第十章曲線積分與曲面積分

1、(-)線面積分的計(jì)算方法1.曲線積分的計(jì)算(I)基本方法:曲線積分初泄積分第一類線積分:設(shè)f(x,y)在曲線弧L上有左義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為X = 0(f),*, gy (要解決I、枳分限.2.彼枳忙n其中卩,0(。在a,0上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且02(/)+ 02工o,貝ij£ y)s=J： 0a)Wa)+Qa)/, s < 0)【例1】求f xeyds,其中L是由X = aC°St(a>0)所表示的曲線上相應(yīng)于 肛y = asint33的一段弧.解 (法一)ds = a2 sin21 a1 cos2 tdt = adt,(法二)容易看出積分弧段關(guān)于y軸對(duì)稱，

2、而被積函數(shù)是關(guān)于變量兀的奇函數(shù)，故£ xe ds = 0【例2 求J(x + y)s，其中L是以O(shè)(0,0),A(l,0),3(0,1)為頂點(diǎn)的三角形(圖10. 1)邊界. 解【例3求>式中厶為圓周x2 + y2 = cixa > 0) 解厶的極坐標(biāo)方程為則 fz J" + y2 ds = J ； a cos 0 <id0 = 2a2【例4】求£ (a2 + y2)ds ,其中 L 是曲線x = a(cost + tsint).解 ds = J(rr cos2 r+t/2r2sin2 tdt = atdt,于是£ (x2 + y2)ds

3、 = £ «2(cosr+ rsinf)2 +(sin t-tcost)2 atdt=a't( + t2)dt = 2/r/(l + 22)第二類線積分:設(shè)P（x,y）,Q（兀y）在有向曲線狐L上有怎義且連續(xù)丄的參數(shù)方程為X =/、，當(dāng)f單調(diào)地a 卩時(shí)，（要解決1、枳分限，2、被積函數(shù),3、弧微 y = 0（"點(diǎn)Mgy）從L的起點(diǎn)A沿厶運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)3,0“（f）在以o及0為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且02（。+ 0"0工0,則£ P(x, y)dx + Q(xy y)dy = J： P©(r),卩© (/) +。

4、卩,肖“【例1】求£ -cix + xdy，其中厶是曲線y = Inx±從點(diǎn)(1,0)到點(diǎn)(e,l)的一段弧.解 由 y = lnx得丄dx = dy,x = ev,故x原式二2W>- + J：e'=(才 + R )丘其中ABC如圖10.2所示B(0,1)C(-l,0)xA(l,0)圖 10.2A§:<解（法一）BC:<x = x1 O.dy = -dx. y = 1 - xx = x,x:0T-l,dy =厶 y = i+xf 心 + dy e dx + dy _ dx + (dx)r-1 dx + dx' |x| + |y|

5、+丄ax + ay _ ax+ ax)“小 “八 _TM+|y| x+(i_x)+J° -x+i+x-解（法二）因?yàn)閨x|+|y| = l,又dx+dy = d（x+y）,故 原式=匕+刃懾：）【例3】 求JX + y2)dx + a2y2)dy,其中c為曲線y = -卩一兒(0 < X < 2)解 當(dāng)0<x<l時(shí)，y = l-(l-x) = x,則y =必；當(dāng) 1 SxS2時(shí)，y = l-(x-l) = 2-x,則心= -dx ;£. (x2 + y2 皿 + (x2 一 y 2)dy = £ 2x2dx + jjx2+(2-x)2-x2

6、+ (2-x)2 dx =扌基本技巧 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算:【例1】求其中厶為圓周x2 + y2 =«2.解由對(duì)稱性得£xyds = O,故£ (x + y)2ds = £ (x2 + 2xy + y2 )ds =星(x2 + y2 )ds + 2玄 xyds=£ crds + 0 = / £ ds = a2 2/ra = In a【例2】求心型.a+$+(寸+1尸皿，其中c ： x2 + /= i 解利用對(duì)稱性I =(x2 + + ) + (尤+= £ (x2 +j- + )/5(x + )')s = 0)X ,x2

7、 + y2 x2 + y2xr A 、：55515=(p ( + )Ms + 2/r = © (+ _)3 + 龍=一兀 + 龍=兀Fc 。84 關(guān) 282424 利用格林公式(注意：添加輔助線的技巧)：【定理10. 1】 格林(Green)公式 設(shè)函數(shù)P(x,y)和0(x,y)在分段光滑的閉曲線厶所用成的閉區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有”（字-=切 Pdx + Qdy其中厶是D的正向邊界.x2 2 2 2【例1】計(jì)算厶+小7山廠心,其中厶是x2 + y2=a2M時(shí)針?lè)较騄L x" + y+ y 計(jì)算對(duì)于坐標(biāo)的曲線積分第二種解法：利用格林公式求解,計(jì)算前必須使用代入技 巧

