材料力學(xué)簡(jiǎn)明教材(電子版)

1、1-1 材料力學(xué)的任務(wù)1幾個(gè)術(shù)語(yǔ)構(gòu)件與桿件：組成機(jī)械的零部件或工程結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件統(tǒng)稱(chēng)為構(gòu)件。如圖 1-1a1-1a所示橋式起重機(jī)的主梁、吊鉤、鋼絲繩；圖 1-21-2 所示懸臂吊車(chē)架的橫梁 ABAB， 斜桿 CDCD 都是構(gòu)件。實(shí)際構(gòu)件有各種不同的形狀，所以根據(jù)形狀的不同將構(gòu)件 分為：桿件、板和殼、塊體 . .桿件：長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫向尺寸的構(gòu)件，其幾何要素是橫截面和軸線，如圖 1-3a1-3a 所示，其中橫截面是與軸線垂直的截面；軸線是橫截面形心的連線。按橫截面和軸線兩個(gè)因素可將桿件分為：等截面直桿，如圖1-3a1-3a、b b；變截面直桿，如圖 1-3c1-3c ;等截面曲桿和變截面曲桿如圖 1-

2、3b1-3b。板和殼 ：構(gòu)件一個(gè)方向的尺寸（厚度）遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向的尺寸，如圖 1-4a1-4a 和 b b 所示。塊體：三個(gè)方向（長(zhǎng)、寬、高）的尺寸相差不多的構(gòu)件， 如圖 1-4c1-4c 所示。在本教程中， 如未作說(shuō)明， 構(gòu)件即認(rèn)為是 指桿件。變形與小變形：在載荷作用下，構(gòu)件的形狀及尺寸發(fā)生變化稱(chēng)為變形， 如圖 1-21-2 所示懸臂吊車(chē)架的橫梁 AB,AB,受力后將由原來(lái)的位置彎曲到AB位置， 即產(chǎn)生了變形。小變形：絕大多數(shù)工程構(gòu)件的變形都極其微小， 比構(gòu)件本身尺寸要小得多， 以至在分析構(gòu)件所受外力（寫(xiě)出靜力平衡方程）時(shí)，通常不考慮變形的影響， 而仍可以用變形前的尺寸，此即所謂“原始尺

3、寸原理”。如圖 1-1a1-1a 所示橋式 起重機(jī)主架，變形后簡(jiǎn)圖如圖 1-1b1-1b 所示，截面最大垂直位移 f f 一般僅為跨度 l l 的 1/15001/15001/7001/700, B B 支撐的水平位移則更微小，在求解支承反力RARA、FBFB 時(shí)，不考慮這些微小變形的影響。2對(duì)構(gòu)件的三項(xiàng)基本要求強(qiáng)度：構(gòu)件在外載作用下，具有足夠的抵抗斷裂破壞的能力。例如儲(chǔ)氣罐不應(yīng) 爆破；機(jī)器中的齒輪軸不應(yīng)斷裂等。剛度：構(gòu)件在外載作用下，具有足夠的抵抗變形的能力。如機(jī)床主軸不應(yīng)變形 過(guò)大，否則影響加工精度。穩(wěn)定性 ：某些構(gòu)件在特定外載，如壓力作用下，具有足夠的保持其原有平衡狀 態(tài)的能力。例如千斤

4、頂?shù)穆輻U，內(nèi)燃機(jī)的挺桿等。構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題是材料力學(xué)所要研究的主要內(nèi)容。3.材料力學(xué)的任務(wù)1 1 研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；2 2 研究材料的力學(xué)性能；3 3）為合理解決工程構(gòu)件設(shè)計(jì)中安全與經(jīng)濟(jì)之間的矛盾提供力學(xué)方面的依據(jù) 構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題均與所用材料的力學(xué)性能有關(guān)， 因此實(shí)驗(yàn)研究 和理論分析是完成材料力學(xué)的任務(wù)所必需的手段。 1-2 變形固體及其基本假設(shè)在外力作用下，一切固體都將發(fā)生 變形，故稱(chēng)為變形固體，而構(gòu)件一般均由固 體材料制成，所以構(gòu)件一般都是變形固體。由于變形固體種類(lèi)繁多，工程材料中有金屬與合金，工業(yè)陶瓷，聚合物等，性 質(zhì)是多方面的，而且很復(fù)雜，因此在材

5、料力學(xué)中通常省略一些次要因素，對(duì)其 作下列假設(shè)：1 1 連續(xù)性假設(shè)：認(rèn)為整個(gè)物體所占空間內(nèi)毫無(wú)空隙地充滿物質(zhì)。2 2均勻性假設(shè)：認(rèn)為物體內(nèi)的任何部分，其力學(xué)性能相同。3 3.各向同性假設(shè)：認(rèn)為物體內(nèi)在各個(gè)不同方向上的力學(xué)性能相同。 1-3 外力及其分類(lèi)外力是外部物體對(duì)構(gòu)件的作用力，包括外加載荷和約束反力。1.按外力的作用方式分為：體積力和表面力1 1）體積力：連續(xù)分布于物體內(nèi)部各點(diǎn)上的力，如物體的自重和慣性力。2 2）表面力：作用于物體表面上的力，又可分為分布力和集中力。分布力是連續(xù) 作用于物體表面的力，如作用于船體上的水壓力等；集中力是作用于一點(diǎn)的力, 如火車(chē)輪對(duì)鋼軌的壓力等。2.按外力的性

