參數(shù)估計(jì)-山西大同大學(xué)

1、第七章參數(shù)估計(jì)1設(shè)總體X服從區(qū)間1,，上的均勻分布，(XX2,Xn)為其樣本，求總體參數(shù)二2的矩估計(jì)量.解 由總體X服從區(qū)間1,上的均勻分布，可得總體X的數(shù)學(xué)期望2E(X)=2 二4由矩估計(jì)法，令2 - 7144=X解得v -4X -2為參數(shù)v的矩估計(jì)量.2.設(shè)總體X的分布密度為* ,0 . x : 1p(x)二i 0，其它總體X的一組觀測值為0.63 , 0.78 , 0.92 , 0.57 , 0.74 , 0.86 求總體參數(shù)二的矩估計(jì)值.解由X的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，有E(X) =xxdx =xdx 二L0L0日 +1按矩估計(jì)法建立方程解得二的矩估計(jì)為1 -X計(jì)算樣本均值的觀察值，有x h

2、0.63 0.78 0.920.57 0.74 0.86 /6 =0.75所以1-0.753.設(shè)總體X的分布密度為P(X)才日其它求總體參數(shù)v的矩估計(jì)量1解根據(jù)總體X的密度函數(shù)易知，總體 X服從參數(shù)為-的指數(shù)分布，因此有 e按矩估計(jì)法建立方程，即得亦即參數(shù)-的矩估計(jì)量為4.設(shè)總體XU 1Xn)為其樣本，求總體參數(shù)的矩估計(jì)量.B2(Xin yX)2按矩估計(jì)法可建立方程組E(X)D(X)二12B2、二2的矩估計(jì)為5.設(shè)總體 X B ( N , p), (XifA=1=X - $3B2，Xn)為其樣本，求未知參數(shù)N、P的矩估計(jì)量.解令 XXi , B2 ：2(Xi -X)按矩估計(jì)法可建立方程組E(X

3、)二Np=XD(X) = Np(1 p)二 B2解得N、p的矩估計(jì)量N? = X, ?亠皂?X6.設(shè) 總機(jī)在某段時(shí)間內(nèi)接到呼喚的次數(shù)服從泊松分布如下：P().現(xiàn)收集了 42個(gè)數(shù)據(jù)接到呼喚的次數(shù)012345出現(xiàn)的頻數(shù)71012832試求未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量，并根據(jù)數(shù)據(jù)求出的估計(jì)值.解 設(shè)X表示總體，Xi,X2,Xn為來自總體X的樣本，Xi,X2,，Xn為樣本觀測值似然函數(shù)為L(X1 , x2 , xn ； ' ) = P X1 = X, X2 二 x2, , XnXnn=PXi 二 Xii £ni 1.取對數(shù)，得nLn(X, X,nX'； =)、( iX ) I勺i

4、lXiGX ! n !x - ！n)i#由似然方程d ln L(')d 解得'的極大似然估計(jì)值為對應(yīng)極大似然估計(jì)量為代入題中數(shù)值，得-0 7 1 10 2 12 3 8 4 3 5 242那么有x=1.9 =x=i.97.設(shè)X1 , X2，Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，試求未知參數(shù) -的極大似然估計(jì)量，設(shè)總體X的分布密度分別為:(1)p(x其它(2)P(x其中a > 0為常數(shù)； 其它(3)P(x其它解1 設(shè)對應(yīng)的樣本觀察值為x1,x2，, xn，建立似然函數(shù)為1L二 p(N；巧p(XnL) =-；eu對數(shù)似然函數(shù)為1 nIn L二-n In xi日im求導(dǎo)數(shù)得到似然方程沁古

5、=0解方程得故二的極大似然估計(jì)量為(2)建立似然函數(shù)為L(日)=p(Xi；%X p(XnP)=日妝氣捲咲2Xn嚴(yán)ePeg")對數(shù)似然函數(shù)為In L(v) =nlnv nln .二 叫,-1)ln 為：:xn - v x -xn：求導(dǎo)數(shù)得到似然方程d In L(RXi：xj =0XJ解方程得nXi：Xn：故二的極大似然估計(jì)量為(3)建立似然函數(shù)為nX/xn：L(旳-J x"' 2 xn 對數(shù)似然函數(shù)為In L(R 二 nln r - ()1)ln x<: xn求導(dǎo)數(shù)得到似然方程d In Ld，n ln XiXn產(chǎn)0解方程得故二的極大似然估計(jì)量為v - -n/ln

