“《數(shù)學周報》杯”2008年全國初中數(shù)學競賽試題及參考答案

1、中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會“數(shù)學周報杯”2008年全國初中數(shù)學競賽試題題 號一二三總 分156101112 1314得 分評卷人復查人答題時注意：1用圓珠筆或鋼筆作答.2解答書寫時不要超過裝訂線.3草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯填都得0分）1已知實數(shù)滿足 ，則的值為（ ）（A）7 （B） （C） （D）52把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m，n，則

2、二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同交點的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）3有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點，小圓周上有2個不同的點，則這6個點可確定的不同直線最少有( ) （A）6條 （B） 8條 （C）10條 （D）12條4已知是半徑為1的圓的一條弦，且以為一邊在圓內(nèi)作正，點為圓上不同于點A的一點，且，的延長線交圓于點，則的長為（ ）（A） （B）1 （C） （D）a5將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（ ）（A）2種 （B）3種 （C）4種 （D）5種二、填空題（共5小題，每

3、小題6分，滿分30分）6對于實數(shù)u，v，定義一種運算“*”為：若關于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 7小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車假設每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是 分鐘（第8題）8如圖，在中，AB=7，AC=11，點M是BC的中點， AD是BAC 的平分線，MFAD，則FC的長為 9ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心I作DEBC，分別與AB，AC相交于點D，E，則DE的長為 10關于x，y的方程的所有正整數(shù)解為 三、

4、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11.在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸的正半軸分別交于A，B兩點，且使得OAB的面積值等于（1） 用b表示k；（2） 求ABC面積的最小值 12.是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關于x的一元二次方程有有理數(shù)根？ 13.如圖，的三邊長，都是整數(shù)，且的最大公約數(shù)為點和點分別為的重心和內(nèi)心，且求的周長（第13題）14.從1，2，9中任取n個數(shù)，其中一定可以找到若干個數(shù)（至少一個，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會“數(shù)學周報杯”2008年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案題 號一二三總 分156101112 131

5、4得 分評卷人復查人答題時注意：1用圓珠筆或鋼筆作答.2解答書寫時不要超過裝訂線.3草稿紙不上交.一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯填都得0分）1已知實數(shù)滿足 ，則的值為（ ）（A）7 （B） （C） （D）5【答】（A）解：因為，0，由已知條件得， ，所以 72把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同交點的概率是（ ） （A） （B） （C

6、） （D）【答】（C）解：基本事件總數(shù)有6×636，即可以得到36個二次函數(shù). 由題意知0，即4.通過枚舉知，滿足條件的有17對. 故.3有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點，小圓周上有2個不同的點，則這6個點可以確定的不同直線最少有( ) （A）6條 （B） 8條 （C）10條 （D）12條（第3題）【答】（B）解：如圖，大圓周上有4個不同的點A，B，C，D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個點E，F(xiàn)中，至少有一個不是四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點，則它與A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A，B，C，D的兩兩連線從而這6個點可以確定的直線不少于8條當這6個

7、點如圖所示放置時，恰好可以確定8條直線所以，滿足條件的6個點可以確定的直線最少有8條4已知是半徑為1的圓的一條弦，且以為一邊在圓內(nèi)作正，點為圓上不同于點A的一點，且，的延長線交圓于點，則的長為（ ）（A） （B）1 （C） （D）a【答】（B）解：如圖，連接OE，OA，OB 設，則 又因為，（第4題）所以，于是5將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（ ）（A）2種 （B）3種 （C）4種 （D）5種【答】（D）解：設是1，2，3，4，5的一個滿足要求的排列首先，對于，不能有連續(xù)的兩個都是偶數(shù)，

8、否則，這兩個之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾又如果（1i3）是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個奇數(shù)是最后一個數(shù)所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6對于實數(shù)u，v，定義一種運算“*”為：若關于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是 【答】，或解：由，得，依題意有 解得，或7小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛

9、18路公交車假設每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是 分鐘【答】4解：設18路公交車的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為米每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則 每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則 由，可得 ，所以 即18路公交車總站發(fā)車間隔的時間是4分鐘（第8題5數(shù)，段成比例，所以）8如圖，在中，AB=7，AC=11，點M是BC的中點， AD是BAC 的平分線，MFAD，則FC的長為 【答】9解：如圖，設點N是AC的中點，連接MN，則MNAB又，所以 ，（第8題答案5數(shù)，段成比例，所以）所以 因此

10、99ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心I作DEBC，分別與AB，AC相交于點D，E，則DE的長為 【答】解：如圖，設ABC的三邊長為a，b，c，內(nèi)切圓I的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以 （第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）（第8題答案圖5數(shù)，段成比例，所以）因為ADEABC，所以它們對應線段成比例，因此（第9題答案5數(shù)，段成比例，所以），所以 ，故 10關于x，y的方程的所有正整數(shù)解為 【答】解：因為208是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)設，則，同上可知，a，b都是偶數(shù)設，則，所以，c，d都是偶數(shù)設，則，

11、于是 ，其中s，t都是偶數(shù)所以所以可能為1，3，5，7，9，進而為337，329，313，289，257，故只能是289，從而7于是 因此 三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與軸、軸的正半軸分別交于A，B兩點，且使得OAB的面積值等于（3） 用b表示k；（4） 求OAB面積的最小值 解：（1）令，得；令，得所以A，B兩點的坐標分別為，于是，OAB的面積為由題意，有，解得 ， 5分（2）由（1）知，當且僅當時，有，即當，時，不等式中的等號成立 所以，OAB面積的最小值為 15分12是否存在質(zhì)數(shù)p，q，使得關于x的一元二次方程有有理數(shù)根？ 解：設方

12、程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)令，其中n是一個非負整數(shù)則 5分由于1q+n，且與同奇偶，故同為偶數(shù)因此，有如下幾種可能情形： 消去n，解得 10分對于第1，3種情形，從而q5；對于第2，5種情形，從而q4（不合題意，舍去）；對于第4種情形，q是合數(shù)（不合題意，舍去）又當，q5時，方程為，它的根為，它們都是有理數(shù)綜上所述，存在滿足題設的質(zhì)數(shù) 15分（第13題）13如圖，的三邊長，都是整數(shù)，且的最大公約數(shù)為點和點分別為的重心和內(nèi)心，且求的周長（第13題答案5數(shù)，段成比例，所以）解：如圖，延長，與邊分別交于點設重心在邊上的投影分別為，的內(nèi)切圓的半徑為，邊上的高的長分別為，易知CPCQ，由，可得 ，即 ，從而可得 10分因為的重心G和內(nèi)心不重合，所以，不是正三角形，且，否則，可得，矛盾不妨假設，由于，設，于是有為整數(shù)，所以有，即于是只有時，可得，滿足條件因此有所以，的周長為35 15分14從1，2，9中任取n個數(shù)，其中一定可以找到若干個數(shù)（至少一個，也可以是全部），它們的和能被10整除，求n的最小值解：當n4時，數(shù)1，3，5，8中沒有若干個數(shù)的和能被10整除 5分當n5時，設是1，2，9中的5個不同的數(shù)若其中任意若干個數(shù)，它們的和都不能被10整除，則中