6、質(zhì)分為：靜載荷和動(dòng)載荷1 1）靜載荷：載荷緩慢地由零增加到某一定值后，不再隨時(shí)間變化，保持不變或 變動(dòng)很不顯著，稱(chēng)為靜載荷。2 2）動(dòng)載荷： 載荷隨時(shí)間而變化。動(dòng)載荷可分為構(gòu)件具有較大加速度、受交變載 荷和沖擊載荷三種情況。交變載荷是隨時(shí)間作周期性變化的載荷； 沖擊載荷是物體的運(yùn)動(dòng)在瞬時(shí)內(nèi)發(fā)生 急劇變化所引起的載荷。1-4 內(nèi)力、截面法和應(yīng)力的概念1內(nèi)力由于構(gòu)件變形，其內(nèi)部各部分材料之間因相對(duì)位置發(fā)生改變，從而引起相鄰部 分材料間因力圖恢復(fù)原有形狀而產(chǎn)生的相互作用力，稱(chēng)為內(nèi)力。注意：材料力 學(xué)中的內(nèi)力，是指外力作用下材料反抗變形而引起的內(nèi)力的變化量， 也就是“附 加內(nèi)力”，它與構(gòu)件所受外力密切

7、相關(guān)。2截面法假想用截面把構(gòu)件分成兩部分， 以顯示并確定內(nèi)力的方法。 如圖 1-51-5 所示：（1 1） 截面的兩側(cè)必定出現(xiàn)大小相等，方向相反的內(nèi)力； （ 2 2）被假想截開(kāi)的任一部分 上的內(nèi)力必定與外力相平衡。例 1-11-1 鉆床如圖 1-6a1-6a 所示，在載荷 P P 作用下，試確定截面mm m 上的內(nèi) 力。解：（1 1）沿 m m m m 截面假想地將鉆床分成兩部分。 取 m m m m 截面以上部分進(jìn)行研 究（圖 1-6b1-6b） ，并以截面的形心 0 0 為原點(diǎn)。選取坐標(biāo)系如圖所示。（2 2） 為保持上部的平衡，m m m m 截面上必然有通過(guò)點(diǎn) 0 0 的內(nèi)力 N N 和

8、繞點(diǎn) 0 0 的力 偶矩 M M（3 3）由平衡條件2叫二= = 0 0因此用截面法求內(nèi)力可歸納為四個(gè)字：1 1）截：欲求某一截面的內(nèi)力，沿該截面將構(gòu)件假想地截成兩部分。2 2）?。喝∑渲腥我獠糠譃檠芯繉?duì)象，而棄去另一部分。3 3）代：用作用于截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對(duì)留下部分的作用力。4 4）平：建立留下部分的平衡條件，由外力確定未知的內(nèi)力。3.應(yīng)力參照?qǐng)D 1-71-7，圍繞 K K 點(diǎn)取微小面積 二。根據(jù)均勻連續(xù)假設(shè)，1111 上必存在分布內(nèi)力，設(shè)它的合力為 丄，二*與：J J 的比值為2 西匚是一個(gè)矢量，代表在 1111 范圍內(nèi)，單位面積上的內(nèi)力的平均集度，稱(chēng)為平均應(yīng)力。當(dāng) 1111

9、趨于零時(shí)，1 1 的大小和方向都將趨于一定極限，得到,.dPp = hm- Im =dA/稱(chēng)為 K K 點(diǎn)處的（全）應(yīng)力。通常把應(yīng)力/分解成垂直于截面的分量.：和切于截面的分量，叮稱(chēng)為正應(yīng)力，L稱(chēng)為剪應(yīng)力。應(yīng)力即單位面積上的內(nèi)力，表示某微截面積二_處內(nèi)力的密集程度。應(yīng)力的國(guó)際單位為 N/mN/m2， 且 1N/m=1Pa1N/m=1Pa （帕斯卡） ， 1GPa=1GN/r=101GPa=1GN/r=109Pa,Pa, 1MN/m=1MPa=10N/m1MN/m=1MPa=10N/m2=1O=1O6PaPa。在工程上，也用 kgkg/cm/cm2為應(yīng)力單位，它與國(guó) 際單位的換算關(guān)系為 1 1

