附倒立擺簡介與模型

1、倒立擺簡介倒立擺系統(tǒng)是理想的自動控制教學(xué)實驗設(shè)備，使用它能全方位的滿足自動控制教學(xué) 的要求。許多抽象的控制概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)抗干擾能力 等，都可以通過倒立擺直觀的表現(xiàn)出來。倒立擺系統(tǒng)具有模塊性好和品種多樣化的優(yōu)點，其基本模塊既可是一維直線運動平 臺或旋轉(zhuǎn)運動平臺，也可以是兩維運動平臺。通過增加角度傳感器和一節(jié)倒立擺桿，可 構(gòu)成直線單節(jié)倒立擺、旋轉(zhuǎn)單節(jié)倒立擺或兩維單節(jié)倒立擺；通過增加兩節(jié)倒立擺桿和相 應(yīng)的傳感器，則可構(gòu)成兩節(jié)直線倒立擺和兩節(jié)旋轉(zhuǎn)倒立擺。倒立擺的控制技巧和雜技運動員倒立平衡表演技巧有異曲同工之處，極富趣味性， 學(xué)習自動控制課程的學(xué)生通過使用它來驗證所學(xué)的控

2、制理論和算法，加深對所學(xué)課程的 理解。由于倒立擺系統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)簡單、易于設(shè)計和制造，成本廉價，因此在歐美發(fā)達國 家的高等院校，它已成為常見的控制教學(xué)設(shè)備。同時由于倒立擺系統(tǒng)的高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合特性，許多現(xiàn)代 控制理論的研究人員一直將它視為研究對象，并不斷從中發(fā)掘出新的控制理論和控制方 法。因此，倒立擺系統(tǒng)也是進行控制理論研究的理想平臺。直線運動型倒立擺外形美觀、緊湊、可靠性好。除了為每個子系列提供模塊化的實 現(xiàn)方案外，其控制系統(tǒng)的軟件平臺采用開放式結(jié)構(gòu)，使學(xué)生建立不同的模型，驗證不同 的控制算法，供不同層次的學(xué)生進行實驗和研究。由于采用了運動控制器和伺服電機進行實時運動控制，

3、以及齒型帶傳動，固高公司 的倒立擺系統(tǒng)還是一個典型的機電一體化教學(xué)實驗平臺，可以用來進行各種電機拖動、 定位和速度跟蹤控制實驗，讓學(xué)生理解和掌握機電一體化產(chǎn)品的部件特征和系統(tǒng)集成方 法。.系統(tǒng)組成及參數(shù):F(rad)倒立擺系統(tǒng)由水平移動的小車及由其支撐的單節(jié)倒立擺構(gòu)成?？刂戚斎霝轵?qū)動力(N)，是由拖動小車的直流伺服電機提供的；被控制量是擺桿與垂直位置方向夾角和小車的位移x( m)。實際倒立擺系統(tǒng)的模型參數(shù)：M :小車的質(zhì)量，1.096kg ；m :擺桿的質(zhì)量，0.109kg ；b :小車的摩擦系數(shù)，0.1N/(m/sec)；L :擺桿的中心到轉(zhuǎn)軸的長度，0.25m2J :擺桿對重心的轉(zhuǎn)動慣量，

4、0.0034kg m ；T :采樣周期，0.005秒；設(shè)計指標:擺的角度小于0.02 rad，響應(yīng)時間小于1秒倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用牛頓一歐拉法對倒立擺進行數(shù)學(xué)建模。1.小車的運動方程對小車進行受力分析，如圖1所示。圖中P和N分別表示擺桿運動在水平方向和垂直方向上對小車的作用力(N) , fv是小車的摩擦力，等于 bx。根據(jù)牛頓定律，小車水平方向上的力平衡方程為:F bx -P =Md2xd t2(1)2 擺的運動方程擺的運動由水平方向、鉛直方向以及旋轉(zhuǎn)方向的運動構(gòu)成。以小車與擺的節(jié)點為坐 標原點取坐標系，對擺桿進行受力分析，如圖2所示。N圖2擺的受力分析圖擺桿水平方向上的力平衡方程如下P

5、=md2d t2(x Lsin v)COST)二m(x L)cost - L J2 sin v)2 .=mx mL v cost - mL v sin v將式(2)代入式(1)就得到系統(tǒng)的第一個運動方程(M m)x mH cost - F mLv2 si nr - bx擺桿垂直方向上的力平衡方程如下N -mg =m(L cos "=_mL(v2 cos r v sin n)2即 N =mg -mL(r cost r sinv)由定軸轉(zhuǎn)動定律:得擺桿的轉(zhuǎn)矩平衡方程式為NL sin v - PL cost - J v將式(4)代入式，約去P和N ,得到系統(tǒng)的第二個方程：2mLxcosv

