人教版高中數(shù)學《二項式定理》教學設(shè)計(全國一等獎)

1、二項式定理（第1課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：二項式定理的發(fā)現(xiàn)與證明內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學人教A版選修23第一章第3節(jié)的內(nèi)容二項式定理是多項式乘法的特例，是初中所學多項式乘法的延伸，此內(nèi)容安排在組合數(shù)模型之后，隨機變量及其分布之前，既是組合計數(shù)模型的一個應(yīng)用，也是為學習二項分布作準備另外，由于二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，由二項式定理可以導出一些組合數(shù)的恒等式，這對深化組合數(shù)的認識有好處。由于二項式定理的發(fā)現(xiàn)，可以通過從特殊到一般進行歸納概括，在歸納概括過程中還可以用到組合計數(shù)模型，因此，這部分內(nèi)容對于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象與數(shù)學建模素養(yǎng)有著不可忽略的價值教學中應(yīng)當引起充分重視二、學情分析這一堂課

2、是面對高二學生。學生已經(jīng)初步具備了多項式乘法，同類項合并，排列計數(shù)原理，組合數(shù)計數(shù)原理以及歸納推理等知識儲備。能夠在教師的引導下理解并掌握本節(jié)課中的推理演繹過程。但是，學生的自我探究，歸納，分析的能力還有待提高。三、課程學習目標（1）知識目標：使學生掌握二項式定理及推導方法，二項式展開式、通項公式的特點，并能利用二項式定理計算或證明一些簡單問題。（2）能力目標：在學生對二項式定理形成的參與討論過程中，培養(yǎng)學生觀察、猜想、歸納的能力，以及學生的化歸意識及知識遷移能力。（3）情感目標：通過二項式定理的學習，培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的興趣和信心，讓學生感受數(shù)學內(nèi)在的和諧、對稱美及數(shù)學符號應(yīng)用的簡潔美。四

3、、設(shè)計思想：本課采用合作探究、自主學習、合作交流的研究性學習方式，重點放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。目標解析：（1）二項式展開式是依多項式乘法獲得的特殊形式，因此從多項式乘法出發(fā)去發(fā)現(xiàn)二項式定理符合學生的認知規(guī)律但歸納概括的結(jié)論，如果不加以嚴格的證明不符合數(shù)學的基本要求因此，在歸納概括的過程中，用好組合模型不僅可以更自然地得到結(jié)論，還能為證明二項式定理提供方法 （2）由于二項展開式是一個復雜的多項式如果不把其看成一個數(shù)列的和，引進數(shù)列的通項幫助理解與應(yīng)用，學生很難短期內(nèi)對定理有深入

4、的認識因此，通過一些特例，建立二項式展開式與數(shù)列及數(shù)列和的聯(lián)系，是達成教學目標的一個重要途徑（3）數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教學的重要目標，但數(shù)學核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機會去落實在二項式定理的教學中，從特殊的二項式展開式的特征歸納概括一般二項式展開式的規(guī)律是進行數(shù)學抽象教學的很好機會；同時利用組合計數(shù)模型證明二項式定理，以及利用二項式定理這個模型解決問題，也是進行數(shù)學建模教學的好機會基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：發(fā)現(xiàn)并證明二項式定理五、教學重點與難點：重點： (1) 使學生參與并深刻體會二項式定理的形成過程，掌握二項式定理；（2）能正確應(yīng)用二項式定理解決一些簡單的問題。 難點: (1) 二

5、項式系數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系；（2）二項展開式的應(yīng)用及一些易混淆的概念。 六、教學策略分析數(shù)學是一門培養(yǎng)人的思維發(fā)展的重要學科。因此，在教學中讓學生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律是最好的途徑。正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之，深固之?！北竟?jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學原則以啟發(fā)學生主動學習，積極探求為主，創(chuàng)設(shè)一個以學生為主體，師生互動，共同探索的教與學的情境，采用引導發(fā)現(xiàn)法，由學生熟悉的多項式乘法入手，進行分析，又可利用組合的有關(guān)知識加以分析、歸納，通過對二項展開式規(guī)律的探索過程，培養(yǎng)學生由特殊到一般，經(jīng)過觀察分析、猜想、歸納（證明）來解決問題的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)了學生觀察、聯(lián)想、歸納能力。不僅重視知識的結(jié)果，而

6、且注重了知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)和解決的過程，貫徹了新課程標準的教學理念，培育了本節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點”，這對于學生建立完整的認知結(jié)構(gòu)是有積極意義的。 七、教學過程與設(shè)計教學環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖回顧前知引出猜想問題1 今天是星期五,7天后的這一天是星期幾呢？15天后的這一天呢？問題2若今天是星期五,再過8100天后的那一天是星期幾?問題3為了解決問題2，需要用到的展開，你認為這個展開式式會怎樣呢？教師1： 提出問題1學生1：學生思考教師2：提出問題2 學生2：學生思考教師3：寫出并觀察、的展開式，你能得到哪些規(guī)律？學生3：利用多項式乘法得出的展開式教師4：引導學生分析 、 、的展開式特