6、 XXn22&設(shè)Xi , X2，Xn是總體XN ( 0 ,二)的一個(gè)樣本，求方差二的極大似然估計(jì).解 設(shè)對應(yīng)的樣本觀測值為 為山2,，人建立似然函數(shù)為L；_二 2 -exp02；- iXi2對數(shù)似然函數(shù)為2In L；J =12；2nXi2i 4-l no22 n2In2 二2求導(dǎo)數(shù)得到似然方程d In L二d；22；4 i4解方程得1 n2 I 一b =-Zn i弓故匚2的極大似然估計(jì)量為2 1 n二丄 Xi2n i呂習(xí)題7.25111設(shè)X1,X2,X3是來自總體X的樣本， 曲X1X2X3 ,1243X1X2X3X118X2X3(1)叫、J2、駡中哪個(gè)是總體均值 丿的無偏估計(jì)量?(2)

7、在所給的總體均值的無偏估計(jì)量中哪個(gè)更有效?解(1)因?yàn)閄1 - +1X5- -.丄4+5- -14x2x339=1 1 . 4 .i =§ .y9399A1EE(6X1D-DX31 - 3+2X1 - 4+XI5- 2色丫+2 +2 丿1214丿3丿丿=0.3472；2=D1Xi674X2X318一9 JIG擊丿飛丿丿2 2a = 0.3765b741 7+ X2 + X3) =( +1896 18A AA故叫與嗎為的無偏估計(jì)量，但不是的無偏估計(jì)量可見DODLJ為更有效2.設(shè)總體XU，二，證明未知參數(shù)的矩估計(jì)量是無偏估計(jì)量.解由題意，EX =三一22" = 2EX -2，故

8、納矩估計(jì)量為八 2X -2因?yàn)閞 2E E 2X -2 =2E X -2 =22 八2所以二為二的無偏估計(jì).3.設(shè)總體X的均值EX =二，方差 二2未知，Xi , X2，Xn為其樣本,證明：2 1 n匚=丄7 Xj2n i d是匚2的無偏估計(jì).證因?yàn)镋 V X 2 " E Xi2-2XF 臚n yn yE Xi2 -2 八 EXi n2 n I' i Ji 4(DXj EXi 2) -) n2 2 n2n i1 2 2 2 2(n； n L ) - n.L - ；n所以估計(jì)量是無偏的。4.及C2 ,設(shè)K及ti2是二的兩個(gè)獨(dú)立的無偏估計(jì)量，且假定 D 比=2Dh2，求常數(shù)C14

9、44使V -C711 Cp2為二的無偏估計(jì)，并使得 DR到達(dá)最小.假設(shè)丁為的無偏估計(jì)，那么要yEG) c2E(二2)二心 c2)v -即要 C1 C2 =1，得到 C| =1因?yàn)?哮及6；是日 的兩個(gè)獨(dú)立的無偏估計(jì)量，且D 閔=2D曲2,那么2222D(q 門 q 二2)D(x) c2 D(2)=2° D(2) c2 Dp2)22八= (2C1C2)D(d2)=2(1_q 行C22d22 八121*當(dāng)c2 時(shí)，Dr最小，此時(shí)&.即當(dāng)c2， C|時(shí)，二為v的無偏估計(jì)3 333且方差最小.習(xí)題7.31通常某個(gè)群體的考試成績均近似地服從正態(tài)分布,現(xiàn)抽樣得到某高校 16名學(xué)生某次英語

10、四級考試成績?nèi)缦?76 ， 69 ， 72 ， 80 ， 71 ， 8875，63，82，91 ，54，77，68，84，95，49，為0.95的置信區(qū)間;(2)假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差未知，該?？荚嚻骄煽兊闹眯哦葹?.95的置信區(qū)間為何?(1)計(jì)算得到x= 74.625，1 16 2“屆£(X-X)= 12.5266由1 -=0.95，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得那么的0.95的置信區(qū)間為丄)=(74.625 -1.965 ,.n.16即為(67.28,81.98)。(2)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，查t分布表可得t (15) =t (15) = 2.1314-/20.025所以J的0.95的置信區(qū)間為s (Xf

