歷年考研數(shù)學二真題與答案09

1、2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題及答案解析一、選擇題：18小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).(1) 函數(shù)的可去間斷點的個數(shù)為 1 2 3 無窮多個【答案】【解析】由于,則當取任何整數(shù)時,均無意義.故的間斷點有無窮多個,但可去間斷點為極限存在的點,故應是的解.故可去間斷點為3個,即.(2) 當時,與是等價無窮小,則 【答案】【解析】 ,故排除.另外,存在,蘊含了,故排除.所以本題選.(3) 設函數(shù)的全微分為,則點 不是的連續(xù)點 不是的極值點 是的極大值點 是的極小值點【答案】【解析】因可得.,又在處,故為

2、函數(shù)的一個極小值點.(4) 設函數(shù)連續(xù),則 【答案】【解析】的積分區(qū)域為兩部分：,將其寫成一塊,故二重積分可以表示為,故答案為.(5) 若不變號,且曲線在點上的曲率圓為,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi) 有極值點,無零點 無極值點,有零點 有極值點,有零點 無極值點,無零點【答案】【解析】由題意可知,是一個凸函數(shù),即,且在點處的曲率,而,由此可得,.在上,即單調(diào)減少,沒有極值點.對于,(拉格朗日中值定理)而,由零點定理知,在上,有零點.故應選.（6）設函數(shù)在區(qū)間上的圖形為：則函數(shù)的圖形為【答案】 【解析】此題為定積分的應用知識考核，由的圖形可見，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個方面

3、的特征：時，且單調(diào)遞減。時，單調(diào)遞增。時，為常函數(shù)。時，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增。由于F(x)為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點，可見正確選項為。（7）設均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為. .【答案】 B 【解析】根據(jù)若分塊矩陣的行列式即分塊矩陣可逆（8）設均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且，若，則 為. . . .【答案】 A【解析】，即：二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）曲線在處的切線方程為 【答案】【解析】所以 所以 切線方程為（10）已知,則 【答案】【解析】因為極限存在所以（11） 【答案】0【解析】令 所以即 （12）設是由方

4、程確定的隱函數(shù)，則 【答案】【解析】對方程兩邊關于求導有，得對再次求導可得，得 當時，代入得（13）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 【答案】【解析】因為，令得駐點為。又，得，故為的極小值點，此時，又當時，；時，故在上遞減，在上遞增。而，所以在區(qū)間上的最小值為。(14)設為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若矩陣相似于，則 【答案】【解析】因為相似于，根據(jù)相似矩陣有相同的特征值，得到的特征值是，而是一個常數(shù)，是矩陣的對角元素之和，則。三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求極限【解析】（16）（本題滿分10 分）計算不定積

5、分 【解析】方法一：令得方法二： 即（17）（本題滿分10分）設，其中具有2階連續(xù)偏導數(shù)，求與【解析】（18）（本題滿分10分）設非負函數(shù)滿足微分方程，當曲線過原點時，其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積?！窘馕觥课⒎址匠痰闷渫ń鉃槿我獬?shù)令，則，微分方程變形為得到其中為任意常數(shù)即得到其中為任意常數(shù)又因為通過原點時與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，于是可得從而于是，所求非負函數(shù)又由可得，在第一象限曲線表示為于是D圍繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，其中（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中?！窘馕觥坑傻?，（20）（本題滿分12分）設是區(qū)間內(nèi)過的光滑曲線，當時，曲線上任一點處的

6、法線都過原點，當時，函數(shù)滿足。求的表達式【解析】由題意，當時，即，得，又代入得，從而有當時，得 的通解為 令解為，則有，得，故，得的通解為 由于是內(nèi)的光滑曲線，故在處連續(xù)于是由，故時，在處連續(xù)又當 時，有，得，當時，有，得 由得，即 故 的表達式為或，又過點，所以。（21）（本題滿分11分）（）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在可導，則存在，使得（）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導，且，則存在，且。【解析】（）作輔助函數(shù)，易驗證滿足：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且。根據(jù)羅爾定理，可得在內(nèi)至少有一點，使，即（）任取，則函數(shù)滿足；在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，從而有拉格朗日中值定理可得：

