專題五三角恒等變換與解三角形真題訓練

1、專題五三角包等變換與解三角形練真題析考情（境值高考）考什瓜學什叢練真題考什么1. (2018 全國卷H ABC 中，cosC5, BC=1, AC = 5,則 AB=(B. V30D. 2753m BC= 1, AC = 5, 5A. 4啦C. 292C .1.斛析：.cosC = 2 522AB2+AC2BC2 9BC + 9BC BC cos/ BAC :一2AB AC;8s 萬1=2X51 .AB: dBC2+AC22BC AC cosCJ1 + 25-2X 1X5X 5.4也.故選 A.答案：A* 一一 .冗 _ _ 1 一.2. （2016全國卷田）在4 ABC中，B= 7, BC邊

2、上的圖等于馬BC,則cosA=（ 43B.1010C-嚕D.3 .11010解析：解法一：過A作ADLBC,垂足為D,由題意知，AD = BD=；BC,3噂，故選C.2/2乂 3 BCX 3 BC解法二：過A作ADLBC,垂足為D,由題意知.52 5BC，在RtADC 中，AC 二手BC，sm/DAC=E，1 一 一 2AD=BD = 3BC,則 CD=- cos/ DAC=W5,又因為/5則CD = 2BC, AB=WbC, AC = W5BC,在AABC中，由余弦定理的推論可知, 333bad=4,所以 ( .啟 九 .冗cos/ BAC= cos/ DAC +4J= cos/ DAC c

3、os4 sin / DAC si)二醇那¥差一嘿故選c.解法三：過 A作ADLBC,垂點為D,由題意知，AD = BD = 1BC,則CD3LL= 3BC, AB=¥bC, AC = 235BC,而 AB AC = (AD+DB) (AD+DC) = AD2 +AD DC + AD DB + DBD C = 1BC2 2BC2 = 1BC2 ,所以 cos/ BAC = 999一一1-2AB AC 9BC/2J5|AB|AC| 3 BCX 3 BC解法四：過A作ADBC,垂足為D,設BC = 3a（a>0）,結合題意知，AD= BD=a, DC=2a.以D為原點，DC

4、, DA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，則 B(-a,0), C(2a,0), A(0, a),所以 AB = (a, a), AC=(2a,、廠 A 、 一一 AB AC_ 2a2 + a2 a),所以 |AB|=，2a, |AC| = t5a,所以 cos/ BAC = . = f=V2axp5a|AB|AC|70°,故選c.答案：C3. （2018全國卷田）ABC的內角A, B, C的對邊分別為 a + b c r r的面積為4,貝u c=（）a, b, c,AABC冗A.冗C.4解析：根據(jù)余弦定理得a2+b2c2=2abcosC,因為S>a ABC =a2+

5、b2-冗）所以C. 2abcosC 一 1一以 生abc=4,又 SABc=gabsinC,所以 tanC=1,因為 CC(0,Tt .=4.故選c.答案：C4. (2018 全國卷H )已知 sina+ cos0= 1, cosa+ sin 0= 0,貝 sin(a+ ® = 解析： 由 sin a+ cos片 1, cosa+ sin 片0,兩式平方相加，得 2+2sinocos0+ 2cososin 0= 1,1整理得 sin(a+ ®= 2.1答案：25. (2017全國卷I )zABC的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知AABC2的面積為盤.(1)

6、求 sinBsinC;(2)若 6cosBcosC=1, a = 3,求AABC 的周長.解：(1)由題設得:acsinB = Q a 2 即.csinB = & a 士2 3sinA 2 3sinA.、.一 1sinA由正弦je理得 ：sinCsinB=Q .畦2 3sinA2故 sinBsinC="31(2)由題設及(1)得 cosBcosC sinBsinC= 2,1即 cos(B+C)= 2.2萬萬所以B+C = g故A=S33考情展小2018 年2017 年2016 年卷I卷n卷田卷I卷n卷田卷I卷n卷田T6, T17T6, T15T4,T9T17T17T17T17

