第二章 正投影作圖基礎(chǔ)

1、 2.1 2.1 投影法及其分類投影法及其分類 2.2 2.2 投影體系的建立投影體系的建立 2.4 2.4 直線的投影直線的投影 2.5 2.5 平面的投影平面的投影 2.6 2.6 直線與平面及兩平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置 本章小結(jié)本章小結(jié)結(jié)束放映結(jié)束放映 2.3 2.3 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影 2.7 2.7 換面法換面法 平行投影法平行投影法中心投影法中心投影法2.1 2.1 投影法及其分類投影法及其分類 投影法投影法投射線投射線物體物體投影面投影面投影投影 投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法該面上得到圖形

2、的方法投影法投影法。投射中心投射中心斜投影法斜投影法正投影法正投影法五要素五要素中心投影法中心投影法 投投射中心、物體、投影面三者之間的相射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。對距離對投影的大小有影響。 度量性較差。度量性較差。投影特性投影特性物體位置改物體位置改變，投影大變，投影大小也改變。小也改變。投射線投射線物物 體體投影面投影面投影投影 投射中心投射中心平行投影法平行投影法投影特性投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好。度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。正投影的基本特性正投

3、影的基本特性B A a bdc D E Cp BA e C Dc (d) EeP d c abBA EDCP e a (b)真實(shí)性真實(shí)性積聚性積聚性類似性類似性 影子、投影與視圖影子、投影與視圖 P P P P P P視圖視圖影子影子投影投影 全部陰全部陰影部分影部分輪廓輪廓的影子的影子光源演變光源演變?yōu)檠劬檠劬ν队胺ㄍ队胺ㄖ行耐队胺ㄖ行耐队胺ㄆ叫型队胺ㄆ叫型队胺ㄕ队胺ㄕ队胺ㄐ蓖队胺ㄐ蓖队胺ó嬐敢晥D畫透視圖畫斜軸測圖畫斜軸測圖畫工程圖樣畫工程圖樣及正軸測圖及正軸測圖投影法小結(jié)投影法小結(jié) P Pb A AP P 以反映空間（以反映空間（A、B）點(diǎn)的位置為例點(diǎn)的位置為例B B3 3B B2

4、2B B1 1 一個投影一個投影 面面上的投影不能確上的投影不能確定物體的空間位定物體的空間位置。置。2.2.1. 兩個問題兩個問題a 2.2 2.2 三面投影體系的建立三面投影體系的建立解決辦法？解決辦法？圖示目的：表達(dá)物體的圖示目的：表達(dá)物體的空間位置，空間位置，輪廓形狀輪廓形狀。圖示目標(biāo)：物體表達(dá)要圖示目標(biāo)：物體表達(dá)要唯一、完整，唯一、完整， 清晰易讀。清晰易讀。問題一：用一個投影面上的投影表達(dá)物體結(jié)結(jié)論論問題二：不同形狀的 物體在兩面投影 體系中的投影增加投影增加投影面面哦哦解決辦法？解決辦法？ 兩面投影體系兩面投影體系 誕生誕生VH結(jié)論結(jié)論 兩個投影兩個投影 面面上的投影不能完上的投

5、影不能完整地反映空間物整地反映空間物體的具體形狀。體的具體形狀。采用正投影多面視圖的表達(dá)法。采用正投影多面視圖的表達(dá)法。哇哇再增加投影面再增加投影面 建立建立三面投影體系三面投影體系WVH2.2.2. 三面投影體系的建立三面投影體系的建立三視圖三視圖結(jié)論結(jié)論 三面投影能三面投影能夠完整地反映物夠完整地反映物體的空間位置和體的空間位置和具體形狀。具體形狀。解決辦法？解決辦法？ 2.2.3. 三面投影體系的命名及其規(guī)則三面投影體系的命名及其規(guī)則投影面投影面 正面投影面（正面投影面（V V 面）面） 水平投影面（水平投影面（H H 面）面） 側(cè)面投影面（側(cè)面投影面（W W 面）面） 投影軸投影軸 O

6、XOX軸軸 V V 面與面與H H 面的交線面的交線 OZOZ軸軸 V V 面與面與W W 面的交線面的交線 OYOY軸軸 H H 面與面與W W 面的交線面的交線三個投影面三個投影面互相垂直互相垂直H HW WV VO OX XZ ZY Y命名命名位位 置置關(guān)關(guān)系系向右翻向右翻向下翻向下翻不動不動將三投影面展開將三投影面展開在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi)W WVH HH HW WV VO OX XZ ZY Y旋轉(zhuǎn)規(guī)則旋轉(zhuǎn)規(guī)則XY ZVWHO上上下下左左右右后后上上下下前前后后左左右右前前上上下下左左右右前前后后幾何位置關(guān)幾何位置關(guān)系系不動不動向下翻向下翻向右翻向右翻XYW ZVWHO上上下下左左右

7、右后后上上下下前前后后左左右右前前YHW WH H點(diǎn)（點(diǎn)（A）在投）在投影面上的投影影面上的投影仍舊是一個點(diǎn)仍舊是一個點(diǎn)a a A A2.3 2.3 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影2.3.1 點(diǎn)的投影特性點(diǎn)的投影特性a A A A A任何情況下任何情況下點(diǎn)向投影面點(diǎn)向投影面的投影：的投影：W WH HV VO OX XZ ZY Y空間點(diǎn)空間點(diǎn)A A在三個投影面上在三個投影面上的投影的投影a 點(diǎn)點(diǎn)A A的正面投影的正面投影a點(diǎn)點(diǎn)A A的水平投影的水平投影a 點(diǎn)點(diǎn)A A的側(cè)面投影的側(cè)面投影注意：注意：空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。的投影用小寫字母表示。a aa A A2.

