萬(wàn)有引力天體的運(yùn)動(dòng)

1、第十講萬(wàn)有引力天體的運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)擊1開(kāi)普勒定律第一定律（軌道定律）：所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。太陽(yáng)是在這些橢圓的一個(gè) 焦點(diǎn)上。第二定律（面積定律）：對(duì)每個(gè)行星來(lái)說(shuō)，太陽(yáng)和行星的連線（叫矢徑）在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。AS 1“面積速度”：_三二丄si nr （ 0為矢徑r與速度：的夾角）At 2第三定律（周期定律）：所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值相等。即：T2a32萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的.任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間引力的大小跟這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的設(shè)M為地球的質(zhì)量,g為地球表面的重力加速度.在地球表面附近（h ： ： R ）處

2、：GMmR2GM=9.8m/s 2 yR2在地球上空距地心r=R+h 處：gr =GM2 rOrg在地球內(nèi)部跟離地心r處：gr =GM2lr4 r332rrgRg3行星運(yùn)質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比.-GMm, rG =6.67 10J1N m2/kg2，稱為引力常量.重力加速度的基本計(jì)算方法動(dòng)的能量行星的動(dòng)能當(dāng)一顆質(zhì)量為m的行星以速度：繞著質(zhì)量為M的恒星做平徑為r的圓周運(yùn)動(dòng):Mm2r行星的勢(shì)能對(duì)質(zhì)量分別為M和m的兩孤立星系，取無(wú)窮遠(yuǎn)處為萬(wàn)有引力勢(shì)能零點(diǎn)， 當(dāng)m與M相距r時(shí)，其體系的引力勢(shì)能：E-GMmr仃星的機(jī)械能：E = Ek Ep m -GG -2r2r4宇宙速度和引力場(chǎng)

3、宇宙速度（相對(duì)地球）第一宇宙速度：環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的速度（環(huán)繞速度）第二宇宙速度：人造天體發(fā)射到地球引力作用以外的最小速度（脫離速度）第三宇宙速度：使人造天體脫離太陽(yáng)引力范圍的最小速度（逃逸速度）引力場(chǎng)、引力半徑與宇宙半徑.對(duì)于任何一個(gè)質(zhì)量為 M半徑為r的均勻球形體系都有類似于地球情況下的這兩個(gè)特征速度如果第二宇宙速度超過(guò)光速，即2GMr :c2在這種物體上，即使發(fā)射光也不能克服引力作用，最終一定要落回此物體上來(lái)，這就是牛頓理論的結(jié)論,r值被稱為引力半徑，記為近代理論有類似的結(jié)論，這種根本發(fā)不了光的物體，被稱為黑洞，這個(gè)臨界的rg2GM2C用地球質(zhì)量代入，得到rg 0.9 cm，設(shè)想地球全部質(zhì)量縮

4、小到1 cm以下的小球內(nèi)，那么外界就得不到這個(gè)地球的任何光信息.43如果物質(zhì)均勻分布于一個(gè)半徑為 r的球體內(nèi)，密度為p，則總質(zhì)量為M二二r33432G -兀 g P 又假設(shè)半徑r正好是引力半徑，那么rg3c得rg(3c8 G :)2此式表示所設(shè)環(huán)境中光不可能發(fā)射到超出rg的范圍，聯(lián)想起宇宙環(huán)境的質(zhì)量密度平均值為10-29g/cm3，這等于說(shuō)，我們不可能把光發(fā)射到1028cm以外的空洞，這個(gè)尺度稱為宇宙半徑.天體運(yùn)動(dòng)中一類應(yīng)用開(kāi)普勒定律的問(wèn)題，解這類問(wèn)題時(shí)一定要注意運(yùn)動(dòng)的軌道、面積、周期，但三者之間也是 有關(guān)聯(lián)的，正因?yàn)槿绱?，解題時(shí)要特別注意“面積速度”。例2 物體A由離地面很遠(yuǎn)處向地球下落，

