2000概率論考研題解

1、0004年歷年考研題解（概率統(tǒng)計部分）一、隨機事件1.（2000年數(shù)學(xué)一，一（5）設(shè)兩個相互獨立的事件A、B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則= _ _ 提示：2.（2000年數(shù)學(xué)三，二（5）在電爐上安裝了4個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機的。在使用的過程中，只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度，電爐就斷電。以E表示事件“電爐斷電”，設(shè)為4個溫控器顯示的按遞增順序排列的溫度值，則E等于_ _（A） （B） （C） （D）提示：答案：（C）3.（2000年數(shù)學(xué)四，二（4）設(shè)A、B、C三個事件兩兩獨立，則A、B、C相互獨立的充分必要條件是_ _（A）A與BC獨

2、立 （B）AB與AC獨立（C）AB與AC獨立 （C）AB與AC獨立提示：A與BC獨立A、B、C相互獨立。答案：（A）4.（2002年數(shù)學(xué)四，二（4）對于任意事件A、B，與AB=B不等價的是（A） （B） （C） （D）提示：因為，答案：（D）5.（2003年數(shù)學(xué)三，二（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，設(shè)“第一次為正面”，“第二次為正面”，“正、反面各一次”，“正面兩次”，則（A），相互獨立 （B），相互獨立（C），兩兩獨立 （B），兩兩獨立提示：答案：（C）6.（2003年數(shù)學(xué)四，二（5）對于任意事件A、B，（A） ，則A、B一定獨立 （B）若 ，則A、B可能獨立 （C）若，則A、B一定獨立 （D

3、）若，則A、B一定不獨立提示：答案：（B）7.（2002年數(shù)學(xué)四，十一）設(shè)A、B是任意事件，其中A的概率不等于0或1，證明是獨立的充分必要條件。提示：證明： 二、隨機變量1.（2000年數(shù)學(xué)三，一（4）設(shè)隨機變量X的概率密度為若使得，則的取值范圍是_ _提示：因為，所以2.（2002年數(shù)學(xué)一，一（5）設(shè)隨機變量X服從 ，且二次方程無實根的概率為，則_ _提示： 3.（2003年數(shù)學(xué)一，一（5）設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為，則_ _ 1 x+y=1 y=x 提示： 0.5 14.（2002年數(shù)學(xué)一，二（5）設(shè)、是兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為、，分布函數(shù)分別為、，則（

4、A）+必為某一隨機變量的概率密度（B）必為某一隨機變量的概率密度（C）+必為某一隨機變量的分布函數(shù)（D）必為某一隨機變量的分布函數(shù)提示：答案（D），取隨機變量X=且X=，則=5.（2004年數(shù)學(xué)三，二（14）隨機變量X服從N(0,1)，對給定的（），數(shù)滿足，若（A）（B）（C）（D）提示：答案（D） （1-）/26.（2001年數(shù)學(xué)一，十一）設(shè)某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為，且中途下車與否相互獨立。以Y表示在中途下車的人數(shù)，求（1）在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機變量（X，Y）的概率分布提示：（1），（2）（）7.（200

5、1年數(shù)學(xué)三，十二）設(shè)X和Y的聯(lián)合分布是上的均勻分布，求的概率密度提示： x-y=-u y-x=0時 x-y=u時時 (1+u,1) 3 8.（2003年數(shù)學(xué)三，十一）設(shè)隨機變量X的概率密度為，是X的分布函數(shù)，求的分布函數(shù)。提示：時，時；時時9.（2003年數(shù)學(xué)三，十二）設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為，Y的概率密度，求隨機變量U=X+Y的概率密度提示： 10.（2004年數(shù)學(xué)四，三（23）設(shè)隨機變量X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布，在的條件下，隨機變量Y在區(qū)間（0，x）服從均勻分布，求（1）隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度；（2）Y的概率密度；（3）.提示：（1）（2）時，（3） x+y=

6、1 y=x 0.5 1 11.（2002年數(shù)學(xué)三，十二）假設(shè)一設(shè)備開機后無故障工作的時間X服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時間為，設(shè)備定時開機，出現(xiàn)故障時自動關(guān)機，而在無故障的情況下工作便關(guān)機，試求該設(shè)備每次開機無故障工作的時間Y的分布函數(shù)。提示：，時；時時 三、數(shù)字特征1.（2000年數(shù)學(xué)三，一（5）設(shè)隨機變量X在區(qū)間-1，2上服從均勻分布。隨機變量則_ _ 提示：Y-1 0 1P 0 ，2.（2002年數(shù)學(xué)三，一（4）設(shè)隨機變量X、Y的概率分布為 YX-1 0 101 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20則的協(xié)方差與的協(xié)方差_ _ 提示：X0 1P 0.4 0.6Y-1