8、3.2 點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影 a X a Xax a Za Z az a Y a Y ay 同一同一個垂個垂直點(diǎn)直點(diǎn) 同一同一個垂個垂直點(diǎn)直點(diǎn) 同一同一個垂個垂直點(diǎn)直點(diǎn) ax ay az X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不動不動投影面展開投影面展開Z ZY YX XY Y O OVxza aa2.3.3 點(diǎn)的三面投影分析點(diǎn)的三面投影分析aay= a az=x =A Aa （A A到到W W面的距離面的距離） a ay= z =A Aa（A A到到H H面的距離面的距離） aax= =y =A Aa （A A到到V V面的距離）面

9、的距離） a az 點(diǎn)與投影面的位置關(guān)系點(diǎn)與投影面的位置關(guān)系yH HaaW Waay a ax=X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZY YX XY Y O OVa 點(diǎn)的空間位置與三面投影間的對應(yīng)關(guān)系點(diǎn)的空間位置與三面投影間的對應(yīng)關(guān)系H HaW WaxV、aH、a寬寬度、度、前后前后（y）方向方向高高度、度、上下上下（z）方向方向長長度、度、左左右右（X）方向方向yW、aH、azV、aW、aX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZY YX XY Y O OVa 三三投影與點(diǎn)在空間位置的對應(yīng)關(guān)系投影與點(diǎn)在空間位置的對應(yīng)關(guān)系

10、H HaW WaxzVaHaxyWayz寬寬度、度、前后前后（y）方向方向高高度、度、上下上下（z）方向方向長長度、度、左左右右（X）方向方向 2.3.4 點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律 a aOX軸軸 a a OZ軸軸 aax= a az 主俯視圖左右方向主俯視圖左右方向長對正長對正 俯左視圖前后方西俯左視圖前后方西寬相等寬相等 主左視圖上下方向主左視圖上下方向高平齊高平齊X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayVxza aayH HaaW Waay Z ZY YX XY Y O Oa aax例：已知點(diǎn)的兩個投影，求第三投影。例：已知點(diǎn)的兩個投影，求第三投影。a aa

11、 axazaz解法一解法一:通過作通過作45線線使使a az=aax解法二解法二:用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量取取a az=aaxa 2.3.5 2.3.5 兩點(diǎn)的相對位置兩點(diǎn)的相對位置 兩點(diǎn)的相對位置指兩兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的點(diǎn)在空間的上下、前后、上下、前后、左右左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。判斷方法：判斷方法： x 坐標(biāo)大的在左坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)之前、點(diǎn)之前、之右、之下。之右、之下。b aa a b bX XY YY YZ ZO O 在圖上直觀判斷在圖上直觀判斷 利用點(diǎn)的坐標(biāo)判斷利用點(diǎn)的坐標(biāo)判斷a a aXZYWYHOb bb

12、 985( ) 空間兩點(diǎn)在某空間兩點(diǎn)在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合為一點(diǎn)重合為一點(diǎn)時，則時，則稱此兩點(diǎn)為稱此兩點(diǎn)為該投影該投影面面的重影點(diǎn)。的重影點(diǎn)。被擋住的投被擋住的投影加影加( )( )A、C為哪個投為哪個投影面的重影點(diǎn)影面的重影點(diǎn)呢？呢？c a cc a a 2.3.6 2.3.6 重影點(diǎn)與可見性重影點(diǎn)與可見性2.3.7 2.3.7 特殊點(diǎn)與一般點(diǎn)特殊點(diǎn)與一般點(diǎn)投影面上的點(diǎn)投影面上的點(diǎn)投影軸線上的點(diǎn)投影軸線上的點(diǎn)特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)一一般般點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)在空間位置點(diǎn)在空間位置 均在投影面內(nèi)均在投影面內(nèi);其三面投影其三面投影: : 三座標(biāo)（三座標(biāo)（X X，Y Y，Z Z）b aa a b bX