10、kg/cmkg/cm2=0.1MPa=0.1MPa 1-5 變形與應(yīng)變對(duì)于構(gòu)件上任“一點(diǎn)” 材料的變形，只有線變形和角變形兩種基本變形，它們 分別由線應(yīng)變和角應(yīng)變來(lái)度量。通常用正微六面體（下稱(chēng)微單元體）來(lái)代表構(gòu)件上某“一點(diǎn)”。如圖 1-81-8，微 單元體的棱邊邊長(zhǎng)為 A A；- - /./.，變形后其邊長(zhǎng)和棱邊的夾角都發(fā)生了變化。變形前平行于 x x 軸的線段 MNMN 原長(zhǎng)為，變形后 M M 和 N N 分別移到 MM和N，二 Y Y 的長(zhǎng)度為二這里于是表示線段 MNMN 每單位長(zhǎng)度的平均伸長(zhǎng)或縮短，稱(chēng)為平均線應(yīng)變，若使趨近于零，則有一點(diǎn)線應(yīng)變Ax dx稱(chēng)為 M M 點(diǎn)沿 x x 方向的線

11、應(yīng)變或正應(yīng)變，或簡(jiǎn)稱(chēng)為應(yīng)變。線應(yīng)變，即單位長(zhǎng)度上的變形量，為無(wú)量綱量，其物理意義是構(gòu)件上一點(diǎn)沿某 一方向線變形量的大小。2. 角應(yīng)變 ；如圖 1-61-6，正交線段 MNMN 和 MLML 經(jīng)變形后，分別是；和。變形前后其角(氈度的變化是，當(dāng) N N 和 L L 趨近于 M M 時(shí)，上述角度變化的極限值是(2丿y = jitn顧期2丿稱(chēng)為 M M 點(diǎn)在 xyxy 平面內(nèi)的剪應(yīng)變或角應(yīng)變。剪應(yīng)變，即微單元體兩棱角直角的改變量，為無(wú)量綱量例 1-21-2 圖 1-9a1-9a 所示為一矩形截面薄板受均布力 p p 作用，已知邊長(zhǎng)I I =400mm=400mm 受力后沿 x x 方向均勻伸長(zhǎng) I

12、I =0.05mm=0.05mm 試求板中 a a 點(diǎn)沿 x x 方向的正應(yīng) 變。解：由于矩形截面薄板沿 x x 方向均勻受力，可認(rèn)為板內(nèi)各點(diǎn)沿 x x 方向具有正應(yīng) 力與正應(yīng)變，且處處相同，所以平均應(yīng)變即a a 點(diǎn)沿 x x 方向的正應(yīng)變。-:, x x 方向/400例 1-31-3 圖 1-9b1-9b 所示為一嵌于四連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)的薄方板，b=250mmb=250mm 若在 p p 力 作用下 CDCD 桿下移 b=0.025b=0.025，試求薄板中 a a 點(diǎn)的剪應(yīng)變。解：由于薄方板變形受四連桿機(jī)構(gòu)的制約，可認(rèn)為板中各點(diǎn)均產(chǎn)生剪應(yīng)變, 且處處相同。 1-6 桿件的基本變形形式桿件受力有各

13、種情況，相應(yīng)的變形就有各種形式，在工程結(jié)構(gòu)中，桿件的基本 變形只有以下四種：1.1. 拉伸和壓縮：變形形式是由大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合 的一對(duì)力引起的，表現(xiàn)為桿件長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)或縮短。如托架的拉桿和壓桿受力后 的變形（圖 1-101-10 ）。2.2. 剪切：變形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一對(duì)力引起的，表現(xiàn) 為受剪桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。如連接件中的螺栓和銷(xiāo)釘 受力后的變形（圖 1-111-11 ）。3.3. 扭轉(zhuǎn)：變形形式是由大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面都垂直于桿軸的一對(duì)力偶 引起的，表現(xiàn)為桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 如機(jī)器中的傳 動(dòng)軸受

14、力后的變形 （圖 1-121-12 ） 。4.4.彎曲： 變形形式是由垂直于桿件軸線的橫向力，或由作用于包含桿軸的縱向平面內(nèi)的一對(duì)大小相等、方向相反的力偶引起的，表現(xiàn)為桿件軸線由直線變?yōu)?受力平面內(nèi)的曲線。如單梁吊車(chē)的橫梁受力后的變形（圖1-131-13 ）。桿件同時(shí)發(fā)生幾種基本變形，稱(chēng)為組合變形。2-1軸向拉伸與壓縮桿件及實(shí)例軸向拉伸和壓縮的桿件在生產(chǎn)實(shí)際中經(jīng)常遇到， 雖然桿件的外形各有差異， 力卩 載方式也不同，但一般對(duì)受軸向拉伸與壓縮的桿件的形狀和受力情況進(jìn)行簡(jiǎn)化， 計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖 2-12-1。軸向拉伸是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生伸長(zhǎng) 變形，也簡(jiǎn)稱(chēng) 拉伸；軸向壓縮是在軸向力作用下，桿件產(chǎn)生