7、 0 1P0.15 0.5 0.35X20 1P 0.4 0.6Y20 1P 0.5 0.5X2 Y20 1P 0.72 0.28，3.（2002年數(shù)學(xué)三，一（4）設(shè)隨機變量X、Y的概率分布為 YX-1 0 101 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20則的協(xié)方差與的相關(guān)系數(shù)=_ _ 提示：，XY-1 0 1P 0.08 0.72 0.2EXY=0.12=04.（2003年數(shù)學(xué)三，一（5）設(shè)隨機變量X、Y的相關(guān)系數(shù)為0.9，若Z=X-0.4,則Y和Z的相關(guān)系數(shù)為_ _ 提示：0.9，因為Z和X的相關(guān)系數(shù)1，X、Y的相關(guān)系數(shù)為0.9。5.（2003年數(shù)學(xué)四，一（6）設(shè)隨機變量

8、X、Y的相關(guān)系數(shù)為0.5，則_ _提示：因為，6.（2004年數(shù)學(xué)三，一（5）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則_ _提示：7.（2000年數(shù)學(xué)一，二（5）設(shè)二維隨機變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則與不相關(guān)的充分必要條件為_ _（A）（B）（C）（D）提示：（B），不相關(guān)=8.（2001年數(shù)學(xué)三，二（5）將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于 _ （A）-1 （B）0 （C）0.5 （D）1提示：（A），X+Y=n9.（2003年數(shù)學(xué)四，二（6）設(shè)隨機變量X、Y都服從正態(tài)分布，且不相關(guān)，則（A）X與Y一定獨立（B）（X，Y）服從二維正態(tài)分布（

9、C）X與Y未必獨立（D）X+Y服從一維正態(tài)分布提示：（C），獨立一定不相關(guān)，反之不真。10.（2000年數(shù)學(xué)一，十二）某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為（），各產(chǎn)品合格與否相互獨立，當(dāng)出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時即停機檢修，設(shè)開機后第一次停機時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX提示：X服從幾何分布，11.（2000年數(shù)學(xué)三，十二）設(shè)A、B為隨機事件 證明隨機變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A、B相互獨立。提示：設(shè) ，A、B相互獨立X-1 1P1- Y-1 1P1- ，X和Y不相關(guān)綜上所述，A、B相互獨立，X和Y不相關(guān)12.（2000年數(shù)學(xué)四，十一）設(shè)二維隨機變量（X，Y）的密度函數(shù)為

10、其中都是二維正態(tài)密度函數(shù)，且它們對應(yīng)的二維隨機變量的相關(guān)系數(shù)分別為和，它們的邊緣密度函數(shù)所對應(yīng)的隨機變量的數(shù)學(xué)期望都是0，方差都是1。（1）求隨機變量X、Y的密度函數(shù)和及X與Y的相關(guān)系數(shù)（可直接用二維正態(tài)密度的性質(zhì)）；（2）問X與Y是否獨立？提示：（1）同理，（2）=+=0（3） =而，所以，X與Y不獨立。13.（2001年數(shù)學(xué)四，十二）設(shè)隨機變量X、Y的聯(lián)合分布是以點（0,1），(1,0)，(1,1)為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機變量U=X+Y的方差。提示： X、Y的聯(lián)合密度為U=X+Y的分布函數(shù)為時，時， 1 (u-1,1) (1,1) x+y=u u-1 1 14.（2002

11、年數(shù)學(xué)一，十一）設(shè)隨機變量X的概率密度為對X獨立地重復(fù)觀察4次。用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。提示： 15.（2002年數(shù)學(xué)三，十一）設(shè)隨機變量U在區(qū)間-2,2上服從均勻分布，隨機變量 試求（1）X、Y的聯(lián)合概率分布；（2）提示： YX-1 1-11 0.25 0 0.5 0.25 X +Y-2 0 2P0.25 0.5 0.25=216.（2003年數(shù)學(xué)一，十一）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中裝僅有3件合格品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件是次品的概率。提示：（1）X的分布律為，X

12、0 1 2 3P 設(shè)A表示“從乙箱中任取一件是次品”，全概率公式知，P(A)=0.2517.（2003年數(shù)學(xué)四，十二）對于任意二事件A和B,稱為事件A和B的相關(guān)系數(shù)。（1）證明事件A和B獨立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)為零；（2）利用隨機變量的相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明。提示：（1）A和B獨立，即（2） ，；，即18.（2004年數(shù)學(xué)一，三（22）設(shè)A、B為隨機事件，且，令 ，求（1）二維隨機變量（X，Y）的概率分布；（2）X與Y的相關(guān)系數(shù)。提示： YX0 101 2/3 1/12 1/6 1/12X0 1P3/4 1/4Y0 1P5/6 1/6XY0 1P11/12 1/12，（也可用兩點分布性