13、XY YY YZ ZO O其三面投影與投其三面投影與投影面及投影軸的影面及投影軸的位置關(guān)系位置關(guān)系？ 都不等于零都不等于零2.3.8 2.3.8 點(diǎn)的投影作圖練習(xí)（舉例）點(diǎn)的投影作圖練習(xí)（舉例）1. 根據(jù)給定的條件繪畫點(diǎn)的三面投影根據(jù)給定的條件繪畫點(diǎn)的三面投影2. 根據(jù)點(diǎn)的投影，判斷點(diǎn)的空間位置根據(jù)點(diǎn)的投影，判斷點(diǎn)的空間位置根據(jù)點(diǎn)的兩面投影，求畫點(diǎn)的三面投影。根據(jù)點(diǎn)的兩面投影，求畫點(diǎn)的三面投影。根據(jù)點(diǎn)的綜合條件，求畫點(diǎn)的三面投影。根據(jù)點(diǎn)的綜合條件，求畫點(diǎn)的三面投影。根據(jù)點(diǎn)的三座標(biāo)，求畫點(diǎn)的三面投影。根據(jù)點(diǎn)的三座標(biāo)，求畫點(diǎn)的三面投影。一個點(diǎn)的空間位置判斷。一個點(diǎn)的空間位置判斷。相互點(diǎn)的空間位置判

14、斷。相互點(diǎn)的空間位置判斷。aa a b b b2.3 2.3 直線的投影直線的投影 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的的同名投影同名投影用直線連接，就得到直用直線連接，就得到直線的同名投影。線的同名投影。1) 直線對一個投影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性 B BA A當(dāng)當(dāng)ABP時時 ab=0 B BA A 2.3.1. 直線的投影特性直線的投影特性 P PB BA A積聚性積聚性 P PP Pa（b） a b當(dāng)當(dāng)ABP時時 abAB 當(dāng)當(dāng)ABP時時 ab=AB 收縮性收縮性 真實(shí)性真實(shí)性 ab如果如果MAB； 則則abAB 重屬性重屬性 當(dāng)當(dāng)MAB時時 則則 AM:MB

15、=am:mb 等比性等比性 B BA AP Pabm mM MB BA AP Pabm mM M2) 2) 直線在三面投影體系中的投影特性直線在三面投影體系中的投影特性投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于正平線（平行于面）面）側(cè)平線（平行于側(cè)平線（平行于面）面） 水平線（平行于水平線（平行于 面）面）正垂線（垂直于正垂線（垂直于面）面） 側(cè)垂線（垂直于側(cè)垂線（垂直于面）面） 鉛垂線（垂直于鉛垂線（垂直于面）面）一般一般位置位置直線直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊統(tǒng)稱特殊

16、位置位置直線直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取決于直線與其投影特性取決于直線與 三個投影面間的相對置。三個投影面間的相對置。位置分位置分類類V VH HW WABababa(b)a b a b 投影面垂直線投影面垂直線投影分投影分析析鉛垂線鉛垂線（H，V，W）a（b） 投影規(guī)律投影規(guī)律 ab = 0 反映積聚性反映積聚性 a b =AB 反映真實(shí)性反映真實(shí)性 a b =AB 反映真實(shí)性反映真實(shí)性 線段長度線段長度 度量問題度量問題 線段與投影面的夾角線段與投影面的夾角 a b a b AB= AB與與 H 面的夾角面的夾角V 面的夾角面的夾角W 面的夾角面的夾角= 0 = 0

17、= 90 且且 a b X 且且 a b Y 反映線段實(shí)長，且垂直反映線段實(shí)長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。于相應(yīng)的投影軸。正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 另外兩個投影另外兩個投影， 在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上， 投影有積聚性投影有積聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c e f efe (f )判斷下列直線是什么位置的直線判斷下列直線是什么位置的直線度量問題度量問題: :直觀分析判斷直觀分析判斷baO OY YX XZ ZY YababV VH HW Wab 投影規(guī)律投影規(guī)律 投影面平行線投影面平行線水平線水平線（H，V，W）投影分投影分析析 ab = AB 反映真實(shí)性反映真實(shí)

18、性 且且 ab 分別分別 X Y a b AB 反映收縮性反映收縮性 a b AB 反映收縮性反映收縮性 且且 a b X 且且 a b Y 度度量量問問題題 線段長度線段長度 AB = ab 線段與投影面的夾角線段與投影面的夾角 0 直接判斷直接判斷ab與與X 軸的夾角軸的夾角 ab與與Y 軸的夾角軸的夾角 實(shí)長實(shí)長p pababABPH判斷下列直線是什么位置的直線判斷下列直線是什么位置的直線側(cè)平線側(cè)平線正平正平 線線實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長 b a aba b b aa b ba 投投影影特特性性投影面的平行線在其平行投影面的平行線在其平行的那個投影面上的的那個投影面上的投影反映投影反映實(shí)長，并反

19、映直線與另兩投實(shí)長，并反映直線與另兩投影面傾角的真實(shí)角度。影面傾角的真實(shí)角度。另兩個投影另兩個投影面上的面上的投影平投影平行于相應(yīng)的投行于相應(yīng)的投影軸，其到相影軸，其到相應(yīng)投影軸的距應(yīng)投影軸的距離反映直線與離反映直線與它所平行的投它所平行的投影面之間的距影面之間的距離。離。 一般位置直線一般位置直線Z ZY YaO OX Xb bY Ya b a H HaaAb V VBbW Wa b 投影分投影分析析 投影規(guī)律投影規(guī)律 ab AB 反映收縮性反映收縮性 且且 ab 分別分別 X Y a b AB 反映收縮性反映收縮性 a b AB 反映收縮性反映收縮性 且且 a b 分別分別 Z Y 且且

