社會統(tǒng)計學(xué)第六章

1、第六章 參數(shù)統(tǒng)計第一節(jié) 統(tǒng)計推論 一、定義：統(tǒng)計推論是根據(jù)局部資料（樣本資料）對總體的特征進(jìn)行推斷。 二、特點(diǎn) （一）局部資料的特性某種程度上能反映總體的特性； （二）一次抽樣的結(jié)果不能恰好就等于總體的結(jié)果 三、內(nèi)容 （一）通過樣本對總體的未知參數(shù)進(jìn)行估計，即參數(shù)估計。 （二）通過樣本對總體的某種假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，即假設(shè)檢驗(yàn)。第二節(jié) 名詞解釋 一、總體即研究對象的全體。 二、樣本與簡單隨機(jī)樣本 樣本：從總體中按一定的方式抽出的那一部分。 樣本大小或樣本容量：樣本中包含的個體數(shù)目n。 簡單隨機(jī)樣本：被抽樣的數(shù)據(jù)不但是隨機(jī)變量，而且相互獨(dú)立，遵從同一分布（即同總體所遵從的分布）。 三、統(tǒng)計量 從總體中

2、抽取容量為n的樣本，可以看做n個獨(dú)立同總體的分布的隨機(jī)變量，1，2，.，n。那么，隨機(jī)變量1，2，.，n的任何函數(shù)f（1，2，.，n）也是隨機(jī)變量。我們把函數(shù)f（1，2，.，n）叫做統(tǒng)計量。 根據(jù)隨機(jī)變量1，2，.，n的觀測值x1、x2，.，xn計算得到的一切統(tǒng)計數(shù)字特征（如均值、方差）可以看做是相應(yīng)的統(tǒng)計量的觀測值。 如樣本均值niniiinxnx1111的觀測值是統(tǒng)計量第三節(jié) 參數(shù)的點(diǎn)估計 參數(shù)估計，根據(jù)抽樣結(jié)果來合理地、科學(xué)地猜一猜總體的參數(shù)大概是什么？或者在什么范圍？ 其一，點(diǎn)估計。即用樣本計算出來的一個數(shù)來估計未知參數(shù)。 其二，區(qū)間估計。通過樣本計算出一個范圍來對未知參數(shù)進(jìn)行估計。作

3、為總體成數(shù)估計值。：我們用樣本成數(shù)次。類共出現(xiàn)次觀測中，表示在樣本當(dāng)?shù)狞c(diǎn)估計值。，這可作為總體標(biāo)準(zhǔn)差：準(zhǔn)差的平方根，稱作樣本標(biāo)樣本方差值。作為總體方差的點(diǎn)估計）（用樣本方差值作為總體方差的點(diǎn)估計樣本均值類當(dāng)觀測值為所研究的其他niiniiAiniiniinmXnmAnmXXSSSSXXnSXnX11102212211PP111 例1：從某城市的貧困人口中隨機(jī)抽取的234人，計算出平均年齡 歲，年齡分布的標(biāo)準(zhǔn)差S=12.3歲。求該城市貧困人口總體的平均年齡和年齡分布的標(biāo)準(zhǔn)差。 解：根據(jù)點(diǎn)估計值的定義，可以認(rèn)為該城市貧困人口的平均年齡=47.2歲，年齡分布的標(biāo)準(zhǔn)差為=12.3歲。 例2：某省人口數(shù)

4、為3813萬人，從中隨機(jī)抽取了70405人，其中殘疾人4028人。求該省殘疾人的總數(shù)。 解：樣本中殘疾人的頻率 可以認(rèn)為總體殘疾人的頻率=0.0572 因此，該省殘疾人的總數(shù)為： N=0.05723813=218.1（萬人） 即該省殘疾人總數(shù)為218.1萬殘疾人。2 .47x0572. 0704054028P第四節(jié) 抽樣分布 抽樣分布：從一個已知的總體中，獨(dú)立隨機(jī)的抽取含量為n的樣本，研究所得的樣本的各種統(tǒng)計量的概率分布。 一、樣本均值的分布 1、總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時，樣本均值的分布服從分布（正態(tài)分布） 從均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)總體中，獨(dú)立隨機(jī)地抽取含量為n的樣本， 則 由此可知，樣本均值是一服從

