概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)重要公式

1、 一、隨機(jī)事件與概率公式名稱公式表達(dá)式德摩根公式，古典概型幾何概型，其中為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）求逆公式加法公式P(AB)= P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0（A、B互斥）時(shí)，P(AB)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，時(shí)P(A-B)=P(A)-P(B)條件概率公式乘法公式 全概率公式 從原因計(jì)算結(jié)果貝葉斯公式（逆概率公式） 從結(jié)果找原因兩個(gè)事件相互獨(dú)立；二、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù) 概率密度函數(shù)計(jì)算概率：2、離散型隨機(jī)變量及其分布分布名稱分布律0-1分布 Xb(1,p)二項(xiàng)分布(貝努利分布)XB(n,p)泊松分布 Xp()3、

2、續(xù)型型隨機(jī)變量及其分布分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布xU(a,b)指數(shù)分布XE()正態(tài)分布xN()標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xN(0,1)一般正態(tài)分布的概率計(jì)算公式分布函數(shù)對(duì)離散型隨機(jī)變量對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關(guān)系：4、隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的分布離散型：，連續(xù)型： 分布函數(shù)法，公式法h(y)是g(x)的反函數(shù)三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量及其分布分布律： 聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布律： 條件分布律：，聯(lián)合密度函數(shù)2、連續(xù)型二維隨機(jī)變量及其分布分布函數(shù)及性質(zhì)分布函數(shù)：性質(zhì)：邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)分布函數(shù)： 密度函數(shù)： 條件概率密度，3、隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)

3、立，離散型： ，連續(xù)型：4、二維隨機(jī)變量和函數(shù)的分布(卷積公式)離散型：注意部分可加性連續(xù)型：四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望定義：離散型，連續(xù)型性質(zhì)： ， ，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：(正對(duì)逆錯(cuò))隨機(jī)變量g(X)的數(shù)學(xué)期望2、方差定義： 性質(zhì)：， 當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：3、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差：，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：相關(guān)系數(shù)： ，當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí)：(X,Y不相關(guān))協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：，Cov(x,a)=0(a為常數(shù))，4、常見(jiàn)隨機(jī)變量分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布數(shù)學(xué)期望E（X）方差D（X）0-1分布 pp(1-p)二項(xiàng)分布 npnp(1-p)泊松分布 均勻分布 正態(tài)分布 指數(shù)分布 五、大數(shù)定律

4、與中心極限定理1、切比雪夫不等式若對(duì)于任意有2、大數(shù)定律： 切比雪夫大數(shù)定律：若相互獨(dú)立，且，則：伯努利大數(shù)定律：設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則，有：辛欽大數(shù)定律：若獨(dú)立同分布，且，則3、中心極限定理列維林德伯格中心極限定理：獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均值為，方差為，當(dāng)n充分大時(shí)有：棣莫弗拉普拉斯中心極限定理：隨機(jī)變量，則對(duì)任意x有：近似計(jì)算：六、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念1、總體和樣本的分布函數(shù)設(shè)總體XF(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)2、統(tǒng)計(jì)量樣本均值：，樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差： ，樣本階原點(diǎn)距：樣本階中心距：3、三大抽樣分布(1)分布（卡方分布）：設(shè)隨機(jī)變量X

5、B(0,1)且相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為的分布，記為性質(zhì)：設(shè)且相互獨(dú)立，則(2)分布：設(shè)隨機(jī)變量，且X與Y獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量：服從自由度為的分布，記為。性質(zhì)： (3)分布：設(shè)隨機(jī)變量，且與獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度為m，第二自由度為n的分布，記為，性質(zhì)：設(shè)，則。七、參數(shù)估計(jì)1.參數(shù)估計(jì)定義：用估計(jì)總體參數(shù)，稱為的估計(jì)量，相應(yīng)的為總體的估計(jì)值。2.點(diǎn)估計(jì)中的極大似然估計(jì)設(shè)取自的樣本，設(shè)或， 求法步驟：似然函數(shù)： 取對(duì)數(shù)： 或解方程：，解得：3.估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E(）=，則稱 為的無(wú)偏估計(jì)量。有效性設(shè)和是未知參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若，則稱有效。一致性設(shè)是的一串估計(jì)量，如，有則稱為的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。正態(tài)總體中，樣本均值是的無(wú)偏估計(jì)量 修正樣本方差是的無(wú)偏估計(jì)量5. 區(qū)間估計(jì) 單正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間條件估計(jì)參數(shù)樞軸量樞軸量分布置信水平為的置信區(qū)間已知未知未知未知八、假設(shè)檢驗(yàn)1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是小概率原理。小概率事件的概率就是顯著性水平，常取=0.05，0.01或0.10?；静襟E提出原假設(shè)H0；選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；對(duì)于查表找分位數(shù)，使，從而定出拒絕域W；由樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量實(shí)測(cè)值；并作出判斷：當(dāng)實(shí)測(cè)值落入W時(shí)拒絕H0，否則認(rèn)為接受H0。第一類錯(cuò)誤：當(dāng)H0為真時(shí)，而樣本值卻落入了拒