20、a b 分別分別 X Z 度度量量問問題題 線段長度線段長度 AB = ? 不反映不反映 線段與投影面的夾角線段與投影面的夾角 = ? 不反映不反映H HV V一般位置直線投影特性：一般位置直線投影特性： 三個投影都傾斜于投影軸，即都三個投影都傾斜于投影軸，即都不反映空間線段的實(shí)長，也不反映空間不反映空間線段的實(shí)長，也不反映空間線段與三個投影面的夾角。線段與三個投影面的夾角。怎么辦怎么辦 b1b1=|B Bz z =BbBb1 1=bb1取取量取量取aO OX Xb ba 連斜邊得連斜邊得AB實(shí)長與實(shí)長與角角ab量取量取ab取取ab直角三角形法直角三角形法解法一解法一解法二解法二BAabbaA

21、B實(shí)實(shí)長長連斜邊得連斜邊得AB實(shí)長與實(shí)長與角角 求求AB與與角角 與與角角 如何求得如何求得例：求線段例：求線段CD的實(shí)長與的實(shí)長與角。角。 解法一解法一解法二解法二cO OX Xd dc 取取cd 量取量取Y連斜邊得連斜邊得CD實(shí)長與實(shí)長與角角連斜邊得連斜邊得CD實(shí)長與實(shí)長與角角取取Y量取量取cd直角三角形法直角三角形法 直角三角形的兩直角邊，一條是投影邊，另一條是與所直角三角形的兩直角邊，一條是投影邊，另一條是與所得投影邊的投影線一致的坐標(biāo)差，其斜邊為實(shí)長，斜邊與得投影邊的投影線一致的坐標(biāo)差，其斜邊為實(shí)長，斜邊與 投投影邊影邊 的夾角，即為空間直線與投影邊所在投影面的夾角的夾角，即為空間直

22、線與投影邊所在投影面的夾角 。 acX XY YY YbO OZ ZbacacbAH HacV VBbCW Wbcabca2.3.2直線與點(diǎn)的相對位置直線與點(diǎn)的相對位置 若點(diǎn)在直線上若點(diǎn)在直線上, 則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影 上。上。 點(diǎn)的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相點(diǎn)的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相 同的比例。即：同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c :c b =a c :c b 定比定理定比定理例例1 1：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)C是否在線段是否在線段AB上。上。 c abca b abca b c 在在不在不在a b c 不在不在應(yīng)用定比定理

23、應(yīng)用定比定理另一判斷法另一判斷法?aa b c bcaa b bkk 例例2 2：已知點(diǎn)：已知點(diǎn)K在線段在線段AB上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（應(yīng)用第三投影）（應(yīng)用第三投影）解法二：解法二：（應(yīng)用定比定理）（應(yīng)用定比定理）aa b bka b k k 2.3.3. 兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩空間直線的相對位置分為：兩空間直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）、垂直。平行、相交、交叉（異面）、垂直。1) 1) 兩直線平行兩直線平行 空間兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。acdbcdabO O

24、X X bcdH HAd aCcV VaDbB 例：判斷圖中兩條直線是否平行。例：判斷圖中兩條直線是否平行。 對于一般位置直線，對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就相平行，空間兩直線就平行。平行。AB與與CD平行。平行。AB與與CD不平行。不平行。 對于特殊位置直線，對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。a b c d cbad d b a c b d c a abcdc a b d 2) 2) 兩直線相交兩直線相交 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同名投影必則其同名投影必

25、相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。影特性。交點(diǎn)是兩直交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)線的共有點(diǎn)cabd b a c d kk ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcd k kd例：過例：過C點(diǎn)點(diǎn)作水平線作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 例：判斷直線例：判斷直線AB、CD的相對位置。的相對位置。 c abdabcd相交嗎？相交嗎？不相交！不相交！為什么？為什么？ 交點(diǎn)不符合交點(diǎn)不符合空間一個點(diǎn)的投空間一個點(diǎn)的投影特性。影特性。判斷方法？判斷方法？ 應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理 利用側(cè)面投影利用側(cè)面投影3)

26、 3) 兩直線交叉兩直線交叉為什么？為什么？兩直線相交嗎？兩直線相交嗎？不相交！不相交！交點(diǎn)不符合一個點(diǎn)的投影規(guī)律！交點(diǎn)不符合一個點(diǎn)的投影規(guī)律！cabdO OX XdbacacACV VbH HdDBcdbaacACV VbH HdDBcdbacabdO OX Xdbac1(2)21投影特性：投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空不符合空間一個點(diǎn)的投影規(guī)律間一個點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線上的一是兩直線上的一 對對重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。用其可幫助判斷兩直線的空間位置。1(2)12 43 (4 )33 (4 )34