11、(15) n，12.5266 = (74.625 -2.13144即為(67.96,81.3)。2某廠生產(chǎn)一批金屬材料，其抗彎強(qiáng)度(單位:料中隨機(jī)抽取11個(gè)試件，測得它們的抗彎強(qiáng)度為：42.5 , 42.7 , 43.0 , 42.3 , 43.4(1) 求平均抗彎強(qiáng)度(2) 求抗彎強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差sX 15)/12.526674.625 2.1314)4kg)服從正態(tài)分布現(xiàn)從這批金屬材44.5 , 44.0 ,43.8 , 44.1 , 43.9 , 43.7二的置信度為0.95的置信區(qū)間；匚的置信度為0.90的置信區(qū)間.11/Xi-x10 id2:0.7216解(1)計(jì)算樣本均值與樣本均方差，得

12、x : 43.4455, s =由于總體二未知，由1 - 0.95 ,查t分布表可得t (10) =t (10) = 2.2281 -/ 20.025所以的0.95的置信區(qū)間為ss(X710)n，x "10).n)n yn 4 cn yn ac-(43.4455 -2.2281,43.44552.2281)<11V11即為(42.69,49.3)。222總體未知，s =0.7216 =0.5207,查分布表得0.95 (1° ) = 3.9402：. 10 = 20 10 "8.307,2所以二的0.90置信區(qū)間為(n 一1)s2(n- 1)s2、 2 )

13、2 n "1 2/10 0.5207=(18.30710 0.5207)3.940)即為0.2844,1.3216) o3 設(shè)總體X N (%其中 %為數(shù)，X1,X2，,Xn)為其樣本,試導(dǎo)出未知參數(shù)-2的置信度為解利用總體X的樣本X1,X2 ,Xn,構(gòu)造樞軸量n' (Xi-%)2G亠 -CT由定理知G 2(n).由題意P 1 ：2( n)G：2：2( n) =1-：2尹=1->n工(Xi。)21 ：2(n廠：2、(Xi 一)i 41：2( n)112W 一2i A從而二2的1.置信區(qū)間為n'、(Xi -)2i 4n、Xi -2i丄一2(n)2*4 .設(shè)總體XN

14、叫,4，總體Y，分別獨(dú)立地從這兩個(gè)總體中抽取樣本，樣本容量分別為16和24,樣本均值分別為16.9和15.3.求這兩個(gè)總體均值差叫一 J2 2匚1匚2)，所以m nII X -丫 -(1 -2)U =N(0,1)的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解 當(dāng)二12, J2均為時(shí)，因?yàn)?X - 丫N 叫一t,使得對給定的置信水平1 - ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得U -.，2P_uX-Y W)222r 1二久13=1-：m n1 一2 ： X -Y uPX -Y -u-.22 2二 1 - 22 :m n由此得叫-的置信水平為1 的置信區(qū)間為1二2以一丫二 mn2，X-Y U2-1c2J 2 )m n這里=4

15、盧22 =6為，置信水平1- 0.95二 二=0.05 ,由公式有，-=2的置信水平為1的置信區(qū)間為2、二 2n,X-Y u2 匚2n公式中，m =16, n = 24 , x = 16.9, y =15.3，且查表得- '0.021.96,2那么所求為J1615.3 停鳥；(0.214, 2.986)*5 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號的儀表. 為比擬其無故障運(yùn)行時(shí)間 單位：小時(shí)的長短，檢驗(yàn)部門抽取了甲種儀表 25只，測得其平均無故障運(yùn)行時(shí)間為 x = 2000，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S1 =80 ;抽取了乙種儀表 20只，測得其平均無故障運(yùn)行時(shí)間為y = 1900，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S2 =100 假設(shè)兩種儀

16、表的無故障運(yùn)行時(shí)間均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，求:1兩總體均值之差2的置信度為0.99的置信區(qū)間，假設(shè)兩種儀表的無故障運(yùn)行時(shí)間的方差分別是3844 和 5625 ;2兩總體方差之比的置信度為0.90的置信區(qū)間.解1經(jīng)計(jì)算可得.2 二：38445625x-y =2000-1900 =100, x y20.8569, nxny V 2520由1 - 0.99，得=0.01 .查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得ua U0.005 = 2.572那么由公式知兩總體均值之差J1 2置信區(qū)間為= 100-2.57 20.869, 100 2.57 20.8569即為(46.4,153.6).2由1 - 0.90，得? -0

