北京航空航天大學歷年數學競賽答案

1、北京航空航天大學2012年數學競賽試題 一、填空題（每小題6分，共60分）1. .2. 設則 .3. 4. 函數的極大值為 .5.設，其中有三階連續(xù)導數，, ,則 .6. 已知函數在點處可微， 且在該點沿著向量和的方向導數分別為和，則在點處沿著向量的方向導數為 .7. 設:,則 .8. 設 則 9. 冪級數的和函數為 .10. 已知，且有一階連續(xù)偏導數，則= .二. 已知連續(xù)函數是周期為的偶函數，且. 設 求冪級數和函數.三. 設在區(qū)域上有連續(xù)的偏導數，且在邊界上取值為零. 求 四設為曲面上的動點，若曲面在點處的切平面與面垂直，求點的軌跡，并計算曲面積分， 其中的方向從軸正向看是逆時針方向.五

2、. 設函數在上有二階導函數，且在上的最小值在區(qū)間內部取得，最小值為. 證明存在，使得.北京航空航天大學2012年數學競賽試題答案一、填空題（每小題6分，共60分）1. 2.2. 設則.3. 4. 函數的極大值為 .5.設，其中有三階連續(xù)導數，, , 則.6. 已知函數在點處可微， 且在該點沿著向量和的方向 導數分別為和，則在點處沿著向量的方向導數為.7. 設:,則 .8. 設 則9. 冪級數的和函數為.10. 已知，且有一階連續(xù)偏導數，則=.二. 已知連續(xù)函數是周期為的偶函數，且. 設求冪級數和函數.解：（1）令，則.級數,.三. 設在區(qū)域上有連續(xù)的偏導數，且在邊界上取值為零. 求 解： 原式

3、=四設為曲面上的動點，若曲面在點處的切平面與面垂直，求點的軌跡，并計算曲面積分， 其中的方向從軸正向看是逆時針方向.解：設的坐標為,則曲面在點處法向量為，由題意知有，即，從而得的軌跡方程 .由斯托克斯公式有.或由格林公式有.曲線為是在面上的投影曲線.五. 設函數在上有二階導函數，且在上的最小值在區(qū)間內部取得，最小值為. 證明存在，使得.證明：設在上的最小值在點上達到，則由泰勒公式有，從而 ，=解得，,，（易求函數在內的最小值是8）.由導數的介值性知存在，使得.北京航空航天大學2010年數學競賽試題一.填空題（本題共60分）1. 設函數在區(qū)間內連續(xù)，對任意正數，有，且，則_2. 設 則_3. 已

4、知在內可導，且，則_4. 已知 則5. 當滿足_時，級數絕對收斂.6. _7. 已知，且在上有，則_8. 計算積分 _9. 設是八面體的表面，則積分=_10. 設由曲線與直線所圍的均勻薄片(面密度為)繞過原點的任意直線的轉動，則該轉動慣量中的最小值為_二. (本題10分) 設 , 試問中哪一個的變動對R影響最大?三、(本題10分) 已知 .（1）證明；（2）求 .四、(本題10分) 計算曲面積分 其中 的部分的外側.五、(本題10分) 求最小的實數C， 使得滿足的連續(xù)函數都有.北京航空航天大學2010年數學競賽試題答案一.填空題（本題共40分）1. 設函數在區(qū)間內連續(xù)，對任意正數，有，且，則_

5、2. 設 則_3. 已知在內可導，且，則_4. 計算廣義積分_5. _6. 已知，且在上有，則_7. 計算積分 _8. 設是八面體的表面，則_9. 設函數，直線是直、線在平面上的投影，求在點沿直線的方向導數_(規(guī)定與軸正向夾角為銳角的方向為的方向)10. 設由曲線與直線所圍的均勻薄片(面密度為)繞過原點的任意直線的轉動，則該轉動慣量中的最小值為_二. (本題10分) 求p的值，使解: 時 三、(本題10分) 設 , 試問中哪一個的變動對R影響最大?解 兩邊取全微分 故 , , 由于 , 所以 ， ， 因此的變動對R影響最大.4、 (本題10分)設 f(u) 為連續(xù)函數，L 為分段光滑的平面閉曲

6、線，求5、 解:因 f(u) 為連續(xù)函數，故存在，且有所以， 五、(本題10分) 已知, 求 解: (t = - x)= , , S(0)=0, , ，六、(本題10分) 設f(u) 在u=0 可導， f(0)=0, , 求 .解: 應用求坐標計算三重積分，有七、(本題10分) 求最小的實數C， 使得滿足的連續(xù)函數都有.解: 一方面 。另一方面， 取 , 則, 而因此最小的實數C=2。北京航空航天大學2009年數學競賽試題一、填空題（每題5分）1. 2. 設 則3. 當是等價無窮小，則4. 設 則5. 設 6. 求二重積分7. 已知 8設曲線起點和終點坐標依次為、，則變力沿該曲線做功為。9已知