27、HpA1B1a(12)b(12)A2B2A3B3A4B4phCK(D)kc(d)又如果又如果 平面平面 PH 面，則必交一垂線面，則必交一垂線PH 因?yàn)橐驗(yàn)?（A1B1 ，A2B2）P 面面 則則 （a1b1 ，a2b2）PH如果如果 CDP，則，則 CD 必然必然 （A1B1 ，A2B2） （分垂直相交與垂直交叉兩類位置（分垂直相交與垂直交叉兩類位置 四種情況）四種情況）又因?yàn)橛忠驗(yàn)镃DP，則則 CDH， 4) 4) 兩直線垂直（垂直相交或垂直交叉）兩直線垂直（垂直相交或垂直交叉）直角的投影特性直角的投影特性： 直角投影定理：直角投影定理： 如果垂直（相交或交叉）兩直線，其中任意一如果垂直（

28、相交或交叉）兩直線，其中任意一條直線與莫個投影面平行，則兩直線在該投影面的條直線與莫個投影面平行，則兩直線在該投影面的投影反映直角。投影反映直角。運(yùn)用直角定理運(yùn)用直角定理作圖作圖直線在直線在H面上的投影互相垂直面上的投影互相垂直結(jié)論：結(jié)論： cd 必然必然 （a1b1 ，a2b2） a c b abc.a c b abc.a c b ad（ b）c.d a c b adc.d b直角投影逆定理：直角投影逆定理： 如果（相交或交叉）兩直線在某個投影面的投如果（相交或交叉）兩直線在某個投影面的投影反映直角，其中任意一條直線與該投影面平行，影反映直角，其中任意一條直線與該投影面平行，則兩直線在空間必

29、然垂直。則兩直線在空間必然垂直。兩直線垂直（相交或交叉）兩直線垂直（相交或交叉） 四種位置投影分析四種位置投影分析運(yùn)用直角逆定理分析判斷運(yùn)用直角逆定理分析判斷讀讀圖圖例例1：繪圖求畫投影。繪圖求畫投影。AB為正平線為正平線, 正面投正面投影反映直角影反映直角。abb .直角投影定理的直角投影定理的應(yīng)用應(yīng)用2）過）過C點(diǎn)作直線與點(diǎn)作直線與 AB垂直相交。垂直相交。1）過）過A點(diǎn)作水平線與點(diǎn)作水平線與 CD垂直相交。垂直相交。kb .ak b c ca dd dd ca c k k 直接判斷：直接判斷： AK為水平線，為水平線，akAK，反映距離實(shí)長反映距離實(shí)長例例2：圖解度量求距離。圖解度量求距

30、離。1）求）求A點(diǎn)到點(diǎn)到CD直線直線 的垂直距離。的垂直距離。k.ak c ca dd 2）求）求A點(diǎn)到點(diǎn)到CD直線直線 的垂直距離。的垂直距離。.k kAK為一般位置線為一般位置線, 再用再用直角三角形法求實(shí)長直角三角形法求實(shí)長。量取量取取取連斜邊得連斜邊得AK實(shí)長實(shí)長取取ak邊邊 c ca dd a3）求兩直線間的垂直距離。）求兩直線間的垂直距離。例例3： 讀圖判斷兩直線的讀圖判斷兩直線的 位置關(guān)系是否垂直。位置關(guān)系是否垂直。2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1. 平面的表示法平面的表示法不在同一直線不在同一直線上的上的 三個點(diǎn)三個點(diǎn) 直線及線直線及線外一點(diǎn)外一點(diǎn) abca b

31、c dd 兩平行兩平行直線直線abca b c 兩相交兩相交直線直線 平面平面圖形圖形 c abca b caba b c baca b c 1) 1) 幾何圖形表示法幾何圖形表示法常用方法常用方法重點(diǎn)掌握重點(diǎn)掌握V VH H2) 2) 跡線表示法跡線表示法PPVPHKVV VH HPVPH跡線跡線跡跡點(diǎn)點(diǎn) 跡點(diǎn)跡點(diǎn) 直線與投影面的交點(diǎn)直線與投影面的交點(diǎn) 一直線：最多兩個跡，一直線：最多兩個跡， 最少一個跡點(diǎn)。最少一個跡點(diǎn)。正面跡線正面跡線 PV水平跡線水平跡線 PH側(cè)面跡線側(cè)面跡線 PW 跡線跡線平面與投影面的交線平面與投影面的交線正面跡點(diǎn)正面跡點(diǎn) KV水平跡點(diǎn)水平跡點(diǎn) KH側(cè)面跡點(diǎn)側(cè)面跡點(diǎn)

32、 KW一平面：一平面： 最多三條最多三條跡線，跡線， 最少兩條最少兩條跡線。跡線。P P P dc D E Ce C Dc (d) Eed c EDCe 真實(shí)性真實(shí)性積聚性積聚性類似性類似性 2.4.2. 平面的投影特性平面的投影特性1) 1) 平面對一個投影面的投影特性平面對一個投影面的投影特性平面平行投影面平面平行投影面投影就把實(shí)形現(xiàn)投影就把實(shí)形現(xiàn)平面垂直投影面平面垂直投影面投影積聚成直線投影積聚成直線平面傾斜投影面平面傾斜投影面投影類似原平面投影類似原平面投影投影特性：特性：2) 2) 平面在三投影面體系中的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置平面對于三投影面的位

