北京航空航天大學(xué)歷年數(shù)學(xué)競賽答案

1、北京航空航天大學(xué)2012年數(shù)學(xué)競賽試題 一、填空題（每小題6分，共60分）1. .2. 設(shè)則 .3. 4. 函數(shù)的極大值為 .5.設(shè)，其中有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，, ,則 .6. 已知函數(shù)在點(diǎn)處可微， 且在該點(diǎn)沿著向量和的方向?qū)?shù)分別為和，則在點(diǎn)處沿著向量的方向?qū)?shù)為 .7. 設(shè):,則 .8. 設(shè) 則 9. 冪級數(shù)的和函數(shù)為 .10. 已知，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則= .二. 已知連續(xù)函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，且. 設(shè) 求冪級數(shù)和函數(shù).三. 設(shè)在區(qū)域上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零. 求 四設(shè)為曲面上的動點(diǎn)，若曲面在點(diǎn)處的切平面與面垂直，求點(diǎn)的軌跡，并計(jì)算曲面積分， 其中的方向從軸正向看是逆時(shí)針方向.五

2、. 設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)函數(shù)，且在上的最小值在區(qū)間內(nèi)部取得，最小值為. 證明存在，使得.北京航空航天大學(xué)2012年數(shù)學(xué)競賽試題答案一、填空題（每小題6分，共60分）1. 2.2. 設(shè)則.3. 4. 函數(shù)的極大值為 .5.設(shè)，其中有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，, , 則.6. 已知函數(shù)在點(diǎn)處可微， 且在該點(diǎn)沿著向量和的方向 導(dǎo)數(shù)分別為和，則在點(diǎn)處沿著向量的方向?qū)?shù)為.7. 設(shè):,則 .8. 設(shè) 則9. 冪級數(shù)的和函數(shù)為.10. 已知，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=.二. 已知連續(xù)函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，且. 設(shè)求冪級數(shù)和函數(shù).解：（1）令，則.級數(shù),.三. 設(shè)在區(qū)域上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零. 求 解： 原式

3、=四設(shè)為曲面上的動點(diǎn)，若曲面在點(diǎn)處的切平面與面垂直，求點(diǎn)的軌跡，并計(jì)算曲面積分， 其中的方向從軸正向看是逆時(shí)針方向.解：設(shè)的坐標(biāo)為,則曲面在點(diǎn)處法向量為，由題意知有，即，從而得的軌跡方程 .由斯托克斯公式有.或由格林公式有.曲線為是在面上的投影曲線.五. 設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)函數(shù)，且在上的最小值在區(qū)間內(nèi)部取得，最小值為. 證明存在，使得.證明：設(shè)在上的最小值在點(diǎn)上達(dá)到，則由泰勒公式有，從而 ，=解得，,，（易求函數(shù)在內(nèi)的最小值是8）.由導(dǎo)數(shù)的介值性知存在，使得.北京航空航天大學(xué)2010年數(shù)學(xué)競賽試題一.填空題（本題共60分）1. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，對任意正數(shù)，有，且，則_2. 設(shè) 則_3. 已

4、知在內(nèi)可導(dǎo)，且，則_4. 已知 則5. 當(dāng)滿足_時(shí)，級數(shù)絕對收斂.6. _7. 已知，且在上有，則_8. 計(jì)算積分 _9. 設(shè)是八面體的表面，則積分=_10. 設(shè)由曲線與直線所圍的均勻薄片(面密度為)繞過原點(diǎn)的任意直線的轉(zhuǎn)動，則該轉(zhuǎn)動慣量中的最小值為_二. (本題10分) 設(shè) , 試問中哪一個(gè)的變動對R影響最大?三、(本題10分) 已知 .（1）證明；（2）求 .四、(本題10分) 計(jì)算曲面積分 其中 的部分的外側(cè).五、(本題10分) 求最小的實(shí)數(shù)C， 使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有.北京航空航天大學(xué)2010年數(shù)學(xué)競賽試題答案一.填空題（本題共40分）1. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，對任意正數(shù)，有，且，則_