8、，消去分母，否則工作量太大因?yàn)檑淌欠聪虻?，所以使用格林公式是需要補(bǔ)加一 個(gè)負(fù)號(hào).解將x2 + /= «2代入被積分式中，P = ex x2y,Q = xy2 - sin v2,dx dy根據(jù)格林公式,【例 2】計(jì)算£ ylx2 + ydx+ x+yln(x+W + y* dy, 其中厶是(x I)，+(y-l)2 = 1的上半圓周，順時(shí)針?lè)较?不易直接計(jì)算，應(yīng)該檢驗(yàn) 豐 0 補(bǔ)允 AB: y = l,x 由 2 金 0,ox dy原式=f-然后利用格林公式.J L+AB JAB解設(shè) P = y/x2 + yZ叫+k).計(jì)+命魯靑dx dy 補(bǔ):AB:y = l,x 由 2

9、至 0,A3與厶所圍成的區(qū)域記為D原式- Lb£ln(x +Jx，+1)=4 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件【定理10.3（積分與路徑無(wú)關(guān)的條件）設(shè)函數(shù)P（x,y）和。（兒刃在單連通區(qū)域D內(nèi)具有 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列四個(gè)條件相互等價(jià)，即互為充要條件:（l）f PdxQdy在£內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)：（2）在£）內(nèi)存在一個(gè)函數(shù)u（x,y）,使dit = Pdx + Qdy，其中u(x, y) = J' P(x, y0)dx4-£ g(x, y)dy = J' P(x, y)dx + J Q(xy)cfy（如，兒）為D內(nèi)任一取左的點(diǎn).（3）購(gòu)Pdx +

10、 Qdy = 0,英中厶為D內(nèi)任一分段光滑的閉曲線在D內(nèi)等式H恒成立【例 1 】求 J (2a>t； - y2 cosx)dx + (1 -2y sinx + 3x2y1 )dy，其中厶為 2x = 計(jì)從點(diǎn)0(0,0)到點(diǎn)8(壬,1)的一段弧2解 P(x,y) = 2xy -y2 cosx,Q(x,y) = l-2ysinx + 3x2y2 = ££ = 6xr-2vcosx,a% dy故積分與路徑無(wú)關(guān),選取折線路徑 0(0,0) t C(-,0) t B(-J)2 2原式訂：1 - 2y sin | + 3(彳尸 / 心=J： (1 _ 2y + 手 y2 )dy

11、=手【例2】適當(dāng)選取恥，使L+R + d呼-%+2小+疔嗆是某個(gè)函數(shù)譏)的全(兀+y )微分,并求出u(x. y)®"血 _丿'+ 3& + (2-1)小2_)丿驢 _'+(1-加)心-3，- 麝喬(宀于尸>(x2 + r)2令治眷比較系數(shù)得n_5 (b + 2小 一 F )厶 一 ("+ 2小一才)心* _Jg(x2 + y2)2rl + 2x-x2r>x2+2x-y2x-y=I,盯I e= +CJl (對(duì) + 1)Jl C+ yJjt +)廠【例3】試確定可導(dǎo)函數(shù)f(x),使積分匸/ + /(兀)山一/(勸心與路徑無(wú)關(guān)，且求

12、AB為(0,0), (1.1)時(shí)的積分值此處/(0)=-2解 P = ex + f(x)y, Q = -/(x),絲=-廣(x), = ex + f(x) oxdy令= t，則有 廣(x)+ /(x)=-幾 解一階線性非齊次微分方程得ox dy/十(- + c),代入 /(0)=-得，C = l,即 f(x) = e-x-ex.2 2當(dāng)AB為(0,0),(1,1)時(shí)，積分為【例4】計(jì)算©嗆二凹iL對(duì)+4y，其中厶為任意一條不通過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單光滑正向的封閉曲線.解設(shè)"三QXx2+4y2則糸齊7T不除去原點(diǎn)。）以外一切點(diǎn)上式都成立當(dāng)曲線厶的內(nèi)部不含原點(diǎn)時(shí)當(dāng)曲線厶的內(nèi)部含原點(diǎn)時(shí)，可

13、在厶的內(nèi)部做一個(gè)充分小的橢圓 c:x = 2a cost, y = a sin t,從/ = 0到/ = 2” 利用復(fù)連通域上的格林公式，有xdy-ydxc x2 +4y2r xdy ydx _ / xdy ydx 沆 x2 +4y2 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式【定理10. 21 （兩類曲線積分之間的關(guān)系）£ Pdx + Qdy = (P cos a + Q cos p)ds其中cosa = ,cosZ? = 和0表示曲線的切向量的方向角. dsds2 曲面積分的計(jì)算(1)基本方法:曲面積分轉(zhuǎn)化»二重積分第一類面積分：當(dāng)曲面E由方程z = z(x,y)給出,JJ /(X,

