開普勒定律和極坐標(biāo)在天體運動中的應(yīng)用

1、開普勒定律和極坐標(biāo)在天體運動中的應(yīng)用肖雷有關(guān)行星和衛(wèi)星等天體運動的問題是力學(xué)課程中最有趣味的課題之一?？上гS多教科書都把這類問題與牛頓萬有引力定律聯(lián)系起來。在教學(xué)中，為了把軌道概念較早地引入力學(xué)課程之中，通常不得不把問題局限為圓周軌道，這樣往往會使一些學(xué)生誤以為只存在圓形軌道，或者至少以為只有圓形軌道才是重要的。我認(rèn)為把行星和衛(wèi)星的橢圓形軌道運動問題，建立在開普勒三個定律的基礎(chǔ)上，而不是放在牛頓萬有引力定律的基礎(chǔ)上，這樣會更好一些。當(dāng)然，開普勒定律和牛頓萬有引力定律是緊密相關(guān)的。但是我認(rèn)為應(yīng)當(dāng)首先在開普勒定律的引導(dǎo)下討論橢圓運動，這樣不僅思路清晰，而且能使問題簡化；同時應(yīng)用其所對應(yīng)的極坐標(biāo)方程

2、來解決其中的數(shù)學(xué)問題，可以避免冗長而繁瑣的數(shù)學(xué)運算。當(dāng)然，要應(yīng)用開普勒定律解決橢圓軌道問題，我們首先得熟悉其所對應(yīng)的極坐標(biāo)方程的數(shù)學(xué)形式：第一定律： rp， e1(1)1ecos第二定律： r 2dc，(2)dt第三定律： a 3k，(3)T 2其中 e 是離心率， p 是正焦弦， a 是半長軸， T 是橢圓軌道的周期；c 是因各個行星 (衛(wèi)星 )而異的常數(shù)， k 是對每個行星 (衛(wèi)星 )都相同的常數(shù)此外，軌道上任一點的速度表達(dá)式為：v 2k( 21 ) 。（4）ra由于某些有關(guān)橢圓軌道的問題，實際上純粹是幾何問題，顯然可用幾何方法求解。例如：1.已知軌道的某些性質(zhì) (最遠(yuǎn)點，最近點，離心率，

3、周期，半長軸，或者在某特定點的速度 )，求其它性質(zhì)；2.由于速度改變，從一軌道換到另一軌道；3.在行星之間或者在衛(wèi)星之間對軌道作霍曼(hohmann)半橢圓變換；4.同步通訊衛(wèi)星。對于這些問題，如果我們應(yīng)用開普勒定律的極坐標(biāo)表達(dá)的數(shù)學(xué)形式來解就比使用牛頓運動定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式要容易的多。例 1、“下落”的地球假設(shè)地球突然停止其軌道運動。試證明：它下落到太陽所經(jīng)歷的時間為/4 年（設(shè)太陽為質(zhì)點）。這是一個簡單而古老的問題， 為了使用開普勒定律求解， 假定地球并沒有完全“停止”在其軌道上，而是在某點 A 上保留有一非常小的切向速度 (圖 1)那么地球?qū)⑦M(jìn)入圍繞太陽的橢圓軌道，該軌道的最遠(yuǎn)點為A ，最

4、近點為 P，地球在這一新軌道上的運行周期T/ 應(yīng)滿足開普勒第三定律：AT 2a 3(5)T 2a 3式中 a'是新軌道的半長軸 T 和 a 是地球原軌道的周期和半長軸 .因此地球從 A 點運動到 P 點所需時間為：1 T1 Ta 3(6)22a3太陽aP圖 1現(xiàn)在想象地球在A 點的速度越來越小，因此其最近點 P 離太陽越來越近 (圖2)當(dāng)?shù)厍蛟谲壍郎贤耆Ｖ沟臉O限情況下，地球便沿直線落向太陽（即 2a' a）因此有：1 T2T(7)24即：1T2年。24顯然，以上分析過程同樣適用于在環(huán)繞地球的軌道上運動的衛(wèi)星倘若衛(wèi)星在 h 高處 (h r，r 為地球半徑 )停止軌道運動，取地球

