初中幾何輔助線做法大全修訂版

1、初中幾何輔助線做法大會修訂版IBMT standardization office IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18 線 、 角 、 相 交 線 、 平 行 線規(guī)律1.如果平面上有個點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩點畫一條 直線，一共可以畫出;1）條.規(guī)律2.平面上的A條直線量塞可把平面分成（|n（l）+l）個部分.規(guī)律3.如果一條直線上有a個點，那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為g a（a1）條.規(guī)律4.線段（或延長線）上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等于線段長的一半.例：如圖，6在線段力。上，材是血的中點，N是6。的中點.求證：；fc?V= - A

2、C 2證明：力是四的中點，N是歐的中點，A佐用佇-AS,瓜k- BC 22222：.MN-AC2練習：1.如圖，點。是線段四上的一點，步是線段6。的中點.求證：A佐一（A歷5。 22.如圖，點，在線段'上，"是月6的中點，*是的中點.求證：必用!6。 23.如圖，點3在線段上，N是的中點，也是肉的中點.求證：MN=1 - AB 2規(guī)律5.有公共端點的n條射線所構成的交點的個數(shù)一共有：aS-1）個.規(guī)律6.如果平面內有條直線都經(jīng)過同一點，則可構成小于平角的角共有2a G-1）個.規(guī)律7.如果平面內有a條直線都經(jīng)過同一點，則可構成a G-1）對對頂角.規(guī)律8.平面上若有n G23

3、）個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形一共可作出! A（221）（A2）個. 6規(guī)律9.互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90：規(guī)律10.平面上有白條直線相交，最多交點的個數(shù)為工白51）個.規(guī)律1L互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一半.規(guī)律12.當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內錯角的角平分線互相平行，同旁內角的角平分線互相垂直.例：如圖，以下三種情況請同學們自己證明.規(guī)律13.已知AB/DE,如圖,規(guī)律如下：規(guī)律14.成“8”字形的兩個三角形的一對內角平分線相交所成的角等于另兩個內角和的一半.例：已知，BE、應分別平分/板和N助C,若 /片45

4、°, N右55°,求的度數(shù).解：NA+ NAB人E+ NADENC+N以-N儂+得N月 + ZABE+ Z C+ /C密/E+ NADE+ ZE+ Z CBE：BE平分/ABC、龐平分:/AB打/CBE, /CD班/ADEJ2N 斤 N/1+NC：.ZE- (N月+N0 2N左45°, N 田55°,J NF50°三角形部分規(guī)律15.在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊構造三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利用三 邊關系定理及不等式性質證題.例：如圖，已知，、萬為月6。內兩點，求證：AB

5、+AOBD+DE+CE.證法（一）：將應向兩邊延長，分別交45、月。于收*在4%¥ 中，AM+ AN>MD+ DE+ AS©在MV中，.跖應在6E V中，G+A£>笈+得4V+ 4V+ MB+ 必+ CV+ NE> MD+ DE+ 庇+ BD+ CE:.AB+AO5D+DE+CE證法（二）延長物交于尸，延長應交小于G在月斷和和礎'中有，月 5+ AF> BD+ DG+ GF GF+ FO GE+ CE DG+ GE> DE+有月 6+力尸+ GF+FC+DG+ GE> BD+ DG+ GF+ GE+ CE+DE：.AB+

6、AO5D+DE+CE注意：利用三角形三邊關系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證 有關的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題.練習：已知：如圖產(chǎn)為內任一點，求證：-（46+6。+月。<PA+PB+ PC<A5+ BC+ AC 2規(guī)律16.三角形的一個內角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內角 的一半.例：如圖，已知物為月5C的角平分線，切為月6。的外角乙4"的平分線，它與劭的延長線交于求證：ZA=2ZD證明：£?、Q?分別是N妣；N月"的平分線J N月叱2N1, ZABO2Z2'：ZA=ZACE- Z ABC

7、，N 月二2N1-2N2，N 月二2N，規(guī)律17.三角形的兩個內角平分線相交所成的鈍角等于90。加上第三個內角的一半.例：如圖，BD、切分別平分N板；ZACB,求證：ZBDOW+ - ZA 2證明：:BD、67?分別平分N"。、NACBNA+2N1 + 2N2 = 1800A2(Z1 + Z2) =180° /VZ618O°-(Z1 + Z2)A (Zl + Z2)=180°-Z?6把式代入式得2 (180° ZBDO =180° N 月即：36002N180°2月2/初廿180°+/月，N瓦H90°+