15、縮短變形，也簡(jiǎn)稱(chēng)壓縮。實(shí)例如 圖 2-22-2 所示用于連接的螺栓；如圖 2-32-3 所示桁架中的拉桿；如圖 2-42-4 所示汽車(chē) 式起重機(jī)的支腿；如圖 2-52-5 所示巷道支護(hù)的立柱。通過(guò)上述實(shí)例得知軸向拉伸和壓縮具有如下特點(diǎn):1.1.受力特點(diǎn)：作用于桿件兩端的外力大小相等，方向相反，作用線與桿件軸線 重合，即稱(chēng)軸向力。2.2.變形特點(diǎn)：桿件變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。= 100 x100.0252502-2橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力1 1內(nèi)力在圖 2-62-6 所示受軸向拉力 P P 的桿件上作任一橫截面 m m m m,取左段部分，并以內(nèi) 力的合力 匸代替右段對(duì)左段的作用力。由平衡條件

16、二-，得m由于（拉力），則亠: :-.11-.11合力匸的方向正確。因而當(dāng)外力沿著桿件的軸線作用時(shí)，桿件截面上只有一 個(gè)與軸線重合的內(nèi)力分量，該內(nèi)力（分量）稱(chēng)為軸力，一般用 N N 表示。若取右段部分，同理EX二0 0, ,知二 0 0, ,得N-P0 0 圖中艸的方向也是正確的。材料力學(xué)中軸力的符號(hào)是由桿件的變形決定，而不是由平衡坐標(biāo)方程決定。習(xí) 慣上將軸力 N N 的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉伸時(shí)，軸力 N N 為正；壓縮時(shí)，軸力 N N 為負(fù)。2 2軸力圖軸力圖可用圖線表示軸力沿軸線變化的情況。該圖一般以桿軸線為橫坐標(biāo)表示 截面位置，縱軸表示軸力大小。例 2-1 求如圖 2-7 所示桿件的內(nèi)力，并

17、作軸力圖 解：（1 1）計(jì)算各段內(nèi)力 ACAC 段：作截面 1 11 1,取左段部分（圖 b b）。由二. =1=1 得工一 - kNkN （拉力）CBCB 段：作截面 2 2 2,2,取左段部分（圖 c c），并假設(shè)方向如圖所示。由 IIII 得 U U 則：- - lUkNlUkN （壓力）.的方向應(yīng)與圖中所示方向相反。（2 2）繪軸力圖選截面位置為橫坐標(biāo)；相應(yīng)截面上的軸力為縱坐標(biāo)，根據(jù)適當(dāng)比例，繪出圖線 由圖 2-72-7 可知CBCB 段的軸力值最大，即 刀 二kNkN。注意兩個(gè)問(wèn)題: 1 1）求內(nèi)力時(shí)，外力不能沿作用線隨意移動(dòng)（如 P2P2 沿軸線移動(dòng)）。因?yàn)椴牧狭W(xué)中研究的對(duì)象是變

18、形體，不是剛體，力的可傳性原理的應(yīng)用是有條件的。2 2）截面不能剛好截在外力作用點(diǎn)處（如通過(guò) C C 點(diǎn)），因?yàn)楣こ虒?shí)際上并不存在 幾何意義上的點(diǎn)和線，而實(shí)際的力只可能作用于一定微小面積內(nèi)。3.3.軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力 1 1）由于只根據(jù)軸力并不能判斷桿件是否有足夠的 強(qiáng)度，因此必須用橫截面上的 應(yīng)力來(lái)度量桿件的受力程度。為了求得 應(yīng)力分布規(guī)律，先研究桿件變形，為此 提出平面假設(shè)。平面假設(shè)：變形之前橫截面為平面，變形之后仍保持為平面，而且仍垂直于桿 軸線，如圖 2-2-8 8所示。根據(jù)平面假設(shè)得知，橫截面上各點(diǎn)沿軸向的正應(yīng)變相同，由此可推知橫截面上 各點(diǎn)正應(yīng)力也相同，即等于常量。2 2

19、）由靜力平衡條件確定臂的大小由于二-丄 1 1，所以積分得N二adA二CE4式中：橫截面上的正應(yīng)力；橫截面上的軸力；一橫截面面積正應(yīng)力 J J 的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。對(duì)于圖 2-92-9 所示斜度不大的變截面直桿，在考慮桿自重（容重 ）引起的正應(yīng)力時(shí)，也可應(yīng)用（2-12-1 ）式咕牛（2-22-2 ）。其中AN廠P + .4，若不考慮自重，則 S例 2-22-2 旋轉(zhuǎn)式吊車(chē)的三角架如圖 2-102-10 所示，已知 ABAB 桿由 2 2 根截面面積為cmlcml 的角鋼制成，八* kN,kN,宀1111o o 求 ABAB 桿橫截面上的應(yīng)力。解：（1 1）計(jì)算 ABAB 桿

20、內(nèi)力則：（2-12-1CF=則二-二?kNkN (拉力)Ja a260X1260X13 34 4x x W-W- =119=119 7 7(2 2)計(jì)算 ABAB 桿應(yīng)力A10.86X2X1010.86X2X104 4MPaMPa例 2-32-3 起吊鋼索如圖 2-112-11 所示，截面積分別為心；cmicmi廣cm/;二m m 1 12 2 kNkN,材料單位體積重量：z=z=- -2S2SN/cmN/cm3 3，試考慮自重繪制軸力圖，并 求 s：。解:(1 1)計(jì)算軸力ABAB 段：取 1-11-1 截面 丁 二”一 . BCBC 段：取 2-22-2 截面 3-1 剪切及其實(shí)用計(jì)算取節(jié)