5、落至地面上時(shí)，其速度恰好等于第一宇宙速度. 已知地球半徑R=6400 km.若不計(jì)物體在運(yùn)動(dòng)中所受到的阻力，求此物體在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。分析和解：物體落至地面時(shí)其速度值為第一宇宙速度值，即：- = . Rg上式中R為地球半徑，g為地球表面處的重力加速度。設(shè)A最初離地心的距離為r，則由其下落過(guò)程中機(jī)械能守恒，應(yīng)有：m： 2 -gME二-gME2Rr且 GM=gR聯(lián)立上三式可解得：r=2R物體在中心天體引力作用下做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度、加速度是變化的，可以將它看繞中心天體的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，將其短軸取無(wú)限小。這就是我們通常所說(shuō)的“軌道極限化”。物體A下落可以看成是沿著很狹長(zhǎng)的橢圓軌道運(yùn)行，其焦點(diǎn)非常接近此

6、橢圓軌道長(zhǎng)軸的 兩端，如圖6 2所示，則由開(kāi)普勒第一定律， 得知地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)則橢圓長(zhǎng)半軸為a=R圖62R）的圓軌道運(yùn)行的周期相又由開(kāi)普勒第三定律，物體沿橢圓軌道運(yùn)行的周期和沿繞地心（軌道不計(jì)為 等其周期為:再由開(kāi)普勒第二定律得:SoT11S ab ab, S0 = ab42天體質(zhì)量（密度）1 -：ab 1ab 42二 abR 二 R 3.146400 10332】g =（21） g1）2.06 103s9.8的計(jì)算問(wèn)題往往是由萬(wàn)有引力定律和向心力公式建立天體計(jì)算的基本方程,解題時(shí)一般要注意中心天體與運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星關(guān)系的建立,同時(shí)還要注意忽略微小量（次要因數(shù)）的問(wèn)題，這是解決這類問(wèn)題的兩個(gè)非常

7、重要的因數(shù)。例3新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400 km,且由通常的水形成的海洋覆蓋它所有的表面，海洋的深度為10km,學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn),當(dāng)把試驗(yàn)樣品浸入行星海洋的不同深度時(shí),各處的自由落體加速度以相G=6. 67 X 10-11N H7 kg 2。當(dāng)高的精確度保持不變?cè)嚽蟠诵行潜砻嫣幍淖杂陕潴w加速度已知萬(wàn)有引力常量分析和解：解本題的關(guān)鍵就在于首先要建立中心天體和運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星，才能運(yùn)用基本方程式求行星表面處的自由落體加速度，若把水視為運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星群，則關(guān)鍵是如何求中心天體的質(zhì)量。以R表示此星球的半徑，M表示其質(zhì)量，h表示其表面層海洋的深度， R0表示除海洋外星球內(nèi)層的半徑，r 表示海洋內(nèi)任

8、一點(diǎn)到星球中心的距離.貝V:R r R0 ,且R = R h,以p水表示水的密度.則此星球表面海洋水的總質(zhì)量為4 3434223m R水R0 i 水水(3Rq h 3R0h h)333因R»h,略去h高次項(xiàng)，得 m =4二水R2hMmR2=mg表，GM(M -m)mGr2認(rèn)，goG( M - m)R2依題意：g表=g0，即:M _( M-m)_( M -m)R2 一R2_( R-h)222Rh hG 4- '水 R3hR2 2h11223362將 G= 6. 67 x 10- N m/kg , p 水=1. 0X 10 kg/m , R= 6.4 x 10 m 代入得：g 表

9、=2. 7 m/s 。類型三、天體運(yùn)動(dòng)的能量問(wèn)題要注意在軌運(yùn)行的衛(wèi)星的機(jī)械能，然后利用機(jī)械能的改變及功能原理來(lái)解題,這是因?yàn)樾l(wèi)星的運(yùn)行軌道變化既要注意其變軌機(jī)理，又要符合能量原理。f的微弱阻力作用，以r表示衛(wèi)星例4質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，在圓形軌道上運(yùn)行運(yùn)行中受到大小恒為軌道的平均半徑，M表示地球質(zhì)量，求衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中:(1) 軌道半徑的改變量 A r= ?(2) 衛(wèi)星動(dòng)能的改變量 A Ek=?分析和解：因衛(wèi)星沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，則1 2 GMm m"：=2 2r則衛(wèi)星的機(jī)械能為GMm2rGMm _ GMmr2r(1) 設(shè)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周軌道半徑改變量為r，則對(duì)應(yīng)機(jī)械能改變量為GMm