5、2. 設(shè) 則_3. 已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，則_4. 計(jì)算廣義積分_5. _6. 已知，且在上有，則_7. 計(jì)算積分 _8. 設(shè)是八面體的表面，則_9. 設(shè)函數(shù)，直線是直、線在平面上的投影，求在點(diǎn)沿直線的方向?qū)?shù)_(規(guī)定與軸正向夾角為銳角的方向?yàn)榈姆较?10. 設(shè)由曲線與直線所圍的均勻薄片(面密度為)繞過原點(diǎn)的任意直線的轉(zhuǎn)動，則該轉(zhuǎn)動慣量中的最小值為_二. (本題10分) 求p的值，使解: 時(shí) 三、(本題10分) 設(shè) , 試問中哪一個(gè)的變動對R影響最大?解 兩邊取全微分 故 , , 由于 , 所以 ， ， 因此的變動對R影響最大.4、 (本題10分)設(shè) f(u) 為連續(xù)函數(shù)，L 為分段光滑的平面閉曲

6、線，求5、 解:因 f(u) 為連續(xù)函數(shù)，故存在，且有所以， 五、(本題10分) 已知, 求 解: (t = - x)= , , S(0)=0, , ，六、(本題10分) 設(shè)f(u) 在u=0 可導(dǎo)， f(0)=0, , 求 .解: 應(yīng)用求坐標(biāo)計(jì)算三重積分，有七、(本題10分) 求最小的實(shí)數(shù)C， 使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有.解: 一方面 。另一方面， 取 , 則, 而因此最小的實(shí)數(shù)C=2。北京航空航天大學(xué)2009年數(shù)學(xué)競賽試題一、填空題（每題5分）1. 2. 設(shè) 則3. 當(dāng)是等價(jià)無窮小，則4. 設(shè) 則5. 設(shè) 6. 求二重積分7. 已知 8設(shè)曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)依次為、，則變力沿該曲線做功為。9已知

7、，則10設(shè)有向曲面外側(cè)。則積分2、 設(shè)函數(shù) 試討論函數(shù)的奇偶性，并求 三、 設(shè) 試判別級數(shù)的斂散性.四、計(jì)算曲面積分 .其中是曲面介于兩平面之間的那部分表面的外側(cè)。五、 在曲面：內(nèi)如何作內(nèi)接長方體，才能使得長方體的體積最大？求最大體積。六、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿足，且 試證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得北京航空航天大學(xué)2009年數(shù)學(xué)競賽試題答案一、填空題（每題5分）1. 2. 設(shè) 則3. 當(dāng)是等價(jià)無窮小，則4. 設(shè) 則5. 設(shè) 6. 求二重積分7. 已知 8設(shè)曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)依次為、，則變力沿該曲線做功為。9已知，則10設(shè)有向曲面外側(cè)。則積分二、 設(shè)函數(shù) 試討論函數(shù)的奇偶性，并求 解：，偶

8、函數(shù)。三、 設(shè) 試判別級數(shù)的斂散性.解：，因?yàn)樗源思墧?shù)收斂。四、計(jì)算曲面積分 .其中是曲面介于兩平面之間的那部分表面的外側(cè)。解：作輔助平面上側(cè)，下側(cè)，五、 在曲面：內(nèi)如何作內(nèi)接長方體，才能使得長方體的體積最大？求最大體積。解：在第一卦限的上取一點(diǎn)做為長方體的頂點(diǎn)，則該長方體的體積為 設(shè)拉格朗日函數(shù)，解得最大體積為六、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿足，且 試證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得證明：設(shè)輔助函數(shù)則又由知，從而存在使得由羅爾定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得，即有北京航空航天大學(xué)2008年數(shù)學(xué)競賽試題一填空題（每題4分，共40分） 二 (本題10分) 求三 (本題10分) 四(本題10分) 五(本

9、題10分) 已知函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)，且滿足方程,求的表達(dá)式.六 (本題10分) 七 (本題10分) . 求,其中C為曲線(R>0),若從 z軸正向看去，C為逆時(shí)針方向.北京航空航天大學(xué)2008年數(shù)學(xué)競賽試題答案一填空題（每題4分，共40分） 二 (本題10分) 求 解： =- =所以，= .三(本題10分) 四(10分). 解：,由 得 , .=, 五(本題10分) 已知函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù), 且滿足方程,求的表達(dá)式. 解： 顯然 , 由于等式兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，得，于是有代入 , 得 C=1.故 ，. 六 (本題10分) 七 (本題10分) 求,其中C為曲線(R>0),若從 z軸正向看