5、正態(tài)分布的隨機(jī)變量，記為 將均值標(biāo)準(zhǔn)化，則 ，其中標(biāo)準(zhǔn)化的分母為均值的標(biāo)準(zhǔn)誤。nxx，）（服從nN2,Xnx- 2、總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，樣本均值的分布服從t分布 未知時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替，標(biāo)準(zhǔn)化變量并不服從正態(tài)分布，而服從具有n-1自由度的t分布 ，其分母為樣本標(biāo)準(zhǔn)誤差。 自由度：獨(dú)立觀測值的個數(shù)。在這里因?yàn)橛嬎鉺時，所使用的n個觀測值，受到平均數(shù)x的約束，這就等于有一個觀測值不能獨(dú)立取值，因此自由度df=n-1。nsxt- 二、樣本方差 的分布 分布 從方差為 的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取含量為n的樣本，可計算出樣本方差 。在討論樣本方差 的分布時，通常并不直接談 的分布，而是將它標(biāo)準(zhǔn)化，得到一個

6、不帶任何單位的純數(shù)。該純數(shù)服從n-1自由度的卡方分布。 2s222s2s2s221Sn）（12n第五節(jié) 總體特征值的區(qū)間估計 原因：用樣本觀察值計算的點(diǎn)估計值與總體特征值的距離有多大不知道，同時，點(diǎn)估計值與總體特征值完全相同的概率極小，用點(diǎn)估計值來估計總體特征值幾乎必然犯錯誤。因此，我們希望估計出一個范圍，并且希望知道這個范圍包含總體特征值的可能性有多大。 區(qū)間估計就是以一定的概率保證估計包含總體參數(shù)的一個值域，即根據(jù)樣本指標(biāo)和抽樣平均誤差推斷總體指標(biāo)的可能范圍。 包括兩部分內(nèi)容：一是這一可能范圍的大??；二是總體指標(biāo)落在這個可能范圍內(nèi)的概率。 公式： 設(shè)總體的未知參數(shù)為Q，由樣本觀察值計算的點(diǎn)

7、估計值為 對于給定的（01），滿足Q。水平之和為顯然，置信度與顯著性概率。置信區(qū)間估計不可靠的為顯著性水平。表示用可靠性。表示用置信區(qū)間估計的或置信系數(shù)。稱作置信概率、置信度的置信區(qū)間。為由，則稱）（1111QQQQQP 一、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計 如果總體分布滿足N（， ）。的區(qū)間估計，根據(jù) 是否為已知，分為以下兩種統(tǒng)計量進(jìn)行討論： （一） 為已知 公式為222 例1： 例：包糖機(jī)某日開工包了12包糖，稱得質(zhì)量（單位：克）分別為506，500，495，488，504，486，505，513，521，520，512，485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為=10.試求糖包的平均質(zhì)量的1-置信區(qū)

8、間（分別取值=0.10和=0.05）。 解：=10，n=12， 計算得 （1）當(dāng)=0.10時，1-/2=0.95， 查表得Z/2=Z0.05=1.645 即的置信度為90%的置信區(qū)間為（498.17，507.67）。92.50212485512520521513505486504488495500506x,67.507645. 1121092.50217.498645. 1121092.50222ZxnZx （2）當(dāng)=0.05時，1-/2=0.975 查表得 Z/2=Z0.025=1.96 即的的置信度為95%的置信區(qū)間為（497.26，508.58）。 從上例可以看出：當(dāng)置信度1-較大時，置

9、信區(qū)間也較大；當(dāng)置信度1-較小時，置信區(qū)間也較小。,58.50896. 1121092.50226.49796. 1121092.50222ZxnZx （二） 為未知 公式：2 例：有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取16袋，稱得重量（克）如下： 506 508 499 502 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布，試求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。 解：=0.05，k=n-1=15 查t（n-1）分布表可知：t0.025（15）=2.1315， 計算得 得的置信度為95%的置信區(qū)間2022. 6,75.5

10、03sx。這個估計值的可信度為克之間，克與量的均值在就是說估計袋裝糖果重），即（%951 .5074 .5001 .5074 .5001315. 2162022. 675.503 二、總體頻率的區(qū)間估計 設(shè)為總體頻率，P為樣本頻率，n為樣本容量。 總體頻率的置信區(qū)間為： 例：某工科院校從今年的新生中隨機(jī)抽取了100人，其中女生34人。求今年女生人數(shù)比例的95%置信區(qū)間。 解：已知n=100，m=34，1-=0.95。 p=34/100=0.34 查表得z/2=z0.025=1.96。 將上述條件代入： 可得置信區(qū)間： 因此，女生人數(shù)比例的95%置信區(qū)間為0.247，0.433)1 (P)1 (