13、質(zhì)）19.（2004年數(shù)學(xué)三，三（22），數(shù)學(xué)四，三（22）設(shè)A、B為隨機事件，且，令 ，求（1）二維隨機變量（X，Y）的概率分布；（2）X與Y的相關(guān)系數(shù)；（3）的概率分布。提示：（1）、（2）同18題。（3）， 的概率分布為0 1 2P2/3 1/4 1/12四、極限定理1.（2001年數(shù)學(xué)一，一（5）設(shè)隨機變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計_ _提示：，有 2.（2001年數(shù)學(xué)三，一（4）設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2，方差分別為1和4。而相關(guān)系數(shù)為0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計 _ 提示： 3.（2001年數(shù)學(xué)四，一（5）設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為

14、1和4。而相關(guān)系數(shù)為0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計 _ 提示： 4.（2003年數(shù)學(xué)三，一（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為其樣本，則當(dāng)時，依概率收斂于_提示：0.5，因為5.（2002年數(shù)學(xué)四，二（5）設(shè)隨機變量相互獨立，則根據(jù)萊維林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時，近似服從正態(tài)分布，只要（A）有相同的數(shù)學(xué)期望（B）有相同的方差（C）服從同一指數(shù)分布（D）服從同一離散型分布提示：（C）。萊維林德伯格中心極限定理的條件：相互獨立，同分布，且6.（2001年數(shù)學(xué)三，十一；數(shù)學(xué)四，十一）一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量

15、為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977 (,是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù))提示：設(shè)最多可以裝n箱，表示各箱的重量，則，即，得，因而每輛車最多可以裝98箱。五、樣本和統(tǒng)計量1.（2001年數(shù)學(xué)三，一（5）設(shè)總體X，是來自總體X的簡單隨機樣本，則服從_ ，參數(shù)為 _ 提示：，2.（2004年數(shù)學(xué)三，一（6）設(shè)總體X，總體Y ，和分別來自總體X和Y的簡單隨機樣本，則_提示：。，3.（2002年數(shù)學(xué)三，二（5）設(shè)隨機變量X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則（A）X+Y服從正態(tài)分布（B）+服從分布（C）和都服從分布（D）服從F分布提示：（C）。因為其它選項缺乏獨

16、立性。4.（2003年數(shù)學(xué)一，二（6）設(shè)隨機變量X（），則（A）Y服從（B）Y服從（C）Y服從（D）Y服從F(1,n)提示：（C）。因為X，5.（2004年數(shù)學(xué)一、四，二（14）設(shè)隨機變量（）獨立同分布，且其方差為，令Y=，則（A）（B）（C）（D）提示：（A）。設(shè)，則 6.（2001年數(shù)學(xué)一、十二）設(shè)總體X服從正態(tài)分布（），從該總體中抽取簡單隨機樣本（），其樣本均值為，求統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望EY.提示： 是的簡單隨機樣本，則，是的簡單隨機樣本。 樣本均值 樣本方差 ，六、參數(shù)估計1.（2002年數(shù)學(xué)三，一（5）設(shè)總體X的概率密度為，而是來自X的簡單隨機樣本，則未知參數(shù)的矩估計為_提示：，因為，而

17、，所以2.（2003年數(shù)學(xué)一，一（6）已知一批零件的長度（單位cm）服從正態(tài)分布N(,1)，從中隨機抽取16個零件，得到長度的平均值為40cm，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是_()提示：(39.51,40.49).，3.（2000年數(shù)學(xué)一，十三）設(shè)某元件的使用壽命X的概率密度為其中，>0為未知參數(shù)，又設(shè)是總體X的一組樣本觀測值，求參數(shù)的最大似然估計值。提示：時，表明單調(diào)增加，由于，因而，所以取時，最大，的最大似然估計值為4.（2000年數(shù)學(xué)三，十一）設(shè)0.50、1.25、0.80、2.00是來自總體X的簡單隨機樣本值，已知Y=lnX服從N(,1)。（1）求X的數(shù)學(xué)期望EX（記為b）；（

