函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)

1、函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的極限與運(yùn)算1數(shù)學(xué)歸納法：(1)由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法.歸納法包含不完全歸納法和完全歸納法.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法.完全歸納法: 根據(jù)事物的所有特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法數(shù)學(xué)歸納法常與不完全歸納法結(jié)合起來(lái)使用,用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律, 用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.(2)數(shù)學(xué)歸納法步驟:驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)時(shí)結(jié)論成立;由假設(shè)當(dāng)（）時(shí),結(jié)論成立，證明當(dāng)時(shí),結(jié)論成立;根據(jù)對(duì)一切自然數(shù)時(shí)，都成立. 2.數(shù)列的極限(1)數(shù)列的極限定義:如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí),無(wú)窮數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)(即

2、無(wú)限地接近于),那么就說(shuō)數(shù)列以為極限,或者說(shuō)是數(shù)列的極限.記為或當(dāng)時(shí)，.(2)數(shù)列極限的運(yùn)算法則: 如果、的極限存在，且，那么； 特別地，如果C是常數(shù)，那么.幾個(gè)常用極限: （為常數(shù)）（均為常數(shù)且）首項(xiàng)為，公比為（）的無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為.注：并不是每一個(gè)無(wú)窮數(shù)列都有極限. 四則運(yùn)算法則可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，但不能推廣到無(wú)限個(gè)情況.數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的極限與運(yùn)算例1. 某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，若當(dāng)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得 （ ）(A)當(dāng)時(shí)，該命題不成立 (B)當(dāng)時(shí)，該命題成立(C)當(dāng)時(shí)，該命題成立 (D)當(dāng)時(shí)，該命題不成立例2. 用數(shù)學(xué)

3、歸納法證明:“”在驗(yàn)證時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為 ( ) (A)1 (B) (C) (D)例3. 等于( ) (A)2 (B)2 (C) (D) 例4. 等差數(shù)列中，若存在，則這樣的數(shù)列( )(A)有且僅有一個(gè) (B)有無(wú)數(shù)多個(gè) (C)有一個(gè)或無(wú)窮多個(gè) (D)不存在例5. 等于( ) (A) (B)0 (C) (D)不存在例6. 若，則( ) (A) (B) (C) (D) 例7. 在二項(xiàng)式和的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和記為是正整數(shù)，則= .例8. 已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，且，且，則 _ .例9. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和, 其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且0b1，若存在，則_例10. 若數(shù)列的通項(xiàng)，設(shè)數(shù)列

4、的通項(xiàng)，又記是數(shù)列的前n項(xiàng)的積（）求，的值；（）試比較與的大小，并證明你的結(jié)論例1.D 2.C 例3.A 例4.A例5. C 將分子局部有理化，原式=例6.A例7. 例8. 例9.1 例10(見(jiàn)后面)函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的極限(1) 函數(shù)的六種極限定義:的意義是當(dāng)自變量取正值并且無(wú)限增大時(shí),無(wú)限趨進(jìn)于一個(gè)常數(shù);的意義是當(dāng)自變量取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),無(wú)限趨進(jìn)于一個(gè)常數(shù);都存在,且等于;的意義是當(dāng)自變量從右側(cè)(即)無(wú)限趨近于常數(shù)（但不等于）時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù);的意義是當(dāng)自變量從右側(cè)(即)無(wú)限趨近于常數(shù)（但不等于）時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù);的意義是當(dāng)自變量無(wú)限趨近

5、于常數(shù)（但不等于）時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù); 注: ,都存在,且等于;(2)函數(shù)極限的運(yùn)算法則: 如果,存在,且,那么,.這些法則對(duì)于其他情況仍然成立.幾個(gè)常用極限：；（01）;（1）2.函數(shù)的連續(xù)性: (1)定義:如果函數(shù)在點(diǎn)處及其附近有定義,而且,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).(2)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是.注:等式的含義有三點(diǎn):在點(diǎn)處及其附近有定義; 存在; 在點(diǎn)處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值.(3) “ 函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)”就說(shuō)的圖象在點(diǎn)處間斷.(4) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù): 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù),就說(shuō)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù); 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù),并且,就說(shuō)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).(5

6、)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù).(6) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖象是坐標(biāo)平面上的一條有始點(diǎn)和終點(diǎn)的連續(xù)曲線.它有如下性質(zhì): (最大值和最小值定理)若是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則在閉區(qū)間上有最大、最小值.零點(diǎn)定理：若是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且,則方程在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解. 介值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值，那么對(duì)于之間任意的一個(gè)數(shù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得（）.函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性例11. 例12. ( ) (A) (B)1 (C)2 (D)0例13. 已知，則b的值為 ( ) (A)4 (B)5 (C)4 (D)5例14. 極限存在是函數(shù)在點(diǎn)