7、存在，使得又由于，對上式（*式）兩邊取時的極限可得：故存在，且。（22）（本題滿分11分）設，（）求滿足的所有向量（）對（）中的任一向量，證明：線性無關。【解析】（）解方程 故有一個自由變量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中為任意常數(shù) 解方程 故有兩個自由變量，令，由得令，由得求特解 故 ，其中為任意常數(shù)（）證明：由于 故 線性無關.（23）（本題滿分11分）設二次型（）求二次型的矩陣的所有特征值；（）若二次型的規(guī)范形為，求的值?！窘馕觥浚ǎ?（） 若規(guī)范形為，說明有兩個特征值為正，一個為0。則1) 若，則 ， ，不符題意2) 若 ，即，則，符合3) 若 ，即，則 ，不符題意綜上所述，

8、故2010考研數(shù)學二真題及答案一選擇題1.A0 B1 C2 D32.設是一階線性非齊次微分方程的兩個特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對應的齊次方程的解，則A B C D3.A4e B3e C2e De4.設為正整數(shù),則反常積分的收斂性A僅與取值有關 B僅與取值有關C與取值都有關 D與取值都無關5.設函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=AB C D 6.(4)= A B CD7.設向量組，下列命題正確的是：A若向量組I線性無關，則 B若向量組I線性相關，則rsC若向量組II線性無關，則 D若向量組II線性相關，則rs8. 設為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A B CD 二填空題9.3

9、階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解y=_10. 曲線的漸近線方程為_11. 函數(shù)12.13. 已知一個長方形的長l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當l=12cm,w=5cm時，它的對角線增加的速率為_14. 設A，B為3階矩陣，且三解答題15.16.(1)比較與的大小,說明理由. (2)記求極限17. 設函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程18. 一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為2b的橢圓。現(xiàn)將貯油罐平放，當油罐中油面高度為時，計算油的質(zhì)量。（長度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為）19.20.21. 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導，且

10、f(0)=0,f(1)=,證明：存在22.23.設，正交矩陣Q使得為對角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.答案：BACD BDAD9. 10.y=2x 11.12. 13.3cm/s 14. 3三解答題15.列表討論如下：x-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)-0+0-0+極小極大極小16.17.18解：S1S2yx 19解：20.21.22.23.2011年考研數(shù)學試題（數(shù)學二）一、選擇題1. 已知當時，函數(shù)A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.A B C D03. 函數(shù)的駐點個數(shù)為A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5設函數(shù)具

11、有二階連續(xù)導數(shù)，且，則函數(shù)在點（0，0）處取得極小值的一個充分條件A B C D6.設A IJK B IKJ C JIK D KJI7.設A為3階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B，再交換B的第二行與第一行得單位矩陣。記則A=A B C D8設是4階矩陣，是A的伴隨矩陣，若是方程組的一個基礎解系，則的基礎解系可為A B C D二、填空題9.10. 微分方程11.曲線的弧長s=_12.設函數(shù) ，則13.設平面區(qū)域D由y=x,圓及y軸所組成，則二重積分14.二次型，則f的正慣性指數(shù)為_三、解答題15. 已知函數(shù)，設，試求的取值范圍。16. 設函數(shù)y=y(x)有參數(shù)方程，求y=y(x)的數(shù)值和曲線

12、y=y(x)的凹凸區(qū)間及拐點。17. 設，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)g(x)可導，且在x=1處取得極值g(1)=1,求18. 設函數(shù)y(x)具有二階導數(shù)，且曲線l:y=y(x)與直線y=x相切于原點，記是曲線l在點（x,y)外切線的傾角，求y(x)的表達式。19.證明：1）對任意正整數(shù)n，都有2）設,證明收斂。20.一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞y旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲面由連接而成。（1）求容器的容積。（2）若從容器內(nèi)將容器的水從容器頂部全部抽出，至少需要多少功？（長度單位：m；重力加速度為；水的密度為）21.已知函數(shù)f(x,y)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,