21、點(diǎn) A A 為研究對(duì)象，由平衡條件，得N朋sinsin 3030 - - P P1.工程上的剪切件通過(guò)如圖 3-13-1 所示的鋼桿受剪和圖 3-23-2 所示的聯(lián)接軸與輪的鍵的受剪情況，可 以看出，工程上的剪切件有以下特點(diǎn)：1 1）受力特點(diǎn)桿件兩側(cè)作用大小相等，方向相反，作用線相距很近的外力。2 2）變形特點(diǎn)兩外力作用線間截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)，由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?。（?jiàn)動(dòng)畫(huà)：受剪切作用 的軸栓）。因此剪切定義為相距很近的兩個(gè)平行平面內(nèi)，分別作用著大小相等、方向相對(duì)（相反）的兩個(gè)力，當(dāng)這兩個(gè)力相互平行錯(cuò)動(dòng)并保持間距不變地作用 在構(gòu)件上時(shí)，構(gòu)件在這兩個(gè)平行面間的任一（平行）橫截面將只有剪力作用， 并產(chǎn)生

22、剪切變形。2剪應(yīng)力及剪切實(shí)用計(jì)算剪切實(shí)用計(jì)算中，假定受剪面上各點(diǎn)處與剪力 Q Q 相平行的剪應(yīng)力相等，于是受式中：一剪力；一剪切面積；：一名義剪切力。剪切強(qiáng)度條件可表示為：一（3-23-2）式中：”一構(gòu)件許用剪切應(yīng)力。剪切面為圓形時(shí)，其剪切面積為：對(duì)于如圖 3-33-3 所示的平鍵，鍵的尺寸為：，其剪切面積為:(3-1(3-1)例 3-13-1 電瓶車(chē)掛鉤由插銷(xiāo)聯(lián)接，如圖 3-4a3-4a。插銷(xiāo)材料為 20#20#鋼，”二匚二匸 直徑1 :o掛鉤及被聯(lián)接的板件的厚度分別為；-皿匸和 -。牽引力- - II I I;。試校核插銷(xiāo)的剪切強(qiáng)度。解：插銷(xiāo)受力如圖 3-4b3-4b 所示。根據(jù)受力情況，

23、插銷(xiāo)中段相對(duì)于上、下兩段，沿 m m m m 和 n nn n兩個(gè)面向左錯(cuò)動(dòng)。所以有兩個(gè)剪切面，稱(chēng)為雙剪切。由平衡方程 容易求出e = -2 2插銷(xiāo)橫截面上的剪應(yīng)力為故插銷(xiāo)滿足剪切強(qiáng)度要求。例 3-23-2 如圖 3-83-8 所示沖床，一 kNkN，沖頭討MPaMPa 沖剪鋼板匚-MPaMPa 設(shè)計(jì)沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。7 =A解：（1 1）按沖頭壓縮強(qiáng)度計(jì)算;（2 2）按鋼板剪切強(qiáng)度計(jì)算 3-2 擠壓及其實(shí)用計(jì)算擠壓：聯(lián)接和被聯(lián)接件接觸面相互壓緊的現(xiàn)象，如圖3-53-5 就是鉚釘孔被壓成長(zhǎng)圓孔的情況。有效擠壓面：擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線平面上的投影。擠壓時(shí)，以1表示擠壓

24、面上傳遞的力，,表示擠壓面積，則擠壓應(yīng)力為民（3-33-3）式中：一材料的許用擠壓應(yīng)力，一般所以d 3.43.4cmcm如圖 3-73-7 所示例 3-33-3 截面為正方形的兩木桿的榫接頭如圖所示。已知木材的順紋許用擠壓應(yīng)力 1 11;.1;.F 免，順紋許用剪切應(yīng)力一 ，順紋許用拉應(yīng)力 I I ；1 1- - 若 P=40kNP=40kN 作用于正方形形心，試設(shè)計(jì) b b、a a 及解：1.1.順紋擠壓強(qiáng)度條件 為剪切強(qiáng)度條件為ba對(duì)于圓截面：丄-廣，如圖 3-6c3-6c 所示對(duì)于平鍵:2.2.順紋(a(a)J .ba2 240 x1040 x10s s8x108x10s s=50 xl

25、0w2P - 40皿H4OOiO4fn2(b(b)3 3. .順紋拉伸強(qiáng)度條件為聯(lián)立（a a）、（ b b）、（ c c）式，解得b 1L4= 114mmI 35A1 (T2m = 351mm a 4,4102m = 44mm例 3-43-42.52.5，挖掘機(jī)減速器的一軸上裝一齒輪，齒輪與軸通過(guò)平鍵連接，已知鍵所受的力為 P P= 12.1kN12.1kN。平鍵的尺寸為：b=28mmb=28mm h=16mMh=16mM =70mm=70mm 圓頭 半徑 R=R= 14m14m（圖3 31010）。鍵的許用切應(yīng)力【月=87MPa87MPa 輪轂的許用擠壓應(yīng)力 取孤=100MPa100MPa