8、- ZA 2規(guī)律18.三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90。減去第三個內角的一半.例：如圖，BD、切分別平分N易0、AFCB,求證：ZBDOW- - ZA 2證明：'：BD、切分別平分N易0、ZFCB：.ZEBO2Z1. ZFC&-2Z2：.2Z1=ZA+ZACB)2Z2=ZA+ZABC+得2 (Z1 + Z2) =ZA+ ZABC+ ZACB+ ZA2 (Z1 + Z2) =180°+ZA：.(Z1 + Z2) =90'+ - ZA2.NEH18O°一(N1 + N2)，ZBD018Q0- (900+ - ZA)2，ZBDOW-1 NA2規(guī)

9、律19.從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差 (的絕對值)的一半.例：已知，如圖，在月6c中，Z6>Z5, AD1BC千D,力5平分N64C求證：ZEAD-(Zr-Z-5)2證明：月£平分N物。:班及/CA 后一/BAC 2./為仁180°(/6+/。：.AEAO- (180°(/3+/。) 2,：ADA. BC：.ZDAOW-ZC,：AEADAEAC- ADAC：.AEAD- (18O°(N5+N0) 2 (90° NO二90。(N5+N6)9(r+N。 2(NC-N 2如果把4?平移可以得到如下兩圖，

10、用_L6C其它條件不變，結論為/斷；(/。一N.注意：同學們在學習幾何時，可以把自己證完的題進行適當變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應變的能力.規(guī)律20.在利用三角龍的外角大王任何和宣丕相鄰的內角證明角的不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形外 角的位置上，小角處在內角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知，為月6C內任一點，求證：ZBDOZBAC證法（一）：延長劭交'于發(fā)： NBDC是叢EDC的外:./BDO/DEC同理：ZDEOZBAC：.ABDOZBAC證法（二）：連結49,并延長交比'于尸T

11、N瓦廠是救的外角，：.ABDF> ABAD同理，/BDF+ Z CDF> NBAD+ Z CAD即：ZBDOZBAC規(guī)律21.有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形.例：已知，如圖，月。為板的中線且N1=N2, Z3=Z4,求證：BE+ CF>EF證明：在物上截取將加，連結歷、A尸，plij DDC在核和 A比'中，DWDBZ1=Z2EDED:.XBD的 /NDEB及NE同理可證：CINF在4： ¥ 中，EN+FN>EF:BE+CF>EF規(guī)律22.有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形.例：已知，如圖，月為板的中

12、線，且N1=N2, N3=N4,求證：BE+ CF>EF證明：延長刃到M使。生龐，連結以FM£定和以必中，B廬CDZ1=Z5EDMD：./BDE/CDM，C始 BE又N1=N2, N3=N4Zl + Z2+Z3 + Z4=180°.N3 + N2=90°即NED拄9Q°J /FD拒/ED六90°瓦下和.吹中EDMD/FD忙/EDFD廣DF:./ED乂/MDFJ EFMF.在中，CF+ CM>MFBE+ CF> EF（此題也可加倍用,證法同上）規(guī)律23.在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三角形.例：已知，如圖，4?為板的

13、中線，求證：月6+>2”證明：延長四至£使助，連結應'月為板的中線:B廬CD在47?和日切中BDCDZ1=Z2ADED：./ACD/EBD; 月龐中有ABBE>AE：,AB+AO2AD規(guī)律24.截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段;補短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.當己知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法:例：已知,求證:AB-AOPB-PC證明:截長法：在月6上截取4仁月C,連結月VANACZ1=Z2A六AP：.POPN: 歐t中有 PB-PC<BN如圖，在"C中

14、，AB>AC. Z1=Z2,尸為助上任一點,：.PB-PC<AB-AC補短法：延長然至也 使4七奶，連結期在月歐和兒四中AB=AMZ1=Z2AP=AP，月區(qū)咤即，P斤 PM乂 在比V 中有 Of> PM- PC：.AB-AOPB-PCW的角平練習：1.已知，在板中，/后60°,四、CE是分線，并且它們交于點。求證：AOAECD2.已知，如圖，月6勿/1=N2, N3=N4.求證：BOAB+ CD規(guī)律25.證明兩條線段相等的步驟:觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所 在的三

15、角形全等.如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構造全等三角形.例：如圖，已知，BE、a?相交于尸，N后NC, Z1=Z2,求證：D4EF證明：: NAD六/B+N3N月比NC+N4又N3= N4N廬NCJ NADQNAEF在4F和在尸中NAg/AEFZ1=Z2AFAF：,/ADF/AEF：.DFEF規(guī)律26.在一個圖形中，有多個垂直關系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角 相等.例：已知，如圖心板中，月后；N物d90°,過月作任一條直線4V；作員于D,血4V于后求證：DBD-CE證明：V ZBA（=90°, BDVANAZ1 + N2=90°N 1 + Z