13、，其中，計算二重積分。22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A為三階實矩陣，且（1）求A的特征值與特征向量；（2）求A 參考答案選擇題：CBCC ABDD填空題：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答題：15) 解：16.解：sss17.解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解：2012年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線漸

14、近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：（C）【解析】：，所以為垂直漸近線 ，所以為水平漸近線，沒有斜漸近線，總共兩條漸近線，選（C）。（2）設函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】： 所以，故選（C）。（3）設，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的(A)充分必要條件. (B)充分非必要條件.（C）必要非充分條件. （D）即非充分地非必要條件.【答案】：(B)【解析】：由于，是單調(diào)遞增的，可知當數(shù)列有界時，收斂，也即是存在的，此時有，也即收斂。反之，收斂，卻不一定有界，例如令，顯然有收斂，但是無界的。故數(shù)列有界是數(shù)列收斂的充分非必要條件，選(B)。

15、（4）設 (k=1,2,3),則有D（A） (B) (C) (D) 【答案】：(D)【解析】：由于當時，可知，也即，可知。又由于，對做變量代換得，故由于當時，可知，也即，可知。綜上所述有，故選(D).（5）設函數(shù)可微，且對任意 都 有，則使得成立的一個充分條件是(A) (B) (C) (D) 【答案】：(D)【解析】：，表示函數(shù)關于變量是單調(diào)遞增的，關于變量是單調(diào)遞減的。因此，當時，必有，故選D（6）設區(qū)域D由曲線圍成，則【答案】：（D）【解析】：區(qū)域D如圖中陰影部分所示，為了便于討論，再引入曲線將區(qū)域分為四部分。由于關于軸對稱，可知在上關于的奇函數(shù)積分為零，故；又由于關于軸對稱，可知在上關于

16、的奇函數(shù)為零，故。因此，故選（D）。（7）設其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知線性相關。故選（C）。（8）設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（B）【解析】：，則，故故選（B）。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設是由方程所確定的隱函數(shù)，則_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚簩⒋朐匠炭傻梅匠虄啥藢η髮В?，將、代入可得，所以再次求導得，再將、代入可得。（10）計算_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚涸剑?1）設,其中函數(shù)可微，則_?！敬鸢浮浚?

17、【解析】：因為，所以（12）微分方程滿足初始條件的解為_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚簽橐浑A線性微分方程，所以又因為時，解得，故.（13）曲線上曲率為的點的坐標是_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚簩⒋肭视嬎愎?，有整理有，解得，又，所以，這時，故該點坐標為（14）設為3階矩陣，,為的伴隨矩陣，若交換的第一行與第二行得到矩陣,則_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚?，其中，可知。三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）已知函數(shù)，記（1）求的值（2）若當時，是的同階無窮小，求【解析】：（1），即（2）,當時，由又因為，當時，與等價，故

18、，即（16）（16）（本題滿分10分）求的極值?！窘馕觥浚?，先求函數(shù)的駐點：令，解得駐點為.又對點，有所以，故在點處取得極大值.對點，有所以，故在點處取得極小值.（17）（本題滿分11分）過點（0，1）點作曲線的切線，切點為，又與軸交于點，區(qū)域由與直線及軸圍成，求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積?！窘馕觥浚喝鐖D設切點坐標為，斜率為，所以設切線方程為，又因為該切線過，所以，故切線方程為：切線與軸交點為（1）（2）（18）（本題滿分10分）計算二重積分，其中區(qū)域D為曲線與極軸圍成。【解析】： 令得，原式。（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足方程及1）求表達式2）求曲線的拐點【解析】：1）