17、.1.查F分布表得F - 24,19 = F0.05 24,19 = 2.112F24,19 十0.95 24,19 飛05 佝24 五=0.4926那么由公式知兩總體方差之比2二 12二 2的置信度為0.90的置信區(qū)間為2S|SF - m -1, n -1222s，Z 802 12 ,10022.118022100 0.4926丿即為 0.3033,1.2992 .綜合練習(xí)七、填空題1 設(shè)總體X B(4P),X1 , X2，Xn為其樣本，那么未知參數(shù)P的矩估計(jì)量為P =2 設(shè)總體U0,X1 , X2，Xn為其樣本，那么未知參數(shù)二的矩估計(jì)量為r -3 設(shè)總體e 九，X1 , X2，Xn為其樣本

18、觀測值，那么參數(shù)人的極大似然估X有方差 DX =：；2, B2為2階樣本中心矩，那么n -1二2 ) 5.假設(shè)隨機(jī)區(qū)間耳,是未知參數(shù)二的置信度為1 - ：的置信區(qū)間，那么說明對于任意給定的 0(0 votv 1),有 p(曇 v8v 鶴)=(1 - «、選擇題1 設(shè)總體2X 有方差 DX =二,(X1 , X2 ,- , Xn為來自總體X的樣本，令-X)2那么 E( T)=(d) 2(a)二；(b)2 a；nn(c)齊(d)2 設(shè)總體X的期望為E(X , (X1 ,X2)為來自總體的樣本，那么以下統(tǒng)計(jì)量中(d)不是未知參數(shù)I的無偏估計(jì).(a)X1X2(b)X!1 X2 ;4(c)X2

19、(d)X13.設(shè)總體XN",；2其中 J均未知，Xi , X2，Xn為其樣本，那么I的置信度為1 -的置信區(qū)間為(c)(a) sXt a (n)，< n 2 sX + 廠 t a(n)Jn 2/(b)t：.(n T)，nto(nT)； J(c)SX -t± (n - 0n "2Xn-1)Un 3 丿(d)X +n T) n "2"某總體的未知參數(shù)二的置信度為1 :的置信區(qū)間為 ，"2 ，那么(c) (a)譏(ti ,；(b)r落入隨機(jī)區(qū)間k , 1的概率為1 ：；(c)隨機(jī)區(qū)間* , R包含二的概率為(d)對于二、交的任意一組觀

20、測值才期均成立二 襯,-225 .設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N ，二2二,假設(shè)使未知參數(shù)i的置信度為1的置信區(qū)間的長度不超過k，那么樣本容量n應(yīng)不小于(c).c2u(a)| 2；k(b).224 匚 u.；(c)2 2加ua2；(d)三、解答題1.設(shè)XX?,，XJ為來自總體X的樣本，X的密度函數(shù)為(2(八 x),p(x門)二丨0,其它其中二0是未知參數(shù)，求 v的矩估計(jì)量.E(XH 二Xa6p(x;旳dx 二 o x0-x)dx =3按矩估計(jì)法建立方程可解得d的矩估計(jì)量為-3X2 .設(shè)總體X的密度函數(shù)為0 ： x :1p(xj)二i o,其它1 Xi,X2，,Xn為來自總體X的樣本，求總體參數(shù) 二的

21、矩估計(jì)量；2假設(shè)總體X的組觀測值為0.6 , 0.8 , 0.9 , 0.5 , 0.7 , 0.6, 0.8, 0.7求總體參數(shù)71的矩估計(jì)值.解(1)由X的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，有E(X)二Ixxdxdx廿按矩估計(jì)法建立方程解得二的矩估計(jì)為Q =1 -X(2 )計(jì)算樣本均值的觀測值，有x 二 0.6 0.8 0.9 0.5 0.70.6 0.8 0.7 /8 =0.7所以33.設(shè)總體X的分布密度為P(x ；迪 +1)xe其它其中r > 1是未知參數(shù).X1 ,X2，Xn是總體X的樣本，求參數(shù)二的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).解(1) X的數(shù)學(xué)期望為E(X)二1)x"dx亠x=22按矩估計(jì)