16、 3=90°AZ2=Z3,：BD A. ANCEA. ANJ ZBDA=ZAEOW在月班和竊萬中，ZBDA=ZAECZ2=Z3AB=AC：./ABD/CAE：BD=AE 且 AD=CE：.AE-ADBDCE DEBD- CE規(guī)律27.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：月為板的中線，且于尸，皿49的延長線于萬求證：BE=CF證明：（略）規(guī)律28.條件不足時延長已知邊構造三角形.例：已知力右劭，4M47于4 BCBD于B求證：ADBC證明：分別延長的、C5交于點、E'：ADX-ACBCVBD，NQ1FN 施生 90°在頌'和窗£中

17、ADBEACAE盼AC施匡。5:EHEC, EBEA：.ED-EA=EC-EB：.ADBC規(guī)律29.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，AB/CD. AD/BC求證：ABCD證明：連結月0（或初）AB/ CD. AD/BCAZ1=Z2在月6c和煙中，Z1=Z2A（=CAZ3=Z4，/ABC/CDA，止CD練習：已知，如圖，AB=DC, AD-BC, D拄BF,求證：B"DF規(guī)律30.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？蓺w結為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在斤t板中，AB=AC, ZBA(=90 Z1=Z2, £L劭的延長線

18、于5求證：/2CE證明：分別延長胡、工交于尸BEL CF，N班戶N龐白90°在町和應。中Z1=Z2B及BE/BE廣/BECJ C5F班-CF 2'：ABAOW,BELCF：.ZBAC=ZCAJWNl + N破仁 90°Zl + Z90°ZBDA=ZBFC在月初和中ZBA（=ZCAFNSDA=/BFCAB=AC：./ABD/ACF:.BHCF：.»2CE練習：已知，如圖，NACB=3N& N1=N2,于，求證：AB-AO2CD規(guī)律31.當證題有困難時，可結合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構造全等三角形.例：已知，如圖，AC.加相交于0,

19、且踞。C, AND,求證：N月二證明：（連結6a過程略） 規(guī)律32.當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB=DC, ZA=ZD求證：ZABOZDCB證明：分別取四、比'中點出M,連結出、AM、AC （過程略）規(guī)律33.有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角 兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，N1=N2,2為冊上一點，目FDLBC于D, AB+ BU2BD,求證：ZBAP+ ZBCP=180°證明：過尸作陽_胡于萬: PDLBC, Z1=Z2：,PE=PD在 RtXBPE 和 RtABPD 中B六BPP

20、EPD：.Rt/BPRt/BPD：.BE=BD: AB+BO2BD, BUCD+BD, ABBE-AE:.A 斤 CD： PE1BE, PDA.BCZPEB=APDOW在陶和W中PPDAPEBAPDCAE=CD，陶且胸:NPC取 NEAP NBAP+ N £4片 180°： NBAP+ NBCP=180°練習：1.已知，如圖，PA. R7分別是板外角NM4C與乙憶4的平分線，它們交于RPD1BM千M, PFLBN千F,求證：0為N.啰V的平分線2.已知，如圖，在月6。中，N被；100°, N月叱20°,"是二月的平分線，D是月。上一點

21、，若/的20°,求NC切的度數(shù)。求證：D打DF證明：連結M.。為6。中點，：.BDCD又AB=AC力平分N胡。: DE工 AB, DFA.AC:D打DF將腰延長一倍，構造直角三角形解題例：已知，如圖，月6。中，小AC,在為延長線和月C上各取一點艮F,使A及AF,求證：EFVBC證明：延長 應'到M 使AJAB,連結CNy則ABAN-AC:/斤/ACB, ZACNAANC,：Z5+ ZACB+ ZACN+ N4V后 180°：.2ZBCA-2ZACAp180°，N6C4+ ZACNW即 N6CX90°：.NCA.BCAEAF：.NAEQ/AFE又

22、ZBAOAAEF+ NAFEZBA（=ZACN+ZArC，N班d2/在產(chǎn)2N4VC，ZAEIZANC：.EF/NC:EFLBC常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線例：已知，如圖，在月6C中，AB=AC,，在四上，萬在力。延長線上，且法出連結加交房于尸求證：D六EF證明：（證法一）過，作必在；交6c于M 則N。'氏/月%, NM斤N£,? A & AC,，ZB=ZDNB，BD-DN乂： BD-CE，DEC在尸和氏尸中Z1=Z2/這廬4E淤EC：./DNF/ECF:.DFEF（證法二）過£作EM” AB交6。延長線于M則N日於N6 （過程略）常過一腰上的某一已