18、2）求的置信度為0.95的置信區(qū)間；（3）利用上述結(jié)果求b的置信度為0.95的置信區(qū)間。提示：Y的密度為（1）（2）的置信度為0.95的置信區(qū)間為由于，的置信度為0.95的置信區(qū)間為此時，即，即為（3）的結(jié)果。5.（2002年數(shù)學(xué)一，十二）設(shè)總體X的概率分布為X0 1 2 3P 其中0<<0.5是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值：3，1，3，0，3，1，2，3求的矩估計值和最大似然估計值。提示：（1），矩估計量滿足，即，的矩估計值（2） =，由于0<<0.5，取，的最大似然估計值6.（2003年數(shù)學(xué)一，十二）設(shè)總體X的概率密度為其中，>0為未知參數(shù)，又設(shè)是總體X的

19、簡單隨機樣本，記()。(1)求總體X的分布函數(shù)(2) 的分布函數(shù)(3)如果用作為的估計量,討論它是否具有無偏性提示： (1)(2) = (3) 所以不是的無偏估計.7.（2004年數(shù)學(xué)一，三(23)）設(shè)總體X的分布函數(shù)為，其中未知參數(shù)，是總體X的簡單隨機樣本，求（1）的矩估計量（2）的最大似然估計量提示： （1） X的密度函數(shù)為所以的矩估計量為（2）時，似然函數(shù)為所以的最大似然估計量為8.（2004年數(shù)學(xué)三，三(23)）設(shè)總體X的分布函數(shù)為，其中未知參數(shù)，是總體X的簡單隨機樣本。（1）當(dāng)時，求的矩估計量（2）當(dāng)時，求的最大似然估計量（3）當(dāng)時，求的最大似然估計量提示： （1）和（2）同第7題的

20、解答。（3）的概率密度為時，似然函數(shù)為由于是的單調(diào)增加函數(shù)，又，因而時可使最大。所以的最大似然估計量為0507年歷年考研題解（概率統(tǒng)計部分）2005年數(shù)學(xué)三試題分析、詳解和評注滿分150分，概率統(tǒng)計部分38分，占25%一、隨機變量（2005年數(shù)學(xué)三，一（5）4分）從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X, 再從中任取一個數(shù)，記為Y, 則= 【分析】 本題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式, 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即為完備事件組或樣本空間的劃分.【詳解】 =+ + =【評注】 全概率公式綜合考查了加法公式、乘法公式和條件概率，這類題型一直都是考查的重點.（2005年數(shù)學(xué)三，一（6）

21、4分）設(shè)二維隨機變量(X,Y) 的概率分布為 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知隨機事件與相互獨立，則a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】 首先所有概率求和為1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定a,b的取值.【詳解】 由題設(shè)，知 a+b=0.5又事件與相互獨立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1【評注】 本題考查二維隨機變量分布律的性質(zhì)和獨立隨機事件的概念，均為大綱要求的基本內(nèi)容.（2005年數(shù)學(xué)三，三（22）13分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II） 的概率密

22、度 ( III ) 【分析】 求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度; 直接用條件概率公式計算即可.【詳解】 （I） 關(guān)于X的邊緣概率密度= =關(guān)于Y的邊緣概率密度= = （II） 令，1） 當(dāng)時，；2） 當(dāng)時， =; 3) 當(dāng)時，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：（III） 【評注】 本題屬基本題型，只需注意計算的準(zhǔn)確性，應(yīng)該可以順利求解.第二步求隨機變量函數(shù)分布，一般都是通過定義用分布函數(shù)法討論.二、參數(shù)估計（2005年數(shù)學(xué)三，二（14）4分）設(shè)一批零件的長度服從正態(tài)分布，其中均未知. 現(xiàn)從中隨機抽

23、取16個零件，測得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則的置信度為0.90的置信區(qū)間是(A) (B) (C)(D) C 【分析】 總體方差未知，求期望的區(qū)間估計，用統(tǒng)計量：【詳解】 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知， 故的置信度為0.90的置信區(qū)間是，即故應(yīng)選(C).【評注】 正態(tài)總體的三個抽樣分布：、是?？贾R點，應(yīng)當(dāng)牢記.（2005年數(shù)學(xué)三，三（23）13分）設(shè)為來自總體N(0,)的簡單隨機樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差 （III）若是的無偏估計量，求常數(shù)c. 【分析】 先將表示為相互獨立的隨機變量求和，再用方差的性質(zhì)進行計算即可；求與的協(xié)方差，本質(zhì)上還是數(shù)學(xué)期望的計算，同樣應(yīng)注