7、，則10設有向曲面外側。則積分2、 設函數 試討論函數的奇偶性，并求 三、 設 試判別級數的斂散性.四、計算曲面積分 .其中是曲面介于兩平面之間的那部分表面的外側。五、 在曲面：內如何作內接長方體，才能使得長方體的體積最大？求最大體積。六、設函數在上連續(xù)，在內可導，滿足，且 試證明：在內至少存在一點 使得北京航空航天大學2009年數學競賽試題答案一、填空題（每題5分）1. 2. 設 則3. 當是等價無窮小，則4. 設 則5. 設 6. 求二重積分7. 已知 8設曲線起點和終點坐標依次為、，則變力沿該曲線做功為。9已知，則10設有向曲面外側。則積分二、 設函數 試討論函數的奇偶性，并求 解：，偶

8、函數。三、 設 試判別級數的斂散性.解：，因為所以此級數收斂。四、計算曲面積分 .其中是曲面介于兩平面之間的那部分表面的外側。解：作輔助平面上側，下側，五、 在曲面：內如何作內接長方體，才能使得長方體的體積最大？求最大體積。解：在第一卦限的上取一點做為長方體的頂點，則該長方體的體積為 設拉格朗日函數，解得最大體積為六、設函數在上連續(xù)，在內可導，滿足，且 試證明：在內至少存在一點 使得證明：設輔助函數則又由知，從而存在使得由羅爾定理知在內至少存在一點 使得，即有北京航空航天大學2008年數學競賽試題一填空題（每題4分，共40分） 二 (本題10分) 求三 (本題10分) 四(本題10分) 五(本

9、題10分) 已知函數為上的連續(xù)函數，且滿足方程,求的表達式.六 (本題10分) 七 (本題10分) . 求,其中C為曲線(R>0),若從 z軸正向看去，C為逆時針方向.北京航空航天大學2008年數學競賽試題答案一填空題（每題4分，共40分） 二 (本題10分) 求 解： =- =所以，= .三(本題10分) 四(10分). 解：,由 得 , .=, 五(本題10分) 已知函數為上的連續(xù)函數, 且滿足方程,求的表達式. 解： 顯然 , 由于等式兩邊關于t求導，得，于是有代入 , 得 C=1.故 ，. 六 (本題10分) 七 (本題10分) 求,其中C為曲線(R>0),若從 z軸正向看

10、去，C為逆時針方向.解 則法向量 ，由stokes公式得 （利用對稱性）.北京航空航天大學2007年數學競賽試題一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分) 設是的次多項式，。1. 證明對任意的正整數，有2. 證明對任意的正整數，有三、(本題10分) 已知函數計算四、(本題10分) 五、 (本題10分) 計算，其中L是從點A(-2,0)到點B(2,0)的任意一條分段光滑不經過原點的簡單曲線。六、(本題10分)七、(本題10分) 北京航空航天大學2007年數學競賽試題答案一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分) 設是的次多項式，。 1. 證明對任意的正整數，有2. 證明對任意的正整數，有

11、.解1 先證 所以對任意的正整數，有2 對任意的正整數，有設 則可得綜上所述, 證明對任意的正整數，有 3、 (本題10分) 已知函數計算解：4、 (本題10分) 解：，同理 所以5、 (本題10分) 計算，其中L是從點A(-2,0)到點B(2,0)的任意一條分段光滑不經過原點的簡單曲線。解：設 所以該積分當L在任何一個不包含原點的單連通區(qū)域內與路徑無關，當L在上半平面時， 取l:上半圓周；此時原式=當L在下半平面時， 取l:下半圓周；此時原式=。六、(本題10分)解：在上， 七、(本題10分) 證明：由拉格朗日定理，存在使得，存在使得于是由導函數的介值性知，存在 使得北京航空航天大學2006

12、年數學競賽試題一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分) 三、(本題10分) 四、(本題10分) 五、(本題10分) 六、(本題10分)七、(本題10分) 北京航空航天大學2006年數學競賽試題答案一、 填空題（本題共40分）2、 (本題10分) 解： 三、(本題10分) 解： ，4、 (本題10分) 解：，其中項的系數是-1，所以5、 (本題10分) 證明： 不等式等價于，即，設，有，設，根據得 當x>1時,所以，當x>1時, 于是f(x)單調減少,故b>a>1時3， f(b)<f(a), 即六、(本題10分)解一：七、(本題10分) 證明：對任何(x,y,

13、z)，做過該點的球面（球心在原點），設函數，求u(x,y,z)在條件下的最大值，令解方程組得唯一駐點，此時函數u(x,y,z)取得最大值，所以，兩邊平方得 再令則有北京航空航天大學2005年數學競賽試題一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)五、(本題10分)六、(本題10分)七、(本題10分)北京航空航天大學2005年數學競賽試題答案一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)解：，于是，又由得三、(本題10分)解： 四、(本題10分)解：設，則在上半面曲線積分與路徑無關，五、(本題10分)解：設，六、(本題10分)解：由Gauss公式由積分中值定

14、理七、(本題10分)證明：(1) 令(x)=f(x)+x-1, g(x) 在0,1上可導，且g(0）=-1<0, g(1)=1>0,由零點存在定理，存在使，即，(2) 在上用拉格朗日中值定理得，存在使 ；于是。北京航空航天大學2004年數學競賽試題一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)五、(本題10分)六、(本題10分)七、(本題10分)北京航空航天大學2004年數學競賽試題答案一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)解：由得 ，而由，得 ，于是，所以三、(本題10分)解：由對稱性知，而，所以四、(本題10分)解：設，則 當原點O(0,0)在L所圍區(qū)域的外部時，由Green公式得；當原點O(0,0