26、試校核鍵連接的強(qiáng)度。解：（1 1）校核剪切強(qiáng)度 鍵的受力情況如圖 3 3 10c10c 所示，此時(shí)剪切面上的 剪力（圖 3 3 10d10d）為對(duì)于圓頭平鍵，其圓頭部分略去不計(jì)（圖3 3 10e10e）,故剪切面面積為A = blbi2-2R心(c)p210 x2弓lOlO5 lL76c?n3= !L76iO2所以，平鍵的工作切應(yīng)力Q _12100尸A 11.76 10l05Pa - 10,3MPa彳87MPa足剪切強(qiáng)度條件。(2 2)校核擠壓強(qiáng)度 與軸和鍵比較，通常輪轂抵抗擠壓的能力較弱。輪轂擠壓 面上的擠壓力為P P = 12100N12100N 擠壓面的面積與鍵的擠壓面相同，設(shè)鍵與輪轂的

27、接觸高度為，則擠壓面面積(圖 3 3- 10f)10f)為P 12100處”為=36MPa = - = LJ /有1（ 4-8a4-8a）dU =丄tdV對(duì)圖 4-84-8 所示線彈性關(guān)系（比例極限以內(nèi)），有:對(duì)圖 4-7b4-7b 所示受扭薄壁圓筒，由于其剪應(yīng)力與剪應(yīng)變均處處相同，則整個(gè)圓筒的變形能為- -r r_ _1 1 1 1m1 1. .V-JTV - - 2rii = m /二=22當(dāng)t !2（4 4- -8b8b）4-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度條件平面假設(shè)及變形幾何關(guān)系如圖 4-9a4-9a 所示受扭圓軸，與薄圓筒相似，如用一系列平行的縱線與圓周線將圓 軸表面分成一個(gè)個(gè)小方格，可

28、以觀察到受扭后表面變形有以下規(guī)律：（1 1）各圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一微小轉(zhuǎn)角，但大小，形狀及相互間距不變；方向的位移由零增至因此剪力所作的功為xiydz d禺（2 2）由于是小變形，各縱線平行地傾斜一個(gè)微小角度，認(rèn)為仍為直線；因而各小方格變形后成為菱形。平面假設(shè)：變形前橫截面為圓形平面，變形后仍為圓形平面，只是各截面繞軸線相對(duì)“剛性地” 轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。從圖 4-9a4-9a 取出圖4-9b4-9b 所示微段 dxdx , ,其中兩截面 pp,qqpp,qq 相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了扭轉(zhuǎn)角 d d ,縱線 abab 傾斜小 角度 成為 abab，而在半徑 （二7 7） 處的縱線 cdcd 根據(jù)平面假設(shè)， 轉(zhuǎn)過(guò)

29、 d d 后成為 cdcd （其相應(yīng)傾角為， 見(jiàn)圖 4-9c4-9c）由于是小變形，從圖 4-9c4-9c 可知：“-山。于是二一（a a）對(duì)于半徑為 R R 的圓軸表面（見(jiàn)圖 4-9b4-9b），則為（ b b）物理關(guān)系與受扭薄壁圓筒相同，在半徑為處截出厚為 d d 的薄圓筒（圖 4-9b4-9b），用一 對(duì)相距 dydy 而相交于軸線的徑向面取出小方塊（正微六面體）如圖 4-9c4-9c 此為受 純剪切單元體。由剪切胡克定理和式（a a）得：門(mén)（c c）這表明橫截面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，即當(dāng)_;當(dāng)”上，f 取最大值。由剪應(yīng)力互等定理，則在徑向截面和橫截面上，沿半徑剪應(yīng)力

30、的分布如圖 4-104-10。3靜力平衡關(guān)系T =心在圖 4-114-11 所示平衡對(duì)象的橫截面內(nèi)，有 - ，扭矩 二，由力偶矩平衡條件，得令1(4-94-9)此處 d d/dx為單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭角，對(duì)同一橫截面，它應(yīng)為不變量。二為幾 何性質(zhì)量，只與圓截面的尺寸有關(guān)，稱(chēng)為極慣性矩；單位為m m 或 cmcm4。砂T7= =: :G G = =-A（4-104-10 ）。 將（4-104-10）式代回（c c）式，得 單位為 m m 或 cmcm3。注意到此處許用剪應(yīng)力: :不同于剪切件計(jì)算中的剪切許用應(yīng)力。它由危險(xiǎn)剪 應(yīng)力匚除以安全系數(shù) n n 得到，與拉伸時(shí)相類(lèi)似：空刃比塑性材料脆性材料:

31、Sb b 由相應(yīng)材料的扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)獲得，大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，它與相同材料的 拉伸強(qiáng)度指標(biāo)有如下統(tǒng)計(jì)關(guān)系：塑性材料-一 ：；脆性材料 “對(duì)實(shí)心圓軸dA= 2砂圓軸則;工或（4-114-11）則在圓截面邊緣上,TR T為最大值“(4-124-12)W=-此處（4-134-13 ）：稱(chēng)為抗扭截面系數(shù),由此得圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件(4-14(4-14)對(duì)空心例 4-24-2 ABAB 軸傳遞的功率為-丄：，轉(zhuǎn)速-J J - - -。如圖 4-124-12 所示, 軸 ACAC 段為實(shí)心圓截面，C CB B段為空心圓截面。已知：，：。試計(jì)算ACAC 以及 CBCB 段的最大與最小剪應(yīng)力。解：(1 1)計(jì)算扭矩軸

32、所受的外力偶矩為m二95509550 = = 95509550 = = 199N199N1 1m mw w360360由截面法(2(2)計(jì)算極慣性矩 ACAC 段和 CBCB 段軸橫截面的極慣性矩分別為=d)= 6.38cm43 2ACAC 段軸在橫截面邊緣處的剪應(yīng)力CBCB 段軸橫截面內(nèi)、外邊緣處的剪應(yīng)力分別為-3L2xlO6Pa = 31.2 MPa G 23232(4-16(4-16)(3 3)計(jì)算應(yīng)力 為(4-15(4-15)TdA =2爲(wèi)NnD/216D16D(1一住)，八玄(】 4-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度條件式中二稱(chēng)為圓軸的抗扭剛度，它為 剪切模量與極慣性矩乘積。越大，則 扭轉(zhuǎn)

33、角越小。例 4-34-3 如圖 4-134-13 的傳動(dòng)軸，再-川r/minr/min，打 馬力，宀川：馬力，37廠刃。馬力，已知小 7 70 0MPaMPa 胡“ /m/m, & & = = 8 80 0 GPaGPa 求：確定 ABAB 和 BCBC 段直徑。mA=7024-=7024-= = 70247024解：1 1 )計(jì)算外力偶矩J J( (N N - - m m)叫=7024- = 2809 6扭轉(zhuǎn)角是指受扭構(gòu)件上兩個(gè)橫截面繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)角對(duì)于圓軸，由Tdx所以(rad(rad)(4-17(4-17)，為單位長(zhǎng)度相對(duì)扭角，則有T 1 1（ rad/mrad/m）扭轉(zhuǎn)的剛度條件:(

34、(rad/mrad/m)(4-18(4-18)=46.8x10 Pa =46.8MPaT(4-19(4-19)叫=70=70 朗些= 42144214 4 4nT 180c32Ti80由剛度條件-(mr)(mr)例 4-44-4 如圖 4-144-14 所示等直圓桿，已知_ KN-KN- m,m,試?yán)L扭矩圖。解：設(shè)兩端約束扭轉(zhuǎn)力偶為-(1(1)由靜力平衡方程、得:一 ； - -(a a) 此題屬于一次超靜定。由變形協(xié)調(diào)方程(可解除 B B 端約束)，用變形疊加法有 匚_1(b)(N(N m)m)作扭矩圖，如圖 4-13b4-13b 所示。T= =1671672 2)計(jì)算直徑八ABAB 段：由強(qiáng)

35、度條件,BCBC 段：同理，由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得由扭轉(zhuǎn)剛度條件(2 2)4 4 = =167167 x70 xWx70 xW(mm(mm-a+ 210丄當(dāng)時(shí)，截面成為狹長(zhǎng)矩形，此時(shí)，若以表示狹長(zhǎng)矩形的短邊長(zhǎng)度，則式（4-264-26）化為叫（4-284-28）Wr-h Ik= -h /其中，此時(shí)長(zhǎng)邊上應(yīng)力趨于均勻，如圖4-17d4-17d 所示 在工程實(shí)際結(jié)構(gòu)中受扭構(gòu)件某些橫截面的翹曲要受到約束（如支承處，加載面 處等）。此扭轉(zhuǎn)為約束扭轉(zhuǎn)，其特點(diǎn)是軸向纖維的長(zhǎng)度發(fā)生改變，導(dǎo)致橫截面 上除扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力外還出現(xiàn)正應(yīng)力。對(duì)非圓截面桿件約束扭轉(zhuǎn)提示：（1 1）對(duì)薄壁截面（如型鋼）將引起較大的正應(yīng)力。有關(guān)內(nèi)容

36、可參“開(kāi)口薄壁桿 件約束扭轉(zhuǎn)”專(zhuān)題；（2 2）對(duì)實(shí)心截面桿件（如矩形，橢圓形）正應(yīng)力一般很小可以略去，仍按自由 扭轉(zhuǎn)處理。例 4-64-6 某柴油機(jī)曲軸的曲柄截面II可以認(rèn)為是矩形的，如圖4-184-18。在實(shí)用計(jì)算中，其扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力近似地按矩形截面桿受扭計(jì)算。若:二二，卅一匚門(mén)，已知曲柄所受扭矩 為m =二，試求這一矩形截面上的最大剪應(yīng)力T77102102=4.64=4.64解：由截面I-I的尺寸求得查表，并利用插入法，求出-:于是得:T281“c= =-? ?-= = 198MP&198MP&0,2S7xi02xlO-0,2S7xi02xlO-z z（22xlO-22xlO-3 3） 4-8