7、T9,T13T5,T141.高考對此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn).2.若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角包等變換、命題分析 解三角形，難度一般,一般出現(xiàn)在第 49或第1315題位置上.3.若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等.血析典例 破疑難1嬋一冊） 足在律、尋方法考點一三角包等變換及求值【例11A 4A. 10（2018成都第一次診斷性檢測）已知sina= 嚅,cos43+3B- w-C4 3；3C. 10D.3、3 410（2018遼寧五校聯(lián)合體模擬） sin棋3,則 cos+ 2

8、aj=()7A.9D.C. -23解析（1）sina=察，代 Jo,3J021，. . cosa= 10 , sin2a= 2sinocosa=c 10 -. -3 110 3 2X 10 X 10 =5,:COS,2 a+(2)sin 2- a !=3/2cos2a= 1 2sin a= 1 2 X45'114 M 3 1 4V3 36 尸 5X 2 -5*2 = -W-1.5,13, cos£+ a尸3,.故選A. J c cos 3+27ta I C0S2 6+a =7t2coS2 x+a1 二 - 9，故選 D.答案(1)A (2)D規(guī)律方法1 .三角恒等變換的基本思

9、路：找差異，化同角(名)，化簡求值.2 .解決條件求值問題的三個關注點 (1)分析已知角和未知角之間的關系，正確地用已知角來表示未知角.(2)正確地運用有關公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示.求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函 數(shù)值，然后結合角的取值范圍，求出角的大小對點訓練1.右 tan a= 2tan", 5cos a一則一sin a一A. 1B. 2C. 3D. 4解析:ijr 3sin 5+ a 10；sinJo.n 4sin 廣一5 sin 00005+ cos 出口5=jtsin 0COS5二 .冗 tana cos osin

10、5tan+1_5tan52 +1=冗 tan?5-1 2-1=3.答案：C-11一 4.3 一 一冗 冗2 .若 cos(2a ® = 14，sin(a 2® = -, 0< jK 4V a< 2,則 a+ 0 的值 為.一一一， 一 一 11一九一 一解析：因為 cos(2a 9 = 14且4<2a K 所以 sin(2a份= 5143因為sin(a 2份=¥且一4< a- 2 0<,1所以 cos( a- 23 = 7.所以 cos( a十 份cos(2 a 份(a 2 份=cos(2a 3 cos(a 2 份+ sin(2a &

11、#174;sin(a 23 =11x1 5JX4.3_1 4X7+ 14 X 7 2因為六葉P尹，所以a+ B=J, 443答案：? 33 . (2018浙江卷)已知角a的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重 合，它的終邊過點P 5, -5(1)求sin(a+九的值；(2)若角B滿足sin(a+份=系，求cos B的叱.13解：(1)由角a的終邊過點P1 3, -51sina= 4,4 所以 Sin( a+ 九 * 一 Sin a=廣.5.一 343(2)由角a的終邊過點P5，-5/ 8$k一5,-512由 sin( a+ &得 cos(a+ 與 1313cos片 cos(a+ 3

12、cos 什 sin(a+ 3sin a,5616所以cos片一公匚或cos片 公匚.6565考點二正、余弦定理的應用【例2】(2018山西八校第一次聯(lián)考)在ABC中a, b, c分別是內角A,B, C 的對邊，且(a+c)2=b2+3ac.(1)求角B的大?。?2)若 b = 2,且 sinB+sin(C A) = 2sin2A,求 AABC 的面積.解(1)由(a+ c)2=b2+3ac,整理得 a2+c2 b2=ac,由余弦定理得a2 c2b2 _ac_1cosB-2ac 2ac 2,V0<B< 兀,(2)在AABC 中，A+B+C=b 即 B=九一(A+C),故 sinB=