33、置可分為三類可分為三類：特殊特殊位置位置平面平面一般一般位置位置平面平面 與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面 正垂面正垂面 側(cè)垂側(cè)垂 面面 鉛垂鉛垂 面面 投影面平行面投影面平行面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面 位置分位置分類類a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面積聚性積聚性積聚性積聚性實(shí)形性實(shí)形性投影分析投影分析 投影規(guī)律投影規(guī)律 abc = ABC 反映真實(shí)性反映真實(shí)性 a b c = 0

34、 反映積聚性反映積聚性 且且 a b c X a b c = 0 反映積聚性反映積聚性 且且 a b c Y 度量問題度量問題 平面的實(shí)形平面的實(shí)形 ABC = abc ABC平面與平面與 H 面的夾角面的夾角V 面的夾角面的夾角W 面的夾角面的夾角 平面與投影面的夾角平面與投影面的夾角 直接直接判斷判斷 0 90 90 水平面（水平面（H，V，W ）判斷下列平面是什么位置的平面判斷下列平面是什么位置的平面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫嬲秸?面面實(shí)形實(shí)形實(shí)實(shí)形形投投影影特特性性投影面的平行面在其平行的那投影面的平行面在其平行的那 個投影面上的個投影面上的投影反映實(shí)形；投影反映實(shí)形；另兩個投影面上的另兩個投影

35、面上的投影反映積聚性，分別積投影反映積聚性，分別積 聚成直線段，并且分別平行于平面所平行的聚成直線段，并且分別平行于平面所平行的 投影面的相鄰兩根軸。投影面的相鄰兩根軸。a b c a b c abca b c a b c abc度量問度量問題，三夾題，三夾角角直接判直接判斷。斷。鉛垂面（鉛垂面（H，V，W ） 投影面垂直面投影面垂直面c c abca b b a 投影分析投影分析投投影影規(guī)規(guī)律律 abc = 0 反映積聚性反映積聚性 a b c ABC 反映類似性反映類似性 且且 abc X ， abc Y a b c ABC 反映類似性反映類似性 度量問題度量問題 平面的實(shí)形平面的實(shí)形 A

36、BC = ？ 平面與投影面的夾角平面與投影面的夾角 0 直接判斷直接判斷類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性 abc 與與 X 軸的夾角軸的夾角 abc 與與 Y 軸的夾角軸的夾角不反映不反映判斷下列平面是什么位置的平面判斷下列平面是什么位置的平面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑嬲拐?面面投投影影特特性性投影面的垂直面在其垂直那個投影面投影面的垂直面在其垂直那個投影面上的上的投影反映積聚性，積聚成一直段，投影反映積聚性，積聚成一直段，并且與相鄰的兩軸線傾斜相交；其夾角并且與相鄰的兩軸線傾斜相交；其夾角反映空間平面與其兩相鄰?fù)队懊娴恼鎸?shí)反映空間平面與其兩相鄰?fù)队懊娴恼鎸?shí)夾角。夾角。另兩個投影面上的另兩個投影面上

37、的投影分別反映類似性。投影分別反映類似性。度量問題度量問題:不反映實(shí)形；不反映實(shí)形；三夾角垂直三夾角垂直投影面的夾投影面的夾角直接判斷，角直接判斷，其他兩夾角其他兩夾角在圖中測得。在圖中測得。c c abca b b a 一般位置平面一般位置平面 三個投影都三個投影都 反映類似性。反映類似性。a b c a c b abc 投影規(guī)律投影規(guī)律 度量問題度量問題實(shí)形、三夾角實(shí)形、三夾角都不能夠反映。都不能夠反映。 a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC與與H H面的夾角為面的夾角為4545，已知其水，已知其水 平投影及頂點(diǎn)平投影及頂點(diǎn)B B的正面投影，求的正面投影，求ABC

38、ABC的正的正 面投影及側(cè)面投影。面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個解？思考：此題有幾個解？452.4.3. 平面上的直線和點(diǎn)平面上的直線和點(diǎn)位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：1) 1) 平面上取任意直線平面上取任意直線M MN NA AB BM M 若一直線過平面上的兩若一直線過平面上的兩 點(diǎn)，則此直線必在該平點(diǎn)，則此直線必在該平 面上。面上。 若一直線過平面上的一若一直線過平面上的一 點(diǎn)且平行于該平面上的點(diǎn)且平行于該平面上的 另一直線，則此直線在另一直線，則此直線在 該平面上。該平面上。 abcb c a d d例：已知平面由直線例：已知平面由直線AB、AC所確定

39、，在所確定，在 平面內(nèi)任作一條直線。平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有無數(shù)解！有無數(shù)解！n m nmabcb c a 例：在平面例：在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距離為面的距離為10mm10mm。n m nm10 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？c a b cab2) 2) 平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面上的一條直線作為先找出過此點(diǎn)而又在平面上的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例：已知例：已知K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABC上，求上，求K點(diǎn)的水平投影