7、處連續(xù)的（ ）(A)充分而不必要的條件 (B)必要而不充分的條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要的條件例15. 如果是連續(xù)函數(shù)，則等于（ ）(A)1(B)0(C)1(D)2例16. 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則等于（ ） (A) (B) (C) (D)例17.函數(shù)在x=1處不連續(xù)是因?yàn)? )(A)f(x)在x=1處無(wú)定義 (B)f(x)不存在(C)f(x)f(1)(D)f(x)f(x)例18. 為使函數(shù)在處連續(xù)，則定義_.例19. 設(shè)若函數(shù),則的定義域?yàn)?.例20. 已知，當(dāng)a，b取值何值時(shí)，存在，其值為多少.例11. 例12.A 例13.B 例14B.例15.C 例16.B 例17.C例1

8、8. 例19. (例20(見(jiàn)后面)導(dǎo)數(shù)1.曲線的切線和切線的斜率: 曲線在點(diǎn)處的切線,是指曲線上點(diǎn)的鄰近點(diǎn)沿曲線逐漸向點(diǎn)接近時(shí),割線的極限位置所在的直線.根據(jù)切線的定義,切線的斜率應(yīng)通過(guò)極限過(guò)程求得,即.2.瞬時(shí)速度: 非勻速直線運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻的臨近時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度(=),當(dāng)時(shí), 的極限值叫做物體在時(shí)刻的速度,也叫瞬時(shí)速度.即3.導(dǎo)數(shù)的定義: 設(shè)是函數(shù)定義域的一點(diǎn)，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱為函數(shù)在點(diǎn)到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.由定義可知函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率. 也就

9、是說(shuō)，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率是，切線方程為注：是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)榭烧?，可?fù)，但不為零.函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)與點(diǎn)處可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么點(diǎn)處連續(xù).事實(shí)上，令，則相當(dāng)于.于是.如果點(diǎn)處連續(xù)，那么在點(diǎn)處可導(dǎo)，是不成立的.例：在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不可導(dǎo)，因?yàn)椋?dāng)0時(shí)，；當(dāng)0時(shí)，故不存在. 4.導(dǎo)函數(shù): 函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都存在,就說(shuō)在內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)也是內(nèi)的函數(shù),這一新函數(shù)叫做在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),記作或(需指明自變量時(shí)記作) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值就是在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).注：可導(dǎo)的奇函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù). 可導(dǎo)的偶函數(shù),

10、其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).導(dǎo)數(shù)5.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ; ; ; .6.可導(dǎo)法則: 推廣:; ;(為常數(shù));復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)注： 必須是可導(dǎo)函數(shù). 若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)，則在處均不可導(dǎo)，但它們和在處均可導(dǎo).7.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性的方法:一般地,設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果,則為增函數(shù); 如果則為減函數(shù);如果,則為常數(shù)函數(shù).注： 是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)，同樣也是f（x）遞減的充分非必要條件.一般地，如果在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)

11、均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.函數(shù)的極值: 一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義,如果對(duì)附近的所有的點(diǎn),都有,則是的一個(gè)極大值;如果對(duì)附近的所有的點(diǎn),都有,則是的一個(gè)極小值.注:求可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)可用導(dǎo)數(shù)來(lái)找,極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn). 若點(diǎn)是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則=0. 但反過(guò)來(lái)不一定成立. 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零. 例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點(diǎn).又例如：函數(shù)，在點(diǎn)處不可導(dǎo)，但點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn). 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，()如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極大值；()如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極小值.也

12、就是說(shuō)是極值點(diǎn)的充分條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是=0. 此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn). 當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值?。ㄒ?yàn)楹瘮?shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.0不能得到當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明;但是，當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值 0函數(shù)的最值: 函數(shù)在區(qū)間上如果存在,若使得對(duì)區(qū)間內(nèi)任意都有,則叫最小值; 若使得對(duì)區(qū)間內(nèi)任意都有,則叫最大值;注: 一般地, 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在上必有最大值與最小值.極值與最值不是同一個(gè)概念. 極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.開(kāi)區(qū)間內(nèi)的最值點(diǎn)一定是

13、極值點(diǎn),反過(guò)來(lái)不成立.函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個(gè);最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個(gè)。導(dǎo)數(shù)例21. f(x)=ax3+3x2+2,若,則a的值等于( )(A) (B) (C) (D)例22. f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)、g(x)滿足f (x)g(x)，則 ( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)g(x)為常數(shù)函數(shù) (C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)為常數(shù)函數(shù)例23. 設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f ¢(x)的圖象可能為()例24. 已知曲線S:y=3xx3及點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P可向S引切線的條數(shù)為( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例25. 函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ） 例26. y=2x33x2+a的極大值為6，那么a等于( )(A)6 (B)0 (C)5(D)1例27. 函數(shù)f(x)x33x+1在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是( )(A)1，1 (B)3，