10、 GMm GMm z 11_(2( r ：r)2r 2 r r：r11“=r= 2 r r = r r (r ' =r) rGMm=r根據(jù)功能原理：3W=A E,即-2rf二2 r，.訂-，負(fù)號(hào)表示軌道半徑減小。2rGMm2r2(2)衛(wèi)星動(dòng)能的改變量為:"EkGMm GMm2( r 衍)2rGMm21r : -rGMm .2 r =2r23GMm /4二 r f、2( () = 2- rf天體運(yùn)動(dòng)的于由2r2 GMm速度問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)問(wèn)題:一個(gè)是擺脫引力場(chǎng)所需要的能量的問(wèn)題；一個(gè)是能量的來(lái)源問(wèn)題。而能量要么來(lái)源于燃料，要么來(lái)源于碰撞。例5宇宙飛行器和小行星都繞太陽(yáng)在同一平

11、面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，飛行器的質(zhì)量比小行星的質(zhì)量小很多，飛行器的速率為：° ,小行星的軌道半徑為飛行器軌道半徑的6倍。有人企圖借助飛行器與小行星的碰撞使飛行器飛出太陽(yáng)系，于是他便設(shè)計(jì)了如下方案：1 當(dāng)飛行器在其圓周軌道的適當(dāng)位置時(shí)，突然點(diǎn)燃飛行器上的噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得所需的速度，沿圓周軌道的切線方向離 開(kāi)圓軌道；飛行器到達(dá)小行星的軌道時(shí)正好位于小行星的前緣，速度的方向和小行星在該處速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；川小行星與飛行器的碰撞是彈性正碰。不計(jì)燃燒的燃料質(zhì)量.(1) 試通過(guò)計(jì)算證明按上述方案能使飛行器飛出太陽(yáng)系.(2) 設(shè)在上述方案中，飛行器

12、從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量為 Ei.如果不采取上述方案而令飛行器在圓軌道上突然 點(diǎn)燃噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)，經(jīng)過(guò)極短時(shí)間后立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，以使飛行器獲得足夠的速度沿圓軌道切線方向離開(kāi)圓軌道后能直接飛出太陽(yáng)系采用這種辦法時(shí)飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量的最小值用E2表示.冋Ei為多少?E2分析和解：(1)設(shè)太陽(yáng)的質(zhì)量為 M,飛行器的質(zhì)量為 m飛行器繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R。根據(jù)所設(shè)計(jì)的方案，可知飛行器是從其原來(lái)的圓軌道上某處出發(fā)，沿著半個(gè)橢圓軌道到達(dá)小行星軌道上的.該橢圓既與飛行器原來(lái)的圓軌道相切， 又與小行星的圓軌道相切. 要使飛行器沿此橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，應(yīng)點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)使飛行器的速度在極短時(shí)間內(nèi)，由-0變?yōu)槟骋恢礥0.

13、設(shè)飛行器沿橢圓軌道到達(dá)小行星軌道時(shí)的速度為u,因?yàn)榇笮閁0和u的這兩個(gè)速度的方向都與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，由開(kāi)普勒第二定律可得uo R= 6 Ur(1)由能量關(guān)系，有1 2 M om 12 M ommuo -Gmu -G2 R 26R由萬(wàn)有引力定律,(3)解(1) (2) ( 3)三式得Uo =0V,(4), U =(5)設(shè)小行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的速度為小行星的質(zhì)量為M由萬(wàn)有引力定律G MoM2 =M(6RV26。，得 vGM6R 6R(6)可以看出V>u由此可見(jiàn),只要選擇好飛行器在圓軌道上合適的位置離開(kāi)圓軌道,使得它到達(dá)小行星軌道處時(shí)，小行星的前緣也正好運(yùn)動(dòng)到該處，則飛行器就能被小行星撞擊?？梢?/p>

14、把小行星看作是相對(duì)靜止的，飛行器以相對(duì)速度V -U射向小行星，由于小行星的的質(zhì)量比飛行器的質(zhì)量大得多，碰撞后，飛行器以同樣的速度V - U彈回,即碰撞后，飛行器對(duì)小行星的速度的大小為V -u，方向與小行星的速度的方向相同，故飛行器相對(duì)太陽(yáng)的速度為 uV V -u =2V -u或?qū)?5) (6)式代入得u12/ 0(8)如果飛行器能從小行星的軌道上直接飛出太陽(yáng)系，它應(yīng)具有的最小速度為"亠 12 M 0mu2則有嚴(yán)2-G飛廠0得gm。1得 U21 3R 二3 0(9)可以看出5 = J3(V2 一寺10 ： 3 0 = u2(10)飛行器被小行星撞擊后具有的速度足以保證它能飛出太陽(yáng)系.(