14、” z.)dS = JJ fx, ” z(x, y) Jl + z；(x, y) +小 Zy ,ZD心(Q為為在my面上的投影區(qū)域)'z"要解決1、曲而方程如乙=乙(x, y)及投影區(qū)域入,2、被積函數(shù) fx, y, z(x, y),3、面積微分 Jl + 彳(x, y) + yMMy )注:如果積分曲而工由方程a- = x(y,乙)或y = y(z,x)給出，也可類似地把對(duì)面積的曲而積分 化為相應(yīng)的二重積分.【例1】求jj2 + z2-x2-y2dS，其中工為錐面z = ylx2 + y2介于z = 0及z = l之間的 E部分.解曲而為在xoy坐標(biāo)平面上的投影為D, :

15、£ +)，2 < 1.XyJ = / ° * J = /3 + y 卜 + y故 JJJ2 + Zz=jj j2+(jF + ：/)2 一疋一 b . Jl + (z)+(z、.)Wy=JJ Idxdy = 2 JJ dxdySz=2* 7T =【例2】求川Qz|s, E為曲而 = x2 + y2被平面遠(yuǎn)=1割下的部分r解 設(shè)§表示為在第一卦限內(nèi)部分，則壬JJ 問(wèn)木/S = 4jj xyzdS =4 jj xyx2 + y2 )yj + 4(x2 + y2 )dxdy第一類££|Q+、2 勺x>0.v>0=4匸r2 cossi

16、n 0r Jl +4尸 rdr = 2J)r5 Jl+4尸 dr =_-面積分:JJ Pg ” Zdydz = ±JJ Px(y, z), zdydz. ZIf（其中£由方程X = X（y>Z）給出前側(cè)取正，后側(cè)取負(fù)）JJ Q(x. y, z)clz.dx = 土jj Qx. y(x. z), zdzdx, ZDn（其中Z由方程y = y（圮z）給出右側(cè)取正，左側(cè)取負(fù)）U R(X、y, zdxdy = ±JJ Rx. ” z(x, yWxdy,ZD* （其中E由方程z = z（x, y）給出上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)）【例1求jj4=，工為錐而Z = jF+y2及平

17、面z =和乙=2所圍成的立體表面的 £少+ r外側(cè)解設(shè)工=工+工2 + 工3,其中 5：!: Z = 2,X2 + V2 < 4 , S2: Z = y/x2 + y2,1 < z < 2,工3 ： Z = 1,F + F < 1在而上的投影分別為£>: x2 + y2 < 4, D2:<x2 + y2 <4, D.ix2 + y2 < 1edxdy rr ezdxdyJF + b I, yp2 + y2rr ezdxdy _ rr ezdxdy H + y2 v yjx2 + y2_ rr e2dxdy rp ex&#

18、39;v dxdy rr edxdyMJJ &2 +)F” 后 + 才=e J d&J(:皿 +(-J(erdr) + (-ejj d&J； dr) = 2ttc2【例2】設(shè)工是橢球而4 + + 4 = 1的外側(cè)（。>0上>0«>0）,求 cr Zr l/ =(f£ dydz + hzdx + Ldxdy 城 x yz解 設(shè)工2是乞的上半橢球而的上側(cè)和下半橢球而的下側(cè)，即工2在my而的投影為77則如 1 dxdy =蟲(chóng)| dxdy + 企 1 dxdydxdv 27y=-(arcsin b、f4兀ubc)dx = L0r同理得如+d

19、ydz = 纓=，蟲(chóng)+血x = 罟仝，所以丿=4血尿+右+亠）基本技巧 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算；【例 1 】求曲x'dydz + ydxdz. + dxdy, L 為球面(x一a)2 +(y-b)2 +V(Z-c)2=R2 的外側(cè).解 記 Cl.(x-a)2 +(y-b)2 +(Z-cf < R2 9 利用 Gauss 公式，有 原式二 2JJJ (a- +y + zdxdydz,由重心坐標(biāo)(x. y, z) = (aJc)得8原式二 2(a + h + c)JJJ dxdydz, = - 7r(a + /? + c)R' 利用高斯公式(注意公式使用條件，添加輔助而

20、的技巧)： 【定理105】高斯(Ga u ss)公式設(shè)空間閉區(qū)域G是由分片光滑的閉曲而刀所用成，函數(shù)P(x, z Qx. y, z), R(x, y, z)在Q上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),Rdxdy,則有加磚燈謬 lxdydz.=曲 Pdydz. + Qdzdx + C2LO p ACO R或加知知 ylxdydz. = # (P cos a + Q cos fl + R cos y)dS, n 處dydzz這里E是G的整個(gè)邊界曲而的外側(cè)，cos a, cos 0、cos廠是為在點(diǎn)(x,y,z)處的法向雖:的方 向余弦【例1】求(x2 + y2+z2)dydz，其中為是球而x2y2 + z2=a2內(nèi)側(cè).EGauss公式0Qdxdydz =【例2】求<>zdxdy + ydz.dx + xdydz ,其中£是球而十+ y2 + = a2外側(cè). z解 由已知得p = x,0=”/? = z,則空=型=竺=1dx dy dz由Gaus s公式得原式二 JJJ ( + 退)dxdydz. = 3 jJJ dxdydz = 3 上 ttu5 = 4加、【例 3 】求 JJ IxVdydz, + y