23、知點做底的平行線例：己知，如圖，月比'中，AB=AC, E在力。上，。在的延長線上,且止肅連結龐求證：DEA.BC證明：（證法一）過點歹作廳比'交朋于尸，則乙 AEH4C'：AB=AC，/廬/。，ZAFZAEF丁 ADAE：./AEK/ADE乂 : /AFE+ /AEF+ NAED+ N 血后 180°2N月日葉2N月吩90°即 NFEH9U:DE1FE義,： EF" BC：.DEX.BC（過程略）（證法二）過點，作¥比'交CA的延長線于A；（證法三）過點力作交應于M（過程略）常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形等邊三角形

24、例：已知，如圖，月比中，AB=AC, N的田80°,尸為形內一點，若/ PB010° N PCB=30°求N %的度數(shù).解法一：以四為一邊作等邊三角形，連結工則N雙斤N月脂60°AEABBE*： AB=AC：.AACZAB(=ZACB. NAE伉 NACE,? ZEAOZBAC- ZBAE=80° 60°=20°J NACE= 1 (180° AEAC) =80° 2ZACB= 1 (180° ABAC) =50°2：.ZBCZACE-ZACB二 80° 50°=3

25、0°:./PC母/BCETN月給/月歷50°, NAB及60°J NEBO/ABE- /月6伉 60°50三10°：.ZPBOZEBC在陽C和誠中ZPBOZEBCBOBCZPCBZBCE:B再BE A 斤 BEZ. ABBP：N班片NSPA? N AB片 N ABC- N陽白50° 10°二40°/. /PA齊-(180° AABP) =70°2解法二：以力。為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以優(yōu)'為一邊作等邊三角形況七 連結月月則E扶 EOBC, NBEO/EBO60°

26、EB=EC萬在6c的中垂線上同理在比'的中垂線上垂線瓦1所在的直線是比'的中：.EAA.BCNAEB=L 4BES=/PCB 2由解法一知：NR給50°，AABEAEBC- ZAB(=10°=ZPBC,? NAB&/PBC, BE=BC, AAEBAPCB：./ABE/PBC：.A氏BP:/BA 六/BPA,? NAB片NABC - NF除50° 10°二40°, NPA齊 L (180°-ZABP) = - (180°-40°) =70°22規(guī)律35.有二倍角時常用的輔助線構造等

27、腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在月6c中，Z1=Z2,4ABO2乙C,求證：AB+BD=AC證明：延長45到£使脂劭，連結龐則 NBED=/BDE ： NA盼/E+NBDE：.NABO2NE : /ABO2/C NFNC在月前和力儀?中NFNCZ1=Z2ADAD：,/AED/ACD：.AC=AE: AE=AB+BE:.A 伉 AB+BE即 AB+BDAC平分二倍角例：已知，如圖，在月6c中，BD工AC于D, ZBAO2ZDBC求證：ZABOZACB證明：作N為C的平分線然交6c于2 則N胡廬N。斤N如C'：BDVAC，/物+/90°/。&#

28、163;+/90°,? ZAE(=180o- Z CAE Z d90°：.AEA.BC：.ZABC+ N 創(chuàng)尺90°*： ZCA+Z(=90°ABAEVA CAENAB伉NACB加倍小角例：已知，如圖，在月6。中，BD1AC千D, ZBAO2ZDBC求證：ZABOZACB證明：作N/N歐麻交47于尸(過程略)規(guī)律36.有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結起來.例：已知，如圖，月6。中，AB=AC, N的右120°,"為月5的垂直平分線，EF交BC于F,交朋于£求證：BI-FC2證明：連結月尸，則月后麻:/齊 N

29、FAB; AB=AC：.ZB=ZC,? ZBAC=120°：.ZB=ZCZBA(=- (180°/物。二30°2, ZFAOZBAC- NQ1 廬 120°30三90°又：.AF-FC 2：.B-FC 2練習：已知，如圖，在月比'中，NC姐的平分線4?與比'的垂直平分線應交于點。歸_朋于M VJ_延長線于N求證：B后CN規(guī)律37.有垂直時常構造垂直平分線.例：已知，如圖，在XABC中，N比2NG ADIBC千D求證：CDABrBD證明：（一）在上截取D及DB,連結四，則AB=AE：NB=/AE5./后2/。:./AEF2/C乂