40、。點(diǎn)的水平投影。baca k b c 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法：d d利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取線首先面上取線kabca b k c kbckk b例：已知例：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊為正平線，補(bǔ)全平行四邊 形形ABCD的水平投影。的水平投影。解法解法 一：一：解法解法 二：二：cada d b c ada d b c dede1010mm例：在例：在ABCABC內(nèi)取一點(diǎn)內(nèi)取一點(diǎn)M M，并使其到，并使其到H H面和面和V V面的距離均為面的距離均為10mm10mm。bcX XbcaaO O2.5 2.5 直線與平面

41、及兩平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括相對位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。2.5.1. 2.5.1. 平行問題平行問題 直線與平面平行直線與平面平行平面與平面平行平面與平面平行包括包括1) 直線與平面平行直線與平面平行 若平面外的一直線平行于平面內(nèi)若平面外的一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行。的某一直線，則該直線與該平面平行。n a c b m abcmn例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)M作直線作直線MN平行于平面平行于平面ABC。有無數(shù)解有無數(shù)解有多少解？有多少解？d d正平線正平線例：過例：過M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。唯一解唯

42、一解nn d dc b a m abcm2) 2) 兩平面平行兩平面平行 若一平面上的若一平面上的兩相兩相交直線交直線分別平行于另分別平行于另一平面上的一平面上的兩相交直兩相交直線線，則這兩平面相互，則這兩平面相互平行。平行。 若兩若兩投影面垂直面投影面垂直面相互平行，則它們相互平行，則它們具具有積聚性有積聚性的那組投影的那組投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e kk 由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故兩平面故兩平面不平行。不平行。例：判斷平面例：判斷平面ABDCABDC與平面與平面EFHMEFHM是否平行，是否平行，

43、已知已知ABABCDCDEFEFMHMHacebb a d dfc f e hh O OX Xm m 直線與平面相交，其直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。面的共有點(diǎn)。2.5.2. 相交問題相交問題直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交1)1)直線與平面相交直線與平面相交要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面的交點(diǎn)。交點(diǎn)。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可判別可 見性。見性。 我們只討論直線與平面中至少有一個處于特我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。殊位置的情況。例：求直線例：求直線MN

44、與平面與平面ABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC是一鉛垂面，是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直其水平投影積聚成一條直線，該直線與線，該直線與mn的交點(diǎn)即的交點(diǎn)即為為K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 為可見。為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。作圖作圖用線上用線上取點(diǎn)法取點(diǎn)法 平面為特殊位置平面為特殊位置abcmnc n b a m k k1 (2 )211 (2 )km(n)bm n c b

45、 a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MN為鉛垂線，其為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點(diǎn)，水平投影積聚成一個點(diǎn)，故交點(diǎn)故交點(diǎn)K的水平投影也積聚的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)位于平面上，在位于平面上，在前；點(diǎn)前；點(diǎn)位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 2 為不可見為不可見。k 2 1作圖作圖用面上取點(diǎn)法用面上取點(diǎn)法2) 2) 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平交線是兩平面的共有線，面的共有線，同時同時交線上的點(diǎn)都是兩平面的交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。共有點(diǎn)。

46、要討論的問題：要討論的問題：(1) (1) 求求兩平面的兩平面的交線交線方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個共有點(diǎn)。兩個共有點(diǎn)。 確定確定一個共有點(diǎn)及交線的方向。一個共有點(diǎn)及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。的情況。(2) (2) 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。判別可見性?？赏ㄟ^正面投影可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。直觀地進(jìn)行判別。abcdefc f db e a m (n )空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC與與DEF都為都為正垂面正垂面，它們的，它們的交線為一交線

47、為一條正垂線條正垂線，兩平面，兩平面正面投正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，投影，交線的水平投影垂交線的水平投影垂直于直于OX軸軸。 求交線求交線 判別可見性判別可見性作圖作圖 從正面投影上可看從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可見。可見。nm能能!如何判別？如何判別？例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線 MN并判別可見性。并判別可見性。能否不用重能否不用重影點(diǎn)判別？影點(diǎn)判別？abcdefc f db e a m (n )例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線 MN并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投

48、影分析 求交線求交線 判別可見性判別可見性作圖作圖 從正面投影上可看從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可見?？梢?。mn 平面平面ABC與與DEF都為都為正垂面正垂面，它們的，它們的交線為一交線為一條正垂線條正垂線，兩平面，兩平面正面投正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，投影，交線的水平投影垂交線的水平投影垂直于直于OX軸軸。aa bd( (e) )ebdh( (f) )cfch1( (2 ) )空間及投影分析空間及投影分析 平面平面DEFH是一鉛是一鉛垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有積聚性，其與積聚性，其與

49、ac、bc的的交點(diǎn)交點(diǎn)m 、n 即為兩個共即為兩個共有點(diǎn)的水平投影，故有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投的水平投影。影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)在在MC上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在FH上，上，點(diǎn)點(diǎn)在前，在前，點(diǎn)點(diǎn)在后，故在后，故mc 可見?？梢姟Ｗ鲌D作圖21 mmnnabd( (e) )ebdh( (f) )cfchmnnm空間及投影分析空間及投影分析 平面平面DEFH是一鉛是一鉛垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有積聚性，其與積聚性，其與ac、bc的的交點(diǎn)交點(diǎn)m 、n 即為兩個共即為兩個共有點(diǎn)的水平投影，故有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線即為交線MN的水平投的水平投影