24、意利用數(shù)學(xué)期望的運算性質(zhì)；估計，利用其數(shù)學(xué)期望等于確定c即可.【詳解】 由題設(shè)，知相互獨立，且，（I） = =（II） = = = = =（III） = =，故 【評注】 通過定義求隨機變量的數(shù)字特征是基本要求，也是到目前為止考查最多的情形，但讀者還應(yīng)注意利用數(shù)字特征的運算性質(zhì)進行分析討論，同樣是求解數(shù)字特征的一個重要途徑.2006年數(shù)學(xué)三試題分析、詳解和評注滿分150分，概率統(tǒng)計部分38分，占25%一、隨機變量（2006年數(shù)學(xué)三，一（5）4分）設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨立性及分布計算.【詳解】 由題設(shè)知，具有相同的概率密度.則.【評注】 本題屬幾何

25、概型，也可如下計算，如下圖：則.（2006年數(shù)學(xué)三，二（14）4分）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D) A 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設(shè)可得，則，即.其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).【評注】 對于服從正態(tài)分布的隨機變量，在考慮它的概率時，一般先將標(biāo)準(zhǔn)化，即.二、數(shù)字特征（2006年數(shù)學(xué)三，一（6）4分）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡單隨機樣本，其樣本方差為，則 【分析】利用樣本方差的性質(zhì)即可. 【詳解】因為 ， 所以 ，又因是的無偏估計量，所以 . 【評注】本題利用了樣本方差是總體

26、的方差的無偏估計量，最好能熟記樣本均值和方差的性質(zhì)和運算.（2006年數(shù)學(xué)三，三（22）13分）設(shè)隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數(shù).()求的概率密度；() ；().【分析】 求一維隨機變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計算.【詳解】 （I） 設(shè)的分布函數(shù)為，即，則1) 當(dāng)時，；2) 當(dāng)時， .3) 當(dāng)時，.4) 當(dāng)，.所以.（II） ，而 ， ，所以 .() .【評注】 本題屬基本題型，只需注意計算的準(zhǔn)確性，應(yīng)該可以順利求解.第一步求隨機變量函數(shù)分布，一般都是通過定義用分布函數(shù)法討論.三、參數(shù)估計（2006年數(shù)學(xué)三，三（23）13分）設(shè)總體的概率

27、密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù).（）求的矩估計；（）求的最大似然估計【分析】 利用矩估計法和最大似然估計法計算.【詳解】（）因為，令 ，可得的矩估計為 . （）記似然函數(shù)為，則.兩邊取對數(shù)得，令，解得為的最大似然估計.【評注】 要熟練掌握總體未知參數(shù)點估計的矩估計法，最大似然估計法.2007年數(shù)學(xué)三試題分析、詳解和評注滿分150分，概率統(tǒng)計部分34分，占23%一、隨機變量（2007年數(shù)學(xué)三，一（9）4分） 某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊, 每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<1), 則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為 (A) (B) .

28、(C) (D) 【 】【答案】應(yīng)選 (C) .【詳解】“第4次射擊恰好第2次命中”表示4次射擊中第4次命中目標(biāo), 前3次射擊中有1次命中目標(biāo). 由獨立重復(fù)性知所求概率為：. 故選(C) . （2007年數(shù)學(xué)三，一（10）4分）設(shè)隨機變量(,)服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表示，的概率密度，則在y的條件下，的密度為(A) (B) (C ) . (D) 【 】【答案】應(yīng)選 (A) .【詳解】因(,)服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，故與相互獨立，于是 =. 因此選(A) .【評注】對于二維連續(xù)型隨機變量(,)，有與相互獨立Û f (x, y)=Û=Û=.（2007年數(shù)

29、學(xué)三，二（16）4分） 在區(qū)間(0, 1)中隨機地取兩個數(shù), 則兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為_【答案】應(yīng)填 .【詳解】這是一個幾何概型, 設(shè)x, y為所取的兩個數(shù), 則樣本空間, 記.故 ，其中分別表示A與W 的面積. （2007年數(shù)學(xué)三，三（23）11分） 設(shè)二維隨機變量(X, Y)的概率密度為 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【詳解】(I) .(II) 方法一： 先求Z的分布函數(shù): 當(dāng)z<0時, ;當(dāng)時, ；當(dāng)時, ；當(dāng)時, .故Z+的概率密度=方法二： ，當(dāng)z 0 或z 2時, ;當(dāng)時, ；當(dāng)時, ；故Z+的概率密度二、參數(shù)估計（2007年數(shù)學(xué)三，三（24）11分）設(shè)總體X的概率密度為 其中參數(shù)(0<<1)未知, 是來自總體X的簡單隨機樣本, 是樣本均值(I) 求參數(shù)的矩估計量；(II) 判斷是否為的無偏估計量,并說明理由.【詳解】(I) 令 , 其中 ，解方程得的矩估計量為: =.(II) ,