30、：/AE/C+/EAC：.ZOZEAC，止CE乂 丁 CD-DE+ CE：.CDBD+AB（二）延長到尸，底.DIDC,連結月尸則月后（過程略）規(guī)律38.有中點時常構造垂直平分線.例：已知，如圖，在月比'中，BO2AB, NABO2/C, B廬CD求證：月6C為直角三角形證明：過，作龐_1_60,交47于£,連結跖則嶼龍，：.ZOZEBC*： ZABO2ZC:NA5斤/EBCV BO2AB, BDCDJ B廬 AB在月龍和頌中ABBD練習：已知，如圖，在月6C中，ABAOW.A廬AC, P 為 BC上一點求證：PSPCPA規(guī)律40.條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角

31、形中.例：已知，如圖，在月5。中，N后45°, Z(=30°,止后,求47的長.解：過月作曲_L7于，：.NB+ NBAD=9G,斤45°, /氏NBA/A15。,：.ADBD,: A8=Aff+BD,般應止1VZ30", ADLBC：.AO2AI2四邊形部分規(guī)律4L平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.例：已知，6S&?的周長為60初，對角線作、M相交于點。，仍的周長比£%的周長多8m,求這個四邊形各邊長.解：四邊形題為平行四邊形，AB=CD, AD=CB, AO=CO月6+aH%+ 誨60月 0+月6+ OB-（如+6C+

32、 00 =8，月6+給30, AB-BOSJ 月反。19, BOAD=11答：這個四邊形各邊長分別為19c卬、11cm、19°卬、11cm.規(guī)律42.平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差.（例題如上）規(guī)律43.有平行線時常作平行線構造平行四邊形例：已知，如圖，Rt/XABC, N月份90°, CD LAB于。，平令4CAB交CD于F,過尸作加四交比'于H求證：CEBH證明：過尸作用交也于R則四邊形77身/為平行四邊形:/月/FPA, B+FPIN 月誨 90°, CD LABN5+N。后45°, ZB+ZCAB=

33、WAZ5=Z5AZ5=Z/4XVZ1=Z2, AFAF：./CAF/PAF：.CFFPVZ4=Z1 + Z5, N3=N2+N5J Z3=Z4：.CFCE練習：已知，如圖，AB/EF/GH. BEGC求證：A底EF+ GH的線段時常延長此線段.規(guī)律44.有以平行四邊形一邊中點為端點例：已知，如圖，在LJABCD中,止25C, M為熊中點、求證：CMA.DM證明：延長。V、&交于*.四邊形題為平行四邊形:止 BC, AD/BC，ZA=ZNBAZADZN乂 : ABM，AD-BN，BHBC AB=2BC, AAf=BM，B仁 BOBNAZ1=Z2, N3=NN N1 + N2 + N3 +

34、 N,W18O°, N1 + N3=9O°A CM A. DM規(guī)律45.平行四邊形對角線的交點到一組對邊距離相等.如圖：OE=OF規(guī)律46.平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一 半.如圖：S/BEO-SLJABCD 2規(guī)律47.平行四邊形內任意一點與四個頂點的連線所構成的四個三角形中，不相鄰的兩個三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半.如圖：S/AOB+ S/DOOS/BOC+ S/AOD-SLJABCD 2規(guī)律48.任意一點與同一平面內的矩形各點的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等.如圖：AO+

35、OCBO+DO規(guī)律49.平行四邊形四個內角平分線所圍成的四邊形為矩形.如圖：四邊形筋附'是矩形（規(guī)律45規(guī)律49請同學們自己證明）規(guī)律50.有垂直時可作垂線構造矩形或平行線.例：已知，如圖，£為矩形被力的邊柄上一點，且B氏ED,2為對角線劭上一點,PFLBE 千 F, PG上 AD 于 G求證：PF+ PHB證明：證法一：過尸作瓶1四于"則四邊形月如G為矩形：.AHGPPH/ AD：.4AD扭 4HPB:際DE:NEB廬/ADB：./HP斤/EBD乂 :/4廬N仍片90°:ZF的 XBHP，眸FP:"H+H斤 PG+PF即 AB-PG+PF（證明