37、 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)薄壁桿件：桿件的壁厚遠(yuǎn)小于橫截面的其他兩個(gè)尺寸（高和寬）。若桿件截面 壁厚中線是一條不封閉的折線或曲線，如圖4-19a4-19a，則稱(chēng)為開(kāi)口薄壁桿件。若為封閉的則稱(chēng)為閉口薄壁桿件（圖 4-19b4-19b）1.開(kāi)口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)可把截面視為一個(gè)狹長(zhǎng)矩形（圖 4-20a4-20a ）或幾個(gè)狹長(zhǎng)矩形的組合（圖 4-20b4-20b ）。 應(yīng)力和變形計(jì)算可引用狹長(zhǎng)矩形截面桿的結(jié)果。最后計(jì)算公式仍用（4-284-28 ），只是，X 意義作 適當(dāng)改變。（1 1）截面可展成一個(gè)狹長(zhǎng)矩形的，其中 h h 為截面展開(kāi)為狹長(zhǎng)矩形時(shí)的中線長(zhǎng)度， 如圖4-20b4-20b，-；。（2 2）截

38、面可視為 n n 個(gè)狹長(zhǎng)矩形組成的?？砂礄M截面投影形狀保持不變（剛周界） 假設(shè)，即根據(jù)各矩形的扭轉(zhuǎn)角）和整個(gè)橫截面扭角相同, 而整個(gè)截面U-能ml f ds融廬麗。由=硏可求得ds4 4 曲世）（4-3ia4-3ia）若壁厚巨不變,M!的扭矩 T T 等于各矩形截面承受的分扭矩之和（），得到:對(duì)于各種型鋼，考慮圓角和壁厚不均勻影響，對(duì)要乘以修正系數(shù) ，對(duì)角鋼二一，槽鋼丄，工字鋼.-02.閉口薄壁桿件受扭閉口薄壁桿件如圖 4-214-21 所示對(duì)橫截面上剪應(yīng)力的假設(shè)：（1 1）沿周邊的切 線方向作用；（2 2）沿壁厚均勻分布。當(dāng)壁厚變化時(shí)，則剪流有 H H 遼&川（常量）根據(jù)截面內(nèi)剪應(yīng)力組成扭矩

39、的條件：于是有T-2沁T加加端（4-304-30）W利用功能原理，對(duì)桿長(zhǎng)為 的整桿可寫(xiě)出扭轉(zhuǎn)力偶 m m 所做的功說(shuō)明：發(fā)生在壁最厚的矩形長(zhǎng)邊上此處J（積分代表截面中線所圍面積）m滬，變形tnls惟嚴(yán) 勺則常 QJ 有虻心(4-31b4-31b)。其中 s s 為截面中線的周長(zhǎng)。例 4-74-7 圖 4-224-22， 所示為開(kāi)口與閉口圓環(huán)薄壁桿件， 試比較二者的自由扭轉(zhuǎn)剪 應(yīng)力和扭角。設(shè)兩桿材料相同，并具有相同的長(zhǎng)度，平均半徑 r r 和壁厚。T T爲(wèi) =_ 三_L-h(1(1)開(kāi)口，( ( - -)T _ T_ Tls_77-2_77-2_7777(2(2)閉口召藥需石，(出=*)必4G4

40、G 一般發(fā)生在 l lkxkx 截面的中性軸上，此處彎曲正應(yīng)力，微元體處于純剪應(yīng)力狀態(tài)，b _ Emici仗LM SrJ仏-匸L Lr其強(qiáng)度條件為（6-126-12） 式中為材料的許用剪應(yīng)力。此時(shí)，一般先按正應(yīng)力的強(qiáng)度條件選擇截面的尺 寸和形狀，然后按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件校核。 6-5 薄壁截面的彎曲中心對(duì)于薄壁截面梁，若橫向力作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，梁將發(fā)生平面彎曲。若橫向 力沒(méi)作用在對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)，則力必須通過(guò)截面上某一特定的點(diǎn)，該點(diǎn)稱(chēng)為彎曲中心，且平行于形心主軸時(shí)，梁才能發(fā)生平面彎曲。否則， 梁在發(fā)生彎曲的同時(shí)， 還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)。確定彎曲中心的方法是，先假定在橫向力作用下梁發(fā)生平面彎曲，研究此時(shí)橫 截面上的剪應(yīng)力分布，求出剪應(yīng)力的合力作用點(diǎn)，此即彎曲中心。再根據(jù)內(nèi)外 力的關(guān)系，確定產(chǎn)生平面彎曲的加載條件?，F(xiàn)以圖示的槽形截面懸臂梁為例，說(shuō)明確定彎曲中心的方法。設(shè)橫向力通過(guò)點(diǎn)，且平行于形心主軸 y y，梁發(fā)生平面彎曲而沒(méi)有扭轉(zhuǎn)（6-10a6-10a）。此時(shí)梁