11、P22nPPznPPz，)1(P)1(P22nPPznPPz，10066. 034. 096. 134. 010066. 034. 096. 134. 0， 三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計 公式：1) 1() 1(22122222SnSnP第六節(jié) 大樣本區(qū)間估計 大樣本一般指樣本容量n30，而在社會科學(xué)中可取n50. 一、大樣本總體均值的區(qū)間估計 公式： 例：為了了解居民用于服裝的支出情況，隨機(jī)抽取90戶居民組成一個簡單隨機(jī)樣本，計算得樣本均值為810元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為85元，試建立該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費(fèi)支出的95%的置信區(qū)間。 解：設(shè)用隨機(jī)變量X表示居民的服裝支出。根據(jù)題意， 元，S=85

12、元，n=90，與置信度95%相對應(yīng)的=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得Z0.05/2=1.96. 于是，我們有95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費(fèi)的支出大約介于792.44元到827.56元之間。810X），（56.82744.79256 18102nSZX 二、總體成數(shù)（二項(xiàng)總體參數(shù)p）的估計 （一）總體成數(shù)p的點(diǎn)估計 如果在樣本容量為n的簡單隨機(jī)抽樣中，對于所要研究的A共出現(xiàn)m次，則樣本成數(shù) 為總體中A成數(shù)p的點(diǎn)估計值。 的方差 為： q=1-p PnmP P)(PDnpqPD)( （二）大樣本總體成數(shù)p的區(qū)間估計 樣本成數(shù) 可以看做是n個滿足二點(diǎn)分布（

13、0,1）i的均值： 根據(jù)中心極限定理，在大樣本情況下（np5和n（1-p）5）， 的分布可近似地看做正態(tài)分布，因此大樣本總體成數(shù)p的區(qū)間估計公式有： 或置信度為1-的區(qū)間估計為： 其中， 為總體成數(shù)p的點(diǎn)估計值 1-為置信度。 當(dāng)p未知情況下，可用 代替：pPnPnii1P1)(22PPZPpZPPPpZPZP22，Pnppp)1 (PP 例：某廠對一批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，采用重復(fù)抽樣抽取樣品200只，樣本優(yōu)質(zhì)率為85%，試計算當(dāng)把握程度為95%時優(yōu)質(zhì)品率的區(qū)間范圍。 解：由題意可知： n=200， ； 1-=0.95,=0.05,Z/2=Z0.025=1.96 所以，總優(yōu)質(zhì)品率p的置信度

14、為95%的置信區(qū)間為 80.05%p89.95%85. 0 p15. 01pq8995. 020015. 085. 096. 185. 08005. 020015. 085. 06.91-85. 0 三、大樣本二總體均值差的區(qū)間估計 大樣本二總體均值差1-2的區(qū)間估計公式為： 或置信度為1-的區(qū)間估計為： 其中 為二總體均值差 的點(diǎn)估計值。 1-為置信度1)()()(22121)(2212121XXXXZXXZXXP)()()(221)(2212121XXXXZXXZXX，)(21XX 21-222221212221222122212121SSSSnnxx；代替：和方差未知情況下，可用樣本和當(dāng)

15、例：甲、乙兩地月收入調(diào)查如下：甲： s1=20 n1=800乙： s2=10 n2=1000求=0.05 兩地平均收入差的區(qū)間估計。解：根據(jù)題意可知： 因?yàn)?0.05，所以Z/2=1.96根據(jù)公式：得：（20-10）-1.96X0.7746；（20-10）+1.96X0.7746即：兩地平均收入差的區(qū)間估計為8.48,10.77 15001x10002x)()()(221)(2212121XXXXZXXZXX，7746.0100010800202222212121nnxx 課后作業(yè)： 從某城市的工人中隨機(jī)抽出男性工人50人，女性工人35人。男性工人的平均工資為1540元，標(biāo)準(zhǔn)差為200元；女性工人的平均工資為1350元，標(biāo)準(zhǔn)差為180元。求男女工人的工資差的置信區(qū)間。（1-=0.95） 四、大樣本二總體成數(shù)差的區(qū)間估計 設(shè)第一個總體的成數(shù)為P1 第二個總體的成數(shù)為P2 現(xiàn)從兩總體中獨(dú)立的各抽取一個隨機(jī)樣本： 第一總體的樣本容量為n1,樣本成數(shù)為 第二總體的樣本容量為n2,樣本成數(shù)為 于是樣本成數(shù)差為： 可以作為總體間成數(shù)差p1-p2的點(diǎn)估計值。 樣本成數(shù)差 也是隨機(jī)變量，當(dāng)樣本分別滿足n1p15; n1（