36、略）證法二：延長。交6。于M則四邊形月5VG為矩形,規(guī)律51.直角三角形常用輔助線方法：作斜邊上的高 例：已知，如圖，若從矩形題的頂點。作對角線劭的垂線與的平分線交于點£求證：AOCE證明：過力作冊1劭，垂足為尸，則AF/EG：.NFAE=NAEG.四邊形板7?為矩形，ZBAD=WOA=OD，NBDA=NCAD*： AFX. BD：.NABD+ NAD扶 NABD+ N創(chuàng)片90°，ZBA/ZADB=ZCAD1月£為N屈”的平分線J NBA斤NDAE，A BAE- N BA 片 N DAE- ZDAC即N用斤N QIN：.ZCAZAEG，A(=EC作斜邊中線，當有下

37、列情況時常作斜邊中線:有斜邊中點時 例：已知，如圖，AD.緋是板的高，尸是應的中點，G是血的中點求證：GFA.DE證明：連結GE、GD；AD、龍是胸的高，G是月6的中點：.GE-AB. GI-AB 22:.G打 GD.尸是應的中點：.GFX.DE有和斜邊倍分關系的線段時例：已知，如圖，在月6。中，。是6。延長線上一點，且物，用于4 AO-BD 2求證：/月叱2N5證明：取劭中點£連結熊，則月后夠1班AZ1=Z5AO-BD2：.AC=AE，ZACB=Z2VZ2=Z1 + Z5AZ2=2Z5，NAC氏2NB規(guī)律52.正方形一條對角線上一點到另一條對角線上的兩端距離相等.例：已知，如圖，過

38、正方形抽對角線切上一點?，作用_L6C于后 作取LQ7于尸 求證：AIEF證明：連結月0、PC四邊形題為正方形，初垂直平分47, N66次90°：.AP=CP,：PE.BC, PF A. CD, ABCDW四邊形陶h為矩形，POEFA片EF規(guī)律53.有正方形一邊中點時常取另一邊中點.例：已知，如圖，正方形陽中，"為月6的中點，必L跖，即平分N鹿并交腑于N求證：吩必證明：取助的中點?，連結期，則勿勺味助2四邊形必力為正方形AD=AB, ZA=ZABO90°AZ1 + NA盼 90°, 乂 DM A. MNJN2+N4唳 90°AZ1=Z2.&qu

39、ot;為.46中點J4佐妗-AB 2J D片MBA 六 AMJ N月力上N4®45°J N 陽UL35°*： BN 平分 4CBE，N的仁乙奶C+ N箕90°+45°=135°即 ZDPAMBN，必慮啦V:D3仁MN注意：把豺改為月5上任一點，其它條件不變，結論仍然成立。練習：已知，0為正方形月砥?的邊的中點，尸為CQ上一點，且A六PC+BC求證：NBAP=2NQAD規(guī)律54.利用正方形進行旋轉變換旋轉變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端 點旋轉到另一位置的引輔助線方法.旋轉變換主要用途是把分散元

40、素通過旋轉集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件.旋轉變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例：已知，如圖，在月6C中，AB=AC, N的田90°,。為6。邊上任一點證明：把月初繞點火逆時針旋轉90°得月龍：HEN 斤/ACE丁 ZBA(=90aJ ADAEW：.DEADAEADTN5+N 月歷 90°，N8斤90°:.Cb+CR二DR：.2Ab=Bb+CI)注意：把/1%繞點月順時針旋轉90°也可，方法同上。練習：已知，如圖，在正方形必力中，匯為4?上一點，BF平/分4CBE交.CD千F求證：B打CF+ AE規(guī)律55.有以正方形一邊中點為

41、端點的線段時，常把這條線段延長，構造全等三角形.例：如圖，在正方形板7?中，E、尸分別是切、刃的中點，龍與6F交于尸點求證：APAB證明：延長6F交力的延長線于.四邊形題為正方形，上月后 CDDA Z BCD= ZD=Z BAD=9G,:E、尸分別是CD、%的中點，語-CDDFA 廣-AD 22J CEDF:./BC的XCDF：4CB我 4DCF9：NBCF+ ZDClW： NBCF+ NCB拄90° BEX. CF乂. N仄N優(yōu)加三90°后月尸N1二N 2尸J CDKA：.BA=KA乂 *： BELCF，AP=ABP在BC上,且練習：如圖，在正方形必力中，Q在切上，且。0

42、QC,AACD+ CP求證：力。平分N的尸規(guī)律56.從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形.例：已知，如圖，等腰梯形必力中，AD/BC,月分3,月后4, B(=7求N6的度數(shù)解：過力作力5Q?交歐于£則四邊形月及7?為平行四邊形，止跖CD=AE: AB=CD=4,止 3, BO1J B斤 A后 AB=4力應為等邊三角形/. N 后60°規(guī)律57.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉化成一個矩形和兩個三 角形.例：已知，如圖，在梯形板7?中，AD/BC. AB=AC, N為/90°, BFBC, BD交.AC于0求證：CO