10、去，C為逆時(shí)針方向.解 則法向量 ，由stokes公式得 （利用對稱性）.北京航空航天大學(xué)2007年數(shù)學(xué)競賽試題一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分) 設(shè)是的次多項(xiàng)式，。1. 證明對任意的正整數(shù)，有2. 證明對任意的正整數(shù)，有三、(本題10分) 已知函數(shù)計(jì)算四、(本題10分) 五、 (本題10分) 計(jì)算，其中L是從點(diǎn)A(-2,0)到點(diǎn)B(2,0)的任意一條分段光滑不經(jīng)過原點(diǎn)的簡單曲線。六、(本題10分)七、(本題10分) 北京航空航天大學(xué)2007年數(shù)學(xué)競賽試題答案一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分) 設(shè)是的次多項(xiàng)式，。 1. 證明對任意的正整數(shù)，有2. 證明對任意的正整數(shù)，有

11、.解1 先證 所以對任意的正整數(shù)，有2 對任意的正整數(shù)，有設(shè) 則可得綜上所述, 證明對任意的正整數(shù)，有 3、 (本題10分) 已知函數(shù)計(jì)算解：4、 (本題10分) 解：，同理 所以5、 (本題10分) 計(jì)算，其中L是從點(diǎn)A(-2,0)到點(diǎn)B(2,0)的任意一條分段光滑不經(jīng)過原點(diǎn)的簡單曲線。解：設(shè) 所以該積分當(dāng)L在任何一個(gè)不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，當(dāng)L在上半平面時(shí)， 取l:上半圓周；此時(shí)原式=當(dāng)L在下半平面時(shí)， 取l:下半圓周；此時(shí)原式=。六、(本題10分)解：在上， 七、(本題10分) 證明：由拉格朗日定理，存在使得，存在使得于是由導(dǎo)函數(shù)的介值性知，存在 使得北京航空航天大學(xué)2006

12、年數(shù)學(xué)競賽試題一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分) 三、(本題10分) 四、(本題10分) 五、(本題10分) 六、(本題10分)七、(本題10分) 北京航空航天大學(xué)2006年數(shù)學(xué)競賽試題答案一、 填空題（本題共40分）2、 (本題10分) 解： 三、(本題10分) 解： ，4、 (本題10分) 解：，其中項(xiàng)的系數(shù)是-1，所以5、 (本題10分) 證明： 不等式等價(jià)于，即，設(shè)，有，設(shè)，根據(jù)得 當(dāng)x>1時(shí),所以，當(dāng)x>1時(shí), 于是f(x)單調(diào)減少,故b>a>1時(shí)3， f(b)<f(a), 即六、(本題10分)解一：七、(本題10分) 證明：對任何(x,y,

13、z)，做過該點(diǎn)的球面（球心在原點(diǎn)），設(shè)函數(shù)，求u(x,y,z)在條件下的最大值，令解方程組得唯一駐點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)u(x,y,z)取得最大值，所以，兩邊平方得 再令則有北京航空航天大學(xué)2005年數(shù)學(xué)競賽試題一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)五、(本題10分)六、(本題10分)七、(本題10分)北京航空航天大學(xué)2005年數(shù)學(xué)競賽試題答案一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)解：，于是，又由得三、(本題10分)解： 四、(本題10分)解：設(shè)，則在上半面曲線積分與路徑無關(guān)，五、(本題10分)解：設(shè)，六、(本題10分)解：由Gauss公式由積分中值定

14、理七、(本題10分)證明：(1) 令(x)=f(x)+x-1, g(x) 在0,1上可導(dǎo)，且g(0）=-1<0, g(1)=1>0,由零點(diǎn)存在定理，存在使，即，(2) 在上用拉格朗日中值定理得，存在使 ；于是。北京航空航天大學(xué)2004年數(shù)學(xué)競賽試題一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)五、(本題10分)六、(本題10分)七、(本題10分)北京航空航天大學(xué)2004年數(shù)學(xué)競賽試題答案一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)解：由得 ，而由，得 ，于是，所以三、(本題10分)解：由對稱性知，而，所以四、(本題10分)解：設(shè)，則 當(dāng)原點(diǎn)O(0,0)在L所圍區(qū)域的外部時(shí)，由Green公式得；當(dāng)原點(diǎn)O(0,0