22、法建立方程1 E(X尸寸X解得二的矩估計(jì)為1 _ 2X 二 11 -XL(R =(二 1)n(X!X2Xn)二對數(shù)似然函數(shù)為nIn L(旳=nln(二 1) 八 In xii=4求導(dǎo)數(shù)得到似然方程d In L(r)dr解方程得' In xii 4故二的極大似然估計(jì)量為_n' In Xji £和n24設(shè)總體X NC'f2)，總體Y NC,；")，從兩個(gè)總體中分別抽取容量為的兩個(gè)獨(dú)立樣本，其樣本方差分別為s2和口 S,2.(1)證明：對于任意a和b (a 1)，Z二aS2 bS22都是匚2的無偏估計(jì)量;*(2)試確定常數(shù)a和b (a巾=1)，使D(Z)到

23、達(dá)最小.解(1)因S2和S22分別是來自總體X與Y的樣本方差，那么有e(s2) = d(x)"E(S22) =D(Y) L從而對于任意a和b (a b =1)，有E(ZE(aS12 bS22aE(S12) bE(S>2(a b)；2 =：；22 2 2故Z = aS bS>是二 的無偏估計(jì)量.由a b =1得b-a，那么有D(Z)二 D(aS2 bS22)=a2D(S2) (1 a)2D(S22)又因?yàn)?n 1)廠22(n222/2 3 ' (n1 -)?2 5 ' (n2 -)CTCT所以D(nS12 =2(m -1) , D (n2S222(n2-1)

24、acr于是D(Z) uDOSj b2) =a2D(S2) (1a)2D(S22)44a2 二D(n -1)S2 (1 a)2 二 D(n2 -1)S2二 a2 D 2 3 (1-a)2 D 2S2 (口 -1)二(比-1)二2 c42c4二a22(51) (1 - a)22 2仇一1)(厲-1)(n2-1)2 2二4“ 、2 2；4二 a(1a)厲 -1n 2 -14 a2(1-a)2=2；( ) 1n 2 _1解得當(dāng)a二ni " 時(shí),n 1 +n2 -2D(Z)最小，此時(shí)n? 1nin 2-25投資的回收利潤率常用來衡量投資的風(fēng)險(xiǎn).隨機(jī)地調(diào)查 26個(gè)樣本的年回收利潤率(%)，得樣本

25、標(biāo)準(zhǔn)差S=15(%).設(shè)回收利潤率服從正態(tài)分布，求它的均方差的置信度為95%的置信區(qū)間.解 設(shè)二是總體的均方差，由§ 6. 3中結(jié)論知，；的置信度為1 的置信區(qū)間為巴n- 1)了也-1)S_此題中，s=15 , > - 0.05, n =26,查表可得尤0.0252(25) =40.646 , %.975(25) =13.12于是得匚的置信度為95%的置信區(qū)間為(11.76, 20.71)現(xiàn)抽樣得到某高校 16名學(xué)生某6 通常某個(gè)群體的考試成績均近似地服從正態(tài)分布,次英語四級考試成績?nèi)缦?75 , 63 , 82 , 91 , 54 , 77 , 68 , 84 , 95 ,

26、49 , 76 , 69 , 72 , 80 , 71 , 88(1)設(shè)該校英語四級考試成績的標(biāo)準(zhǔn)差c = 15，試求考試平均成績 J的置信度為0.95的置信區(qū)間;(2)假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差未知，該?？荚嚻骄煽僇的置信度為0.95的置信區(qū)間為何?解(1)計(jì)算得到 x=74.625，x =12.5266V15由1 - 0.95，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得Ua = Uo.025 = 1.962那么的0.95的置信區(qū)間為(Xi:工，"2n= (74.625 -1.9615,1674.625 1.9615,16即為(67.28,81.98)。(2)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，查 t分布表可得5(15) MS (15) = 2.1314所以J的0.95的置信區(qū)間為scr，sx.(15)：n)= (74.625 -2.131412.5266474.625 2.131412.52664即為(67.96,81.3).7 設(shè)總體XN(%，二2)(其中為數(shù))，(X1 , X2，Xn)為其樣本,2試導(dǎo)出未知參數(shù)的置信度為1 、=的置