7、點學生4：探究的展開式。教師5：的展開式是怎樣的？學生5：發(fā)現(xiàn)項數(shù)、項的次數(shù)、項的系數(shù)并猜想：的展開式問題引入提出問題引導學生通過對特殊情形的觀察，歸納猜想一般情形的基本特征教師引導，學生根據(jù)所得具體的展開式，從展開式中的項數(shù)、項的次數(shù)、項的系數(shù)等角度進行歸納，并根據(jù)歸納所得猜想一般的展開式的結(jié)果學生體會由特殊到一般的歸納猜想的過程探尋規(guī)律 獲得結(jié)論問題4 猜想一：中的？教師6：提出問題3學生6：引起思考，并提出想法教師7：提出問題：在中，為什么“，”？學生7：學生根據(jù)所得的計算結(jié)果，觀察得到展開式的項的特點：展開式中的每一項是由每個括號中“取且只取”一個字母相乘得到的展開式中的項是由，后合并

8、同類項得到從三個括號中的一個括號選擇“”剩余兩個括號選擇“”構(gòu)成的，因為從三個括號中的一個括號選擇“”，一旦確定哪個括號選“”，剩余兩個括號選擇也就確定了，因為“”有三種選擇，所以對應(yīng)同類項的個數(shù)就為，即“”的系數(shù)為教師8：能否用計數(shù)模型進行解釋？學生8：“”可以看成是從三個括號中選擇一個括號選“” ，剩余兩個括號選擇“”，完成這件事的所有可能，要做這件是，我們可分成兩步來完成：第一、從三個括號中選擇一個括號選“”，有種選擇；第二、剩余兩個括號選擇“”就種選法，故有種選法，所以，依此可以得到其它系數(shù)的組合數(shù)形式：教師9：根據(jù)所得展開式的規(guī)律，你能否得猜想的展開式中的值？學生9：一般問題回到特殊

9、情形進行研究把問題回到已知的結(jié)構(gòu)進行處理學生通過計算器得到計算結(jié)果教師通過引導學生對展開式各項構(gòu)成的觀察，得到項的構(gòu)成通過特殊與一般的項的關(guān)系對比，得到對系數(shù)意義的理解根據(jù)展開式系數(shù)即同類項的個數(shù)這一結(jié)論，引導同學們通過一般到特殊，用組合計數(shù)模型對各項系數(shù)進行研究得到展開式系數(shù)的猜想證明定理明晰概念問題5 你能證明嗎？問題6 從數(shù)列的角度看二項式展開式，你能獲得什么認識？ 問題7你能根據(jù)的展開式得出的展開式嗎？ 課堂練習1(1)求的展開式；(2)求的展開式課堂練習2 求展開式中的系數(shù)教師10：提出問題3學生10：提出想法教師11：你認為證明問題3，關(guān)鍵是幾步？學生11：（1）項的結(jié)構(gòu)；（2）項

10、的系數(shù)教師12：證明：是個相乘，根據(jù)多項式的乘法，展開式每一項都滿足（）對項（）看成問題：從個括號中選擇個括號選“” ，剩余括號選擇“”，相乘而成可這樣設(shè)計計數(shù)模型，要做這件事，可分成兩步來完成：第一、從個括號中選擇個括號選“”，有種選擇；第二、剩余括號選擇“”就種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理有種選法所以，項的同類項有，故的系數(shù)為（）所以，展開式每一項滿足（）教師13：上述公式叫二項式定理，展開式共有項，其中各項的系數(shù)（）叫做二項式系數(shù)教師14：提出問題4學生14： 二項展開式可以看成是一個數(shù)列的和，數(shù)列的通項公式是，表示數(shù)列第項教師15：二項式展開式的通項是展開式中第項：教師16：引例：今天是星期

11、五，若8 天后的這一天是星期幾呢？解: +c7+c7被7除的余數(shù)是1，因此 天后的這一天是星期六. 教師17：例1:求 (1+2x) 的展開式.求(1-2x) 展開式第三項以及其二項式系數(shù)，求x3項的系數(shù)師生共同完成。教師18：布置課堂練習1、2學生15：完成課堂練習。 由歸納猜想到理論證明引導提煉學生提煉證明要點強調(diào)規(guī)范表達明晰概念學生從數(shù)列的角度獲得對二項式展開式的再認識讓學生體會利用二項式定理模型進行計算，感受數(shù)學模型的在數(shù)學應(yīng)用中的價值課堂練習1 熟悉二項式定理模型課堂練習2讓學生體會用通項公式表示展開式的簡潔性 課堂小結(jié)升華認知問題8你從二項式定理的發(fā)現(xiàn)、證明與應(yīng)用的過程中體會到一些什么？課后練習1寫出的展開式2寫出的展開式的第項 課后思考1的展開式為 2請同學們觀察下表（我國宋朝時期數(shù)學家楊輝所做的一個表），你有什么發(fā)現(xiàn)？教師18：提出問題6學生16：本節(jié)課獲取二項式定理的過程：先由特殊察、的展開式猜想一般的展開式項的結(jié)構(gòu)，再通過對特殊形式展開式項的研究得到的展開式項的規(guī)律，最后進行理論證明；課堂展示了獲取一個一般性結(jié)