43、 CD證明：過爾分別作月工LSC, DF工BC,垂足分別為£尸則四邊形月日叨為矩形:.A 拄 DF*： AB=AC, AEA,BC, ZBAOW,:.A及密舊、BC, N月語45° 2BOBD：.AEDF=-BD 2乂 YDFLBC，N龐白30°BDBC：.ABDOZBCD=-（180。一/?。?2=75°,? NDOO/DBC+ N月份30°+45°=75°：.ZBDOADOC：.CUCD 規(guī)律58.從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉化成平行四邊形和三角形.例：已知，如圖，等腰梯形 45Q?中，AD/BC. A

44、CVBD. 4?+£10, DELBCT E 求應的長.解：過。作加'月£交6。的延長線于尸，則四邊形如72為平行四邊形 ：.AODF, ADCF.四邊形題為等腰梯形J AUDB :.BFFD '：DEX.BC：.B扭 E廣-BF 222=-X10=5 2: AC" DF、BDLAC:.BD1DF： B4FE：.DE=B打E六-師5 2答：龍的長為5.規(guī)律59.延長梯形兩腰使它們交于一點，把梯形轉化成三角形.例：已知，如圖，在四邊形板9中，有AB=DC, ZB=ZC, AIXBC求證：四邊形題等腰梯形證明：延長胡、CD,它們交于點£/后N

45、CJ EBEC乂 ABDC：.A 扶 DE：.AEADAEDA; NN+ ZEAD+ N 期=180°N5+NC+NF180°:.NEAH/B：.AD/BC四邊形題等腰梯形（此題還可以過一頂點作血或切的平行線；也可以過小，作灰的垂線）規(guī)律60.有梯形一腰中點時，常過此中點作另一腰的平行線，把梯形轉化成平行四邊形.例：已知，如圖，梯形的?中，AD/BC, E為CD中點,EFLAB于F求證：S梯形月氏次廳月5證明：過萬作必四，交月的延長線于M 交反7于此 則四邊形曲皿為平行四邊形'JEFA.AB：,SLJABNAB EF*： AD/BC：.N佐N%VC乂'： D

46、ECE4=42，困且頌，S/CES/DEM，S梯形A5C氏S五邊形月5'M+S金滬S五邊形ABNED+ S/DEM規(guī)律61.有梯形一腰中點時，也常把一底的端點與中點連結并延長與另一底的延長線相交，把梯形轉換成三角形.例：已知，如圖，直角梯形板7?中，AD/BC,月反L4?于4 D及EOBC求證：ZAEO3ZDAE證明：連結房并延長交49的延長線于A'*：AD/BC：.N3=NN乂 ： /1=/2EHEC，困也儂，B打 ENDWBC*：ABA-AD：.A打E距BE 4W4DAE：.ZAEB=ZN+ 4DA打2 4 DAE'：DE=BCBODNDE=DN，乙WN1*： N1

47、=424"/DAE，4/DAE：.NAEB+ Z2=2ZDAE+ A DAE即2月心3/龍志規(guī)律62.梯形有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線.例：已知，如圖，梯形必力中，AD/BC, AD<BC, E、尸分別是加、比'的中點，AEFLBC求證：N后NC證明：過E作EM AB、EN CD、交BC于M、N,則得0月5見UNCDE:AE=B.M, ABM ;EM、D班 CN, CDNE'：A 拄 DE:.B拒 CN又.： BQCF：.F拒 FN乂 ： EFLBC= N2'：AB/EM, CD/ENAZ1=Z5Z2=ZC規(guī)律63.任意四邊形的對角線互相垂直時，

48、它們的面積都等于對角線乘積的一半.例：已知，如圖，梯形被力中，AD/BC, AC與 劭交于0,且47_L劭，AC=4, BD=3.4,求梯形/枚的面積.解：'：ACLBD：.S/ABD-AO BD 2S4BC止 CO BD2，S 梯形 ABCDS/ABD+ S/BCD= -A0 BD+ ' CO BD 22=-(AO+CCf) BD 2即S梯形月6。1月。BD-X4X3.4 22=6.8答：梯形/崎面積為6. 8.規(guī)律64.有線段中點時，常過中點作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題.例：已知：月6。中，為四中點，5為6。的三等分點，(BE>CE) AE、CD交于點F

