第二章用拉格朗日方程建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1、第二章 用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§21概述拉格朗日方程一一屬于能量法，推導(dǎo)中使用標(biāo)量，直接對(duì)整個(gè)系統(tǒng)建模特點(diǎn)：列式簡(jiǎn)潔、考慮全面、建模容易、過程規(guī)范適合于線性系統(tǒng)也適合于非線性系統(tǒng)，適合于保守系統(tǒng)，也適合于非保守系統(tǒng)§22拉格朗日方程1.哈密爾頓原理 系統(tǒng)總動(dòng)能L 二TGqq, qn,qi,q2,q3, q”)(2- 1)系統(tǒng)總勢(shì)能U =U (qi, q2, q3, qN, t)(2- 2)非保守力的虛功'Wnc = Q1、qQ2"qQN "；qN(2- 3)哈密爾頓原理的數(shù)學(xué)描述：6 f （T -U ）dt 十 f 6Wncdt = 0

2、（ 2- 4）t1-t12.拉格朗日方程：拉格朗日方程的表達(dá)式： =Qi （i=1,2,3, N）（2- 5）dt :qi:qi :q（推導(dǎo)：）將系統(tǒng)總動(dòng)能、總勢(shì)能和非保守力的虛功的表達(dá)式代入哈密爾頓原理式中（變分駐值原理），有r（紅阿+旦和2+旦際 tiqBn汀q2qPn-:Uqi2L-Pn9nQi、q QzqQN、qN)dt=0(2- 6)i#利用分步積分#(2 7)(2 8)并注意到端點(diǎn)不變分(端點(diǎn)變分為零)Qi (ti) = qi 住)=0t2t1qidtg(2 9)3#9(工)衛(wèi)dt :qi:qi汀-Qi(212)從而有t2 Nd :T:T: Ut C -d(-)丄一出 Q、q)dt

3、=0(210)tl i 4dt : q:q:q由變分學(xué)原理的基本引理：(設(shè)n維向量函數(shù)M(t)，在區(qū)間鮎出內(nèi)處處連續(xù)，在to,tf內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在t0,tf處為零，并對(duì)任意選取的n維向量函數(shù)n (t)，有tf T(t)M(t)dt=0t 0則在整個(gè)區(qū)間t0,tf內(nèi)，有M(t)±0 ) 我們可以得到:(211)#對(duì)非保守系統(tǒng)，阻尼力是一種典型的非保守力，如果采用線性粘性阻尼模型,則阻尼力與廣義速度q成正比，在這種情況下，可引入瑞利耗散(耗能)函數(shù)D，(2 13)D q Cq 2阻尼力產(chǎn)生的廣義非保守力為：#Qi 二:D(2 14)對(duì)于僅受有勢(shì)力和線性阻尼力作用的系統(tǒng)，其拉格朗日方

4、程為:d(汀)_ 汀e = ° dt；:q(2 15)#如果系統(tǒng)上還作用了除有勢(shì)力和阻尼力以外的非保守力，如結(jié)構(gòu)受到的外激勵(lì)力（對(duì)應(yīng)的廣義非保守力可通過非保守力的虛功求得，仍記為 Q ）,則系統(tǒng)的拉格朗日方程為：(2 16)d TT;U；D()Qidt ；qi；-qi：q；q§2.3拉格朗日方程在振動(dòng)系統(tǒng)建模中應(yīng)用在某些結(jié)構(gòu)振動(dòng)冋題中，取分離體、確定各分離體的受力情況，然后利用 牛頓第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，這時(shí)，采用拉格朗 日方程來建立振動(dòng)方程就很方便。1. 集中參數(shù)模型中應(yīng)用【例】質(zhì)量為M的長(zhǎng)直桿上有一個(gè)集中質(zhì)量 m 可在桿上滑動(dòng)。桿繞固定點(diǎn)擺動(dòng)，

