件, 導(dǎo)出形變和 位移之間的幾何方程, 導(dǎo)出相容方 程。 對(duì)于相容方程相容方程說明如下： 所以所以相容方程是位移的連續(xù)性條件。相容方程是位移的連續(xù)性條件。 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題四四3用應(yīng)力分量表示相容方程用應(yīng)力分量表示相容方程222222222112111211121yxzxyzyyzzfffxxyzfffyyzxfffzzxy 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題四四222222111111yzyzxzzxyxxyffy zyzffz xzxffx yxy (8-12)不考慮體力時(shí)用應(yīng)力分量表示相容方程222222222