49、 求證：尸為切的中點證明：過，作加熊交6。于N。為月月中點BNEN乂 ： E為5c的三等分點:B牛E4CE'JDN/AE尸為切的中點規(guī)律65.有下列情況時常作三角形中位線.有一邊中點； 有線段倍分關系;有兩邊（或兩邊以上）中點.例：如圖,然為正方形月區(qū)初中/屈i。的平分線，然分別交劭、EC于F、E,Aa劭相交于o求證:OI-CE2證明:取的中點A；連結ON,則融為月工的中位線ON/CE. ON-CE2:46=/ONE 四邊形加為正方形 N3=N4=45°，N5=N3 + N1, Z6=Z4+Z2VZ1=Z2 Z5=Z6 ： 46=40NE NQT年 N5 OHOF：.OJCE

50、 2規(guī)律66.有下列情況時常構造梯形中位線有一腰中點有兩腰中點涉及梯形上、下底和例1：已知，如圖，梯形力£“中，AD/BC, N如戶90°"為的中點，連結房BE求證：AEBE證明：取血的中點尸，連結跖則EF/ADDAB=NEF會90°：.EFA.AB 廳'為月5的中垂線 .A 良 BE例2：從。的頂點板0句形外的任意直線必，引垂線A4'、%'、勿，垂 足分別為4、6'、，求證：AAf +CC'二班'+的' 證明：連結月G BD,它們交于點0,過。E,則 44' /OE/CC四邊形題為平行四邊

51、形：.AOCO：.Af E=C E：,AAf +CC' =20E同理可證：班'+如'=20E：,AAf +CC，=BS +如，規(guī)律67.連結任意四邊形各邊中點所得的四邊形為平行四邊形.規(guī)律68.連結對角線相等的四邊形中點所得的四邊形為菱形.規(guī)律69.連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為矩形.規(guī)律70.連結對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為正方形.規(guī)律71.連結平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各邊中點所得的四邊形分別為 平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形.規(guī)律72.等腰梯形的對角線互相垂直時，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長）.

52、以上各規(guī)律請同學們自己證明.（利用中位線證明） 規(guī)律73.等腰梯形的對角線與底構成的兩個三角形為等腰三角形.例：已知，如圖，等腰梯形板7?中，AB/CD, AB>CD. AD-BC,對角線物相交于0, NA=60°,且A 尸、"分別為勿、如、6c的中點求證：是等邊三角形證明：連結版CE四邊形題為等腰梯形：AD=BC, AOBD乂F6為公共邊，月區(qū)運胡C：.ZCAB=ZDBAJ 0 歸 OB,：N月好60° 460為等邊三角形又.尸為月0中點：.BFA.AC "為6。中點同理可證：，際 sc 2 .£、尸分別為勿、如中點，EI-AD 2*：

53、ADCB：.*EF，磔為等邊三角形規(guī)律74.如果矩形對角線相交所成的鈍角為120。，則矩形較短邊是對角線長的一半.例：已知，四邊形必力為矩形，對角線月G劭相交于點0,N月嶼120°.求證：A氏、BD 2（證明略）規(guī)律75.梯形的面積等于一腰的中點到另一腰的距離與另一腰的乘積.例：已知，如圖，梯形的?中，AD/BC, E為CD中點,EF1AB于F求證：S梯形ABCD=EFAB證明：過萬作必血，交4。的延長線于M交6。于A；則四邊形月5'"為平行四邊； EFLAB：.SLJABNMAB EF9： AD/BC：.&/MNC又Y D班 CE/k/2：.S/CENS/

54、DEMS梯形ABC&S五邊形月囪Q+S四"S五邊形ABNED+S/DEM規(guī)律76.若菱形有一內角為120%則菱形的周長是較短對角線長的4倍.例：已知，四邊形板7?是菱形,求證/廬物（證明略）相似形和解直角三角形部分規(guī)律77.當圖形中有叉線（基本圖形如下）時，常作平行線.例：已知，如圖，47為板的中線，尸為4月上任一點，CF交ADT E求證:答嚕證明：過尸作兩6。交助于N.AF _ FN FN _ EF南一前五一生乂 CFBD.AF EFAB EC規(guī)律78.有中線時延長中線（有時也可在中線上截取線段）構造平行四邊形.例：月為板的中線，5為機上一點，BE、工的延長線分別交他45于點以N求證：助V7/6C證明：延長4?至尸，使力，定，連結麻、5則四邊形班名為平行四邊形：.BF/CNCF/BM AN AE AE _ AM麗一節(jié)而一壇 AN AMNB MC規(guī)律79.當已知或求證中，涉及到以下情況時，常構造直角三角形.有特殊角時，如有30°、45, 60 120 135。角時.涉及有關銳角三角函數(shù)值