50、影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)在在MC上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在FH上，上，點(diǎn)點(diǎn)在前，在前，點(diǎn)點(diǎn)在后，故在后，故mc 可見?？梢?。作圖作圖c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n位于位于 def 的外面，的外面，說明點(diǎn)說明點(diǎn)N位于位于 DEF所確定的平面內(nèi)，但所確定的平面內(nèi)，但不位于不位于 DEF這個圖這個圖形內(nèi)。所以形內(nèi)。所以 ABC和和 DEF的交線應(yīng)為的交線應(yīng)為MK。 nn m kmk 互交互交c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n位于位于 def 的外面，的外面，說明點(diǎn)說明點(diǎn)N位于位于 DEF所

51、確定的平面內(nèi)，但所確定的平面內(nèi)，但不位于不位于 DEF這個圖這個圖形內(nèi)。所以形內(nèi)。所以 ABC和和 DEF的交線應(yīng)為的交線應(yīng)為MK?；ソ换ソ籱kk m 2.5.3. 垂直問題垂直問題直線與平面垂直直線與平面垂直平面與平面垂直平面與平面垂直1) 1) 直線與平面垂直直線與平面垂直 若直線垂直于平面，則直線的正面若直線垂直于平面，則直線的正面投影一定垂直于平面上的正平線的正面投影一定垂直于平面上的正平線的正面投影，直線的水平投影一定垂直于平面投影，直線的水平投影一定垂直于平面上的水平線的水平投影。上的水平線的水平投影。 例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)M M作直線作直線MNMN垂直于垂直于ABCABC所確定的平面

52、所確定的平面 ndede nmabcb acm 根據(jù)直線與平面垂根據(jù)直線與平面垂直時的投影特性，所作直時的投影特性，所作直線的正面投影應(yīng)垂直直線的正面投影應(yīng)垂直于于ABCABC上的正平線的上的正平線的正面投影，水平投影應(yīng)正面投影，水平投影應(yīng)垂直于垂直于ABCABC上的水平上的水平線的水平投影。線的水平投影。因此，因此，作圖時應(yīng)首先在作圖時應(yīng)首先在ABCABC內(nèi)作一條正平線和一條內(nèi)作一條正平線和一條水平線。水平線。 分析：分析：例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)A A作平面垂直于直線作平面垂直于直線MNMN 。bcc bmnan m a分析：分析： 根據(jù)直線與平面垂根據(jù)直線與平面垂直的幾何條件，所作直的幾何條件，

53、所作平面內(nèi)應(yīng)包含兩條相平面內(nèi)應(yīng)包含兩條相交直線與交直線與MNMN垂直，假垂直，假設(shè)它們是設(shè)它們是相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)A A的一條正平線和一條的一條正平線和一條水平線，則該正平線水平線，則該正平線的正面投影應(yīng)垂直于的正面投影應(yīng)垂直于mn，水平線的水平，水平線的水平投影應(yīng)垂直于投影應(yīng)垂直于m n 。2) 2) 平面與平面垂直平面與平面垂直 若若一平面通過另一平面的垂線一平面通過另一平面的垂線，則兩，則兩平面相互垂直。平面相互垂直。 繪制相互垂直平面的兩種方法：繪制相互垂直平面的兩種方法： 使一平面使一平面包含另一平面的一條垂線包含另一平面的一條垂線。 使一平面使一平面垂直于另一平面內(nèi)的一條直線。垂直于

54、另一平面內(nèi)的一條直線。ABQPABQP例：過點(diǎn)例：過點(diǎn)M M作一平面垂直于作一平面垂直于ABC所確定的平面。所確定的平面。 dend e n kk分析：分析： 假設(shè)所作假設(shè)所作平面由相交于平面由相交于點(diǎn)點(diǎn)M M的兩條直線的兩條直線構(gòu)成，根據(jù)兩構(gòu)成，根據(jù)兩平面垂直的幾平面垂直的幾何條件，何條件，使其使其中一條為中一條為ABC的垂線的垂線即可。即可。 abcma c b m abca b c 直線為一般位置時直線為一般位置時 直線為特殊位置時直線為特殊位置時bab ka k 本章本章小結(jié)小結(jié)點(diǎn)、直線、平面的投影特性，尤其是點(diǎn)、直線、平面的投影特性，尤其是特殊位置直線與特殊位置直線與 平面的投影特性。能夠根據(jù)給定條件繪畫三面投影平面的投影特性。能夠根據(jù)給定條件繪畫三面投影。重點(diǎn)掌握：重點(diǎn)掌握：點(diǎn)、直線、平面的點(diǎn)、直線、平面的相對位置的判斷方法及投影特性相對位置的判斷方法及投影特性。1. 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)(1) (1) 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。(2) (2) 點(diǎn)的投影必分線段的投影成定比點(diǎn)的投影必分線段的投影成定比定比定理。定比定理。(3) (3) 判斷方法判斷方法: : 2. 兩直線的相對位置兩直線的相對位置1) 1) 平行平行