6、(mLJ)v - mgLsin r由式(3)與式(6)聯(lián)列得到一級倒立擺動力學(xué)非線性方程組2 mLxcos 日+ (mL +J)=mgLs in(M +m)x +mL0cosB =F +mL02sin 日-bx因 w：5o，故可假設(shè)si n w和cost ",并忽略v屮項，得倒立擺系統(tǒng)線性方程mLx+(mL +J)T=mgL0< (M +m)x + mLT=F -bx對方程(8)進行Laplace變換得到：mL2 J s2v(s) - mgLv(s) = -mLs2X(s)M m s2X (s) b sXs) m L s(s) = F (s)(8)(9)(10)由式(9)可得m

7、L J gX(s)2 J(S)| mL s將式(11)代入式(10)，整理得擺角的傳函為：(11)mLs2丸s)F(s)q4 b mL2 J 3 M m mgL 2 bmgLssssqqq(12)其中 q = M m mL2 J 1-m2L2。將式(12)代入式(11)，得小車位移的傳函為：mL2 J 2 mgLsX(s) qqF(s) 3 b mL2 J 2 M m mgL bmgLs 十ss(13)倒立擺系統(tǒng)設(shè)計與仿真.系統(tǒng)的開環(huán)特性將實際系統(tǒng)參數(shù) M =1.096、m=0.109、b=0.1、L=0.25、J=0.0034 代入式(12)和式(13), 并用u來代表被控對象的輸入力，從而

8、得到倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為Gx(s)=r(s) _-2.3566su(s) _s30.088s2X(s) u(s)0.8832s2 2.3094-32s 0.0883s -27.8285s -2.3094(16)(17)當u(t) r(t)時，對應(yīng)的響應(yīng)曲線如下:可見，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定，故需要進行閉環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計。.系統(tǒng)PID控制器設(shè)計1.對擺桿角度的控制采用如下結(jié)構(gòu)圖:r(t)=Of(t)=FG <s)9(t)考慮到r(t)=0 ,將上面系統(tǒng)框圖變成如下形式:f(t)=FA+K(s)Ge(s)圖中K(s)是控制器傳遞函數(shù)，G0(s)是擺角的傳遞函數(shù)。 將K(s)、G°(s

9、)分別表示如下K(s)=Nk(s)GJs)_Z(s)_(s)(18)式中Nk(s)和Dk(s)分別表示K(s)的分子分母多項式,N*s)和Ds)分別表示 G0s)的分子分母多項式。則擺桿的角度為NJs)6(s)F (s) =DJs)1-K(s)G(s)( 打 Nk(s) Nr(s) Dk(s) D(s)F(s)N 日(s)Dk(s)Dk(s)DHs) -Nk(s)NHs) (s(19)具體設(shè)計時，根據(jù)式(15)可設(shè)Nk(s) Kds2 KpsKi > Dk(s)=s ,Kp、Kj和心分別為比例、積分、微分系數(shù)，其中K i= K p t, Kd =KpTd。由式(16)知N Js) =-2

10、.3566s、D,s)二s3 0.088s2 - 27.8285s - 2.3094。應(yīng)用試湊法仔細 調(diào)節(jié) PID參數(shù)(Kp、Ki和Kd),使f(t)八時的響應(yīng)滿足控制指標要求2.對小車位移的控制采用如下結(jié)構(gòu)圖:Gx(s)考慮到r(t)=0，將上面系統(tǒng)框圖變成如下形式:f(t)=Ju(t)x+K(s)G (s)NxGx(s)Dx(s)X(s)F(s)F (s)1-K(s)(s71 Nk(s)(s)' 'Dk(s) D/s)(20)Nx(s)Dk(s)D 日(s)Dk(s)Ds)Dx(s) -Nk(s)N.(s)Dx(s)(由式(17)知 Nx(s) = 0.8832s2 -2.3094, Dx(s)二 s3 0.088s2 -27.8285s - 2.3094，可見D Js) =Dx(s)，所以式(20)可簡化為具體設(shè)計時，調(diào)節(jié)X(s) =Nx(s)DgDk(s)D,s) -Nk(s)N)s)F(s)(21)PID參數(shù)，使小車的位移穩(wěn)定。PID 參數(shù)的確定