5、建立其自由振動(dòng)方程。勢(shì)能U二-Mg丄mgu cost（以0點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)）2動(dòng)能 1（1ML2p21m（u2 u2）2 32選廣義坐標(biāo)為UR，且Qu =0，Q廠°代入拉格朗日方程得到:mu -mu日2 _mgcos0 =01L(ML2 mu2)亠2muu 亠Mgmgusin - 032以上是對(duì)離散系統(tǒng)應(yīng)用拉格朗日方程建立振動(dòng)方程，如果利用拉格朗日方 程建立連續(xù)系統(tǒng)的方程，則它是一種同時(shí)將系統(tǒng)離散化、變量分離并達(dá)到系統(tǒng) 降階的途徑。2. 連續(xù)參數(shù)模型中應(yīng)用一一與假設(shè)模態(tài)法聯(lián)合使用對(duì)一維連續(xù)系統(tǒng)，假設(shè)位移為:(217)則系統(tǒng)具有N個(gè)自由度，N個(gè)廣義坐標(biāo)為qdt)(i =1,2,N)i (x

6、)不一定是系統(tǒng)的真實(shí)模態(tài)，可以是假設(shè)的一種變形模態(tài)。只要' i (x)滿足以下條件:(1)是位移形函數(shù)，反映某種可能的位移形狀(2)構(gòu)成一組線性無關(guān)向量(3)連續(xù)導(dǎo)數(shù)階次滿足勢(shì)能中所要求的階次(4)滿足位移邊界條件(不一定滿足力邊界條件)2.1桿的縱向振動(dòng)軸向位移為u =u(x,t)1 l 2T ° ：?A(u )dx1 l2UEA(u ) dx將 u(x,t)=為!/i(x)qi (t)代得到:Vi'-1 tmqj 匕M q(2 18)kjqqj十心帥(219)5#其中分布軸力p(x, t)在廣義坐標(biāo)上的虛功l= ( p(x,t)§u(x,t)dx =廣義

7、力代入拉格朗日方程得:l° EA i jdx(2 20)l° p(x,t)Ci(x)、q(t)dx = pr qiilPi (t)二 0 p(x,t)- i (x)dx、mj、' kg 二 Pi (i =1, 2, N)jj(2 21)(2 22)(2 23)#1 LT 二一2 0.2 1:A(u) dxmi jijqiqj(2 25)勢(shì)能1L21U El (u )2dx 二kgqj(2 26)2 '02 ijLL0，匕二 0)El'jdx(2 27)分布外力做的功：:W :LL=0 p(x,t)6u(x,t)dx = 0 p(x,t)(送屮 i (

8、x)6qi (t)dx1i(2 28)=工i(0 p(x,t)- i(x)dx)、q(t)八 Qi qi(t)iQiL=0 p(x,t)'- i (x)dx(2 29)代入拉格朗日方程:zmg 、Z 二 Qi(i 7 2, N)(2 30)jjMqKq二P(2008-3-26)2.2梁的橫向振動(dòng)橫向位移函數(shù)u(x,t)二 ' r(x)qj(t)i動(dòng)能(2 24)(2 22)或矩陣方程：Mq Kq二Q(2 31)注意假設(shè)模態(tài)法與有限元素法的區(qū)別：這里的' i (x)是對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)的假 設(shè)模態(tài)(相當(dāng)于整個(gè)結(jié)構(gòu)變形的形函數(shù))，不是單元的位移形函數(shù)，對(duì)復(fù) 雜結(jié)構(gòu)，確定精度(品質(zhì))

9、較高的假設(shè)模態(tài)是比較困難的。3. 粘性阻尼系統(tǒng)中阻尼的處理假設(shè)結(jié)構(gòu)中具有分布粘性阻尼力p(x,t) - -(x)u(x,t)(2-32)廣義力LLQi = 0 p(x,t)=(x)dx =。一(x)j(x)qj(t)- ,x)dxL( 2-33)二-' qj(t) 0 (x)-i(x)- j(x)dx =，Cijqj(t)jjLGj° (xr r jdx(2 -34)代入拉格朗日方程得到Mq Cq Kq二Q(2-35)上式中Q為其他的廣義非保守力§2.4坐標(biāo)約束與拉格朗日乘子通常對(duì)一個(gè)N維結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，采用拉格朗日方程建立振動(dòng)方程時(shí)，廣義 坐標(biāo)qr,q2,qN是線性獨(dú)立