19、特征方程為，特征根為，齊次微分方程的通解為.再由得，可知。故2）曲線方程為，則，令得。為了說明是唯一的解，我們來討論在和時的符號。當時，可知；當時，可知?？芍俏ㄒ坏慕?。同時，由上述討論可知曲線在左右兩邊的凹凸性相反，可知點是曲線唯一的拐點。（20）（本題滿分10分）證明：【解析】：令，可得當時，有，所以，故。而，即得，也即。當時，有，所以，故。而，即得，也即。當時，顯然有?？芍?，（21）（本題滿分11分）（1）證明方程，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根；（2）記（1）中的實根為，證明存在，并求此極限?！窘馕觥浚?(1)由題意得：令，則，再由，由零點定理得在至少存在一個零點，也即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個

20、實根。又由于在上是單調(diào)的，可知在內(nèi)最多只有一個零點。故方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根。（2）由于，可知（），進而有，可知（），比較（）式與（）式可知，故單調(diào)。又由于，也即是有界的。則由單調(diào)有界收斂定理可知收斂，假設，可知。當時，。（22）（本題滿分11分）設，（）求（）已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解?！窘馕觥浚海ǎǎ┛芍斠沟迷€性方程組有無窮多解，則有及，可知。此時，原線性方程組增廣矩陣為，進一步化為行最簡形得可知導出組的基礎解系為，非齊次方程的特解為，故其通解為線性方程組存在2個不同的解，有.即：，得或-1.當時, ，顯然不符，故.（23）（本題滿分11分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)

21、置，已知，且二次型。1）求2）求二次型對應的二次型矩陣，并將二次型化為標準型，寫出正交變換過程?！窘馕觥浚?）由可得，可知。2） 令矩陣解得矩陣的特征值為：對于得對應的特征向量為：對于得對應的特征向量為：對于得對應的特征向量為：將單位化可得：，令可將原二次型化為。2013年考研數(shù)學二真題及答案一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設，當時， （ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮?。–）與同階但不等價無窮小 （D）與等價無窮小【詳解】顯然當時，故應該選（C）2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導法則信函數(shù)在一點導數(shù)的定義【

22、詳解】將代入方程得，在方程兩邊求導，得，代入，知，故應該選（A）設，則（ ）（）為的跳躍間斷點 （）為的可去間斷點（）在連續(xù)但不可導 （）在可導【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點，則應該是連續(xù)點，但不可導應選（）設函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，其中當且僅當時才收斂；而第二個反常積分，當且僅當才收斂從而僅當時，反常積分才收斂，故應選（）設函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）【詳解】應該選（A）6設是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】由極坐標系下二重積分的計算可知所以，應該選（B）7設，均為階矩陣，若，且可

23、逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價【詳解】把矩陣A，C列分塊如下：，由于，則可知，得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示同時由于B可逆，即，同理可知矩陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價應該選（B）8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)【詳解】注意矩陣是對角矩陣，所以矩陣A=與矩陣相似的充分必要條件是兩個矩陣的特征值對應相等從而可知，即，為任意

24、常數(shù)，故選擇（B）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10設函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導數(shù) 【詳解】由反函數(shù)的求導法則可知11設封閉曲線L的極坐標方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 【詳解】所以答案為12曲線上對應于處的法線方程為 【詳解】當時，所以法線方程為，也就是13已知是某個二階常系數(shù)線性微分方程三個解，則滿足方程的解為 【詳解】顯然和是對應的二階常系數(shù)線性齊次微分方程兩個線性無關的解，由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為，其中為任意常數(shù)把初始條件代入可得，所以答案為14設是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= 【詳解】由條件可知，其中為A的伴隨矩陣，從而可知，所以可能為或0但由結(jié)論可知，可知,伴隨矩陣的秩只能為3，所以三、解答題15（本題滿分10分）當時，與是等價無窮小，求常數(shù)【分析】主要是考查時常見函數(shù)的馬克勞林展開式【詳解】當時，所以，由于與是等價無窮小，所以16（本題滿分10分）設D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值【詳解】由微元法可知；由條件，知17（本題滿分10分）設平面區(qū)域D是由曲線所圍