15、2)為使飛行器能進(jìn)人橢圓軌道，發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)使飛行器的速度由 0增加到U0,飛行器從發(fā)動(dòng)機(jī)取得的能量/C、1212112 21252(3)E1mu0 - m： 0 m ： 0 - m 0 m 01202027020140(11)若飛行器從其圓周軌道上直接飛出太陽(yáng)系，飛行器應(yīng)具有最小速度為亠1 2M0mU3，則有一muf-G 002R由此得 u3 = . 2G M° 二(12)飛行器的速度由 0增加到U3,應(yīng)從發(fā)動(dòng)機(jī)獲取的能量為1 2 1 2E2 mu3 m 02 252所以旦=140.71E2122 m 02天體運(yùn)動(dòng)的宇宙速度問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)問(wèn)題:(13)(14)一個(gè)是擺脫引力場(chǎng)所需要的

16、能量的問(wèn)題；一個(gè)是能量的來(lái)源問(wèn)題。而能量要么來(lái)源于燃料，要么來(lái)源于碰撞。天體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能守恒二體系統(tǒng)的機(jī)械能E為系統(tǒng)的萬(wàn)有引力勢(shì)能與各天體的動(dòng)能之和。僅有一個(gè)天體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，則E為系統(tǒng)的萬(wàn)有引力勢(shì)能與其動(dòng)能之和。由于沒(méi)有其他外力作用，系統(tǒng)內(nèi)萬(wàn)有引力屬于保守力，故有機(jī)械能守恒，E為一恒量，如圖4-10-1所示，設(shè)M天體不動(dòng)，m天體繞M天體轉(zhuǎn)動(dòng)，則由機(jī)械動(dòng)能守恒，有-GMm 12-GMm 12Emv1mv2r-i2r22當(dāng)運(yùn)動(dòng)天體背離不動(dòng)天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，Ep不斷增大，而Ek將不斷減小，可達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí) Ep =0而Ek>0,則應(yīng)滿足E>0,即-GMmmv2 _0 r 2例如從地球發(fā)射人造衛(wèi)

17、星要掙脫地球束縛必有2GM »2Rg=11.2kmsR我們稱v=11.2km/s為第二宇宙速度，它恰為第一宇宙速度為 倍。另外在上面的二體系統(tǒng)中，由于萬(wàn)有引力屬于有心力，所以對(duì)mv r =恒量m而言，遵循角動(dòng)量守恒mvr sin v -恒量二是v與r方向的夾角。它實(shí)質(zhì)可變換得到開(kāi)普勒第二定律,即行星與恒星連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)面積等。天體運(yùn)動(dòng)的軌道與能量若M天體固定，m天體在萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng),其圓錐曲線可能是橢圓（包括圓）、拋物線或雙曲線。i ）橢圓軌道如圖4-7-1所示，設(shè)橢圓軌道方程為2 2X-丄=1a2 b2（a>b）則橢圓長(zhǎng)，短半軸為a、b，焦距c二v2 -b2，近地點(diǎn)速度v1，遠(yuǎn)地點(diǎn)速度v2，則有l(wèi) 12 GMm 12 GMmEmv1mv22a c 2a 十cmvda _c) = mv2(a c)或由開(kāi)普勒第二定律:尹心_c）v2(a c)2 2可解得W = f'(a +c)GM /(a -c) a召V2 = . (a -c)GM /(a c) a代入E得GMm2a：0ii）拋物線設(shè)拋物線方程為y = Ax2太陽(yáng)在其焦點(diǎn)（0,4A）處，則m在拋物線頂點(diǎn)處能量為可以證明拋物線頂點(diǎn)處曲率半徑GMm 11 嚴(yán)-4AGMm一丄A，則有mv02/ 匸二 GMm /(丄)24A得到拋物線軌道能量v0 =、8AGME