10、的，但是實(shí)際問題中，有時(shí)希望采用一套不是獨(dú) 立的坐標(biāo)來建立方程，可能更加方便 。記系統(tǒng)不獨(dú)立的坐標(biāo)為qi,q2,qM (M N)則被約束坐標(biāo)數(shù)C=M-N(2-36)對(duì)廣義坐標(biāo)，有C個(gè)約束方程：fj©,q2, 7m) =0 (j =1,2/ C)(2-37)如果令每一個(gè)坐標(biāo)qi取變分，貝fj - q1- q2 9m =0(2 - 38):q12m:fj、Jq =0 (j =1,2, C)(2-39)i上式說明這m個(gè)g不獨(dú)立，而是由上述C個(gè)方程聯(lián)系起來。7在哈密爾頓原理式中，將坐標(biāo)數(shù)由 N擴(kuò)展到M，即得到:t2Md:T:T: U弋瓦+Qiqid0(2 40)1i 4dtg:q；q注意，由

11、于此時(shí)的q不獨(dú)立，不能直接由變分學(xué)基本原理，得出方括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)等于零的結(jié)論。對(duì)上面的約束方程引入拉格朗日乘子 (或稱為 拉格朗日乘子函 數(shù))j(t) (j =1,2, C)，得到:CM ：fjMC ；:fj二 “_ qi 八 1 j _ qi = 0(2 41)j =1i 4 Qii=4j=4代入哈密爾頓原理方程式中，t2Md:T:T:uC；:f j瓦-三(學(xué))+二-竺+Q +瓦知柯idt = 0(2 42)t4idt:qi:qi: qij我們可以選擇C個(gè) j，使C個(gè)qi相應(yīng)的方括號(hào)表達(dá)式為零，那么其余N=M-C個(gè)獨(dú)立的qi對(duì)應(yīng)的方括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)必為零。從而得到帶約束的拉格朗日方程(修正的拉格朗日方

12、程)為:d,汀、汀:U J：fj()jQidt :q：q:qij 呂：qfj(q1,q2, qM)=0 (j =1,2, C)(i 72, M)(2 43)聯(lián)立上兩個(gè)方程，就可確定 M+C個(gè)未知數(shù)qj, (i= 1,2, M; j 二 1,2, C)【應(yīng)用實(shí)例】求兩端固疋桿的軸向自由振動(dòng)微分方程。、【解】令，u(x,t) =()qi () q2(2-44)L L 即假設(shè)模態(tài)為i(x) f2(x)吩)2約束邊界條件：2-45)u(x, t)Lxu(O,t) =0u(L,t) =0(2 46)9第一個(gè)條件由形函數(shù)滿足，第二個(gè)條件實(shí)際為:f(qq2)三 u(L,t)q2 =0(2 47)a11a#這

13、就是約束方程。根據(jù)2.3節(jié)的公式（2-20），可以求出軸向振動(dòng)的桿的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為:1 uM = PAl|,4145 一K二EA 1(2 48)a#a#現(xiàn)在用修正的拉格朗日方程來建立方程：本例只有一個(gè)約束方程，故只需一個(gè)拉格朗日乘子，即在拉格朗日方程中引入 （工）和（工）項(xiàng)，且外cq2(2 49) = = 4-:qi代入修正的拉格朗日方程中，并聯(lián)立約束方程得到:_1PAL 31_411q1j1（EA）9衛(wèi)(2 50)q1 q0可由此解出q1, q2, 殳5受約束結(jié)構(gòu)的振動(dòng)此處的約束是指結(jié)構(gòu)的附加慣性約束或附加彈性約束， 即一個(gè)結(jié)構(gòu)由于 添加了質(zhì)量或彈簧而對(duì)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為一種約束，而不是指通常