13、sin(A+ C),由 已知 sinB + sin(C A)=2sin2A 可得 sin(A+C) + sin(C A) = 2sin2A,sinAcosC+ cosAsinC+ sinCcosAcosCsinA=4sinAcosA,整理得 cosAsinC = 2sinAcosA,cosA=0 或 sinC = 2sinA.，一_1,冗右 cosA=0,則 A=2,22_J由b=2,可行c=氤=3，此時 ABC的面積S=1bc= 2f. 23若 sinC = 2sinA,由正弦定理可知，c= 2a,代入a2+c2b2 = ac,整理可得3a2 = 4,解得a=23, 3c- U. c 3 &

14、#39;此時 ABC的面積S=%csinB = §g 23綜上所述， ABC的面積為233.規(guī)律方法正、余弦定理的適用條件(1) “已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應采用正弦定理.(2) “已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應采用余弦定 理.注意應用定理要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”對點訓練1. (2018 全國卷 I )在平面四邊形 ABCD 中，/ADC = 90°, A=45°, AB = 2, BD = 5.求 cos/ ADB;(2)若 DC = 2也求 BC.BD AB解：(1)在zABD中，由正弦定理得一

15、D= . /八c&.SinA sin/ADB由題設知，高51 . 2Ag 所以sin/ADB = g.Sin45 sin/ADB5由題設知，/ ADB<90°,所以 cos/ ADB =12231 1 252(2)由題設及(1)知，cos/ BDC = sin/ADB =%.5在 zBCD 中，由余弦定理得 BC2=BD2+DC2 2 BD DC cos/ BDC = 25+82-2X5X2求X 昔=25.所以BC = 5.2. （2018廣州調研）zABC的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且滿足 a = 2, acosB= (2c b)cosA.(1)求

16、角A的大小；(2)求 ABC的周長的最大值.解：(1)解法一：由已知，得 acosB+bcosA=2ccosA. 由正弦定理，得 sinAcosB+sinBcosA= 2sinCcosA, 即 sin(A+ B) = 2sinCcosA.因為 sin(A+B) = sin(無C) = sinC,所以 sinC= 2sinCcosA.1因為 sinCw。，所以 cosA=2.一，一 兀因為0<A<兀，所以A=-.a2 + c2b2 a x=a2ac3解法二：由已知及余弦定理，得b2+c2 a2-b)xb，即 b2 + c2a2= bc,所以cosA=b2 + c2a2 1 =2bc2

17、.一-，一 -開因為o<a<兀，所以A=a. 3(2)解法一：由余弦定理 a2 = b2+c22bccosA,得 bc+ 4=b2+c2,即(b+ c)2=3bc+ 4.因為bc<所以(b+ c)2< 4(b+ c)2+ 4,即b+c< 4(當且僅當b = c=2時等號成立),所以 a+b+c0 6.故 ABC的周長的最大值為6.a b c 口 八 .九解法因為= 曰.a=2 AsinA sinB sinC''3'4 34 .3所以 b=-sinB, c= -sinC.334,3八所以 a+b+c= 2+ & (sinB + sin

18、C) =3B+6.433 IsinB + sin, B1= 2 + 4sin因為0<8<室 所以當B=3M, a+b+c取得最大值6.故 ABC的周長的最大值為6.考點三解三角形與三角函數(shù)的綜合問題例3(2018遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) = cox + V3sin(枳、，、1x)cos(+x)2.(1)求函數(shù)f(x)在0,冗上的單調遞減區(qū)問；(2)在銳角 ABC中，內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知f(A)=1, a = 2, bsinC=asinA,求 ABC 的面積.2 大.1解(1)f(x) = cos x V3sinxcosx 21 + cos2x J3 , o 1=2- 2 sin2x 2 sin4 6 i,一兀_ 兀_兀 一一2kL2&2x-6&2k-2, k"，冗Tt _ _.k" kZ,又 xC 0,函數(shù)f(x)在0,冗上的單調遞減區(qū)間為-10, 31和能，.(2)由知 f(x) = _ singx_6), f(A) sin J2A 6 i 1, .一萬萬2ABe為銳角三角形， 0VA<2, . 6<2A冗 5冗冗口門八九6<6 乃"6=2,即 a=3.又bsinC = asinA,由正弦定理可得 bc= a2=4,1S abc= 2b