5、為質(zhì)點，這種模型顯然是一恰當(dāng)?shù)慕?；不過，這一模型不適用于衛(wèi)星在接近地球的軌道上運動的情況說明：對于這一問題， 如果我們應(yīng)用牛頓運動定律將其轉(zhuǎn)化圓軌道來解決，不僅會使問題變得非常復(fù)雜，而且其數(shù)學(xué)運算還必須利用高等數(shù)學(xué)才能解決。例 2火箭飛離地面的高度設(shè)一枚火箭從地球表面豎直向上發(fā)射，到達(dá)距離地球中心為h 高處 (h r，r 是地球半徑 )試求：火箭能達(dá)到這個高度所經(jīng)過的時間和需要的初速度分析：設(shè)想火箭在地球表面上以偏離豎直線小角度 的方向發(fā)射，因此它應(yīng)進(jìn)入一橢圓軌道，該軌道的最遠(yuǎn)點 A 在距離地球中心為 h 的高處，最近點 P 應(yīng)在地球中心的另一側(cè)，當(dāng)然這一段軌道只是理論上存在的，實際上這枚火

6、箭將落回到地球的表面 (圖 2)火箭在這一軌道上的周期t'可由式（ 3）用半長軸a(1 AP) 表達(dá)：A2t 24 2 a 3(8)kea式中 ke 可由月球繞地軌道的有關(guān)參數(shù)求得現(xiàn)在設(shè)想初速度越來越接近于豎直方向，即a 0 ；地球P則有 ： 2a'=APh圖 2因此： th3（9）2ke因此火箭從地球中心運動到其最高位置所需時間為：1 T1h3（10）222ke因為在理論上取 rh，火箭從地心到地面經(jīng)歷的時間比起火箭飛行的總時間來是非常小的，所以以上結(jié)果也非常近似于地面上發(fā)射火箭的情況為了求出火箭在地面上發(fā)射的初速度v，將 2'= h 代入式 (4)，即得 :v 22

7、ke (1r1 )h（11）例 3軌道貼近地面的衛(wèi)星一衛(wèi)星在恰繞地面的圓形軌道上運動試求：其水平初速度需要多大？此解可由式 (4)直接求得：vke其中r是地球半徑，ke 可由月球的軌道參數(shù)求r出例 4逃逸速度假設(shè)沿著軌道切線速度方向突然給地球以推動力試證明：只要速度增大為地球原速度的（ 1/2 ）1/2倍，地球就會脫離繞太陽的軌道。由式(4)知地球在其圓形軌道上的速度為：ks（12）vr式中 r 是地球軌道的半徑當(dāng)?shù)厍蚴艿酵苿佣M(jìn)入新的橢圓軌道時，其新的速度應(yīng)為：vks( 21 )（13）ra式中 '是這個橢圓軌道的半長軸，設(shè)想這一新橢圓軌道逐漸擴(kuò)展，離太陽越來越遠(yuǎn)，因此在極限情況下有：a' ，則 ：2ksvr由此即得逃逸速度為：v eSC2v。注意：這個方法說明逃逸速度vesc 與方向無關(guān)。應(yīng)用地球軌道參數(shù)算出常數(shù) ks，即可計算出 vesc 的大小。以上分析同樣可用于能使在軌道上的衛(wèi)星或者從地面發(fā)射的衛(wèi)星逃地球所需要的推動速度在這種情況下，逃逸速度的表達(dá)式為：2keveSC.r其實，通過上面列舉的一些問題的分析，我們還不難發(fā)現(xiàn)：相比應(yīng)用牛頓運動定律來解決行星和衛(wèi)星運動問題而言，在選用開