14、的坐標(biāo)約束。一般說來，給結(jié)構(gòu)添加一個(gè)彈簧，彈簧將對(duì)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為一種彈性 約束而使系統(tǒng)的固有頻率增加，相反，添加一個(gè)質(zhì)量，也表現(xiàn)為對(duì)系統(tǒng)的慣 性約束，但使其固有頻率降低?？匆粋€(gè)例子：對(duì)于一個(gè)未受約束的一維結(jié)構(gòu)，受分布力f（x,t）和分布力矩J（x,t）作用, 現(xiàn)求其強(qiáng)迫振動(dòng)假定其主模態(tài)i(x)、固有頻率.i已知，則其任一點(diǎn)處的撓度可以表示為：y(x,t)八 l(x)qi(t)( 2-51)i代入拉格朗日方程可得到廣義坐標(biāo)滿足的方程：21 LLq'i(tr - i qi(tH 0 f(x,t) l(x)dx。叫x,t) i(x)dx(2 - 52)M i為對(duì)應(yīng)主模態(tài)：i (x)的廣義質(zhì)

15、量。如果在x =a處還作用了集中力F(a,t)和集中力矩(a,t)，則相應(yīng)的廣義力虛功由下式確定：(2-53)、W = F (a,t)、y(a,t) 一 I (a,t)、y (a,t)二 F(a,t)' ，i(a)、qi(t)(a,t)' (a'gt)ii則廣義力為：(2-54)Qi 二 F(a,t) (a) M (a,t) 1(a)所以，運(yùn)動(dòng)方程為：(2 - 55)1qi(t) J qi(t)F(a,t) (a)(a,t)(a)M i方程(2- 53)就是本節(jié)分析受約束結(jié)構(gòu)振動(dòng)的基本方程。當(dāng)結(jié)構(gòu)上x = a處添加一個(gè)剛度系數(shù)為k的彈簧時(shí)F(a,t) ky(a,t) =

16、 -k' (a)qj(t)(2-56)j當(dāng)結(jié)構(gòu)上x = a處添加一個(gè)集中質(zhì)量m0時(shí)F(a,t) - -m°y(a,t) - -m。' (a)qj(t)(2-57)j【注意】在討論受約束結(jié)構(gòu)時(shí)，均假定未受約束結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)是已知的，【例】如圖所示的一個(gè)簡(jiǎn)支梁，受彈簧約束，求其運(yùn)動(dòng)方程 對(duì)線彈簧k，F(xiàn)(a,t)二-ky(a,t) = -lo(a)qj(t)j(2 58)對(duì)扭簧K ,F(a,t) Ky(a,t) K' (a) qj(t)j(2 59)代入上基本方程:2 1qe z市*ycKgjgj(切(2 60)受彈性約束后結(jié)構(gòu)的主振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧的，所以:(2 61

17、)代入上方程得到:1(2 62)Mi(亠 2)*(a)'j jj-Kg 巧朗(i =1,2, N)由上式中N個(gè)qi的系數(shù)行列式為零，就得到受約束結(jié)構(gòu)的頻率方程。m°n【例】如圖所示，在簡(jiǎn)支梁的x = a處添加一個(gè)質(zhì)量m°，求運(yùn)動(dòng)方程。F(a,t) - -m°y(a,t) - -m。' q/ j (a)(2 63)j與上例推導(dǎo)相同，可得到： 1 qi(t)i2qi(t)-m。：i(a)' ：j(a)qj(t)(2 64)Mij從而:a15(2 65)qi=M"，) E(a)'j qj j(a)當(dāng)僅取未受約束簡(jiǎn)支梁的第一階振型時(shí)，上方程簡(jiǎn)化為:Mj 一 2) =2m0 f(a)(2 66)#(2 67)1m0 . 210 i (a)M 1由此式可以看到，如果添加的質(zhì)量放置在該階振型的節(jié)點(diǎn)處，由于! (a) =0,故此時(shí)= !。同樣，如果添加的彈簧放置在該處，同樣不會(huì)對(duì) 固有頻率產(chǎn)生影響。因此，要通過附加質(zhì)量或附件彈簧(剛度)的方式