向量的概念與性質(zhì)

1、向量的概念與性質(zhì)一. 知識(shí)點(diǎn)1. 與向量概念有關(guān)的問(wèn)題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小記號(hào)“a b ”錯(cuò)了，而|a | | b |才有意義.有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)由于一切向量有其共性（力和方向），故我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量（既自由向量）當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要條件一 2 2單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為（x, y），其中x、y滿足x y = 1 （可 用（cos ,sin ） （

2、0w w 2n）表示）.零向量0的長(zhǎng)度為0,是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0僅僅是一個(gè)無(wú)方向的實(shí)數(shù)有向線段是向量的一種表示方法，并不是說(shuō)向量就是有向線段2 與向量運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題向量與向量相加，其和仍是一個(gè)向量（平行四邊形法則：起點(diǎn)相同，三角形法則：首尾相連） *當(dāng)兩個(gè)向量a和b不共線時(shí)，a*1-b的方向與a、b者E不相同，且|aa.ft.fb |v |a |+ |b |;W當(dāng)兩個(gè)向量a和b共線且同向時(shí)，*aWb、a、b的方向都相同，且|ab| |a| |b|;當(dāng)向量a和b反向時(shí)，若|a| |b|,fa b與a方向相同，且|afb|=|a|-| b|；f* fc- fc-若|a|v|b|時(shí),

3、a b與b方向相同，且wwr|a + b |=| b|-| a|向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算（三角形法則：起點(diǎn)相同，減向量重點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)）圍成一周首尾相接的向量（有向線段表示）的和為零向量如，AB BC CA 0,（在厶 ABC 中）AB BC CD DA 0 (口ABCD 中)判定兩向量共線的注意事項(xiàng)如果兩個(gè)非零向量 a , b，使a =入b (入R),那么a / b ；反之，如a / b，且b豐0,那么a = Ab .這里在“反之”中，沒有指出a是非零向量，其原因?yàn)?a=0時(shí)，與入b的方向規(guī)定為平行(4)向量的數(shù)乘運(yùn)算的定義：數(shù)乘運(yùn)算模的大小為：r

4、 ur(5)當(dāng) 0, a與a的方向相同；ruu當(dāng)0, a的方向與a的方向相反；r r當(dāng)0, a 0.(6 )數(shù)量積的8個(gè)重要性質(zhì)(a b a b cos ) 兩向量的夾角為0W n.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù) 設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量， 是a與b的夾角，貝U F *e a a e | a| cos .( |e| 1)rfc-r * a b a b 0 (v =90 , cos 0) 在實(shí)數(shù)運(yùn)算中ab=0 a =0或b=0.而在向量運(yùn)算中a b= 0 a = 0或b = 0是錯(cuò)7Fp誤的，故

5、a 0或b 0是a b=0的充分而不必要條件.TP- 當(dāng) a與 b 同向時(shí) a b= |a | | b |( =0,cos =1);當(dāng)a與b反向時(shí)，a b =- | a | | b |(= n,cos =-1)，即a / b的另一個(gè)充要條件是|a b| |a| |b|.2 2特殊情況有a a a = | a | .或 | a | = a a = . a = x2 y2 .如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1 , y!),( x2 , y2 ),則|a|= (X1 x2)2(% y2)2 |a b| |a| |b|。（因 |cos 數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如（a b） c a

6、（b c）.（因?yàn)椋╝ b） c與c共線，而a （b c）與a共線）數(shù)量積的消去律不成立若a、b、c是非零向量且b c并不能得到a b這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù),是無(wú)意義的.課堂訓(xùn)練A .1個(gè)B .2個(gè)C . 3個(gè)D . 4個(gè)1 1 - -(2a 3 2ark-2.化簡(jiǎn)8b)(4a2b）的結(jié)果是()A .2a bB .2b aC . b aD . a b()(2)7(a+b) 8b=7a+15b若 a= m + n ,b=4 m+4 n，則 a b1.下列各式計(jì)算正確的有(1)( 7)6a=-42 a(3)a 2b+ a+2 b=2 a3. 下列各式敘述不正確的是A.若az d則a、b不共線（入

7、R）B.b=3a（a為非零向量），則a、b共線3C .若 m=3a+4b,n= a+2 b,則 m / n24. 對(duì)于菱形 ABCD，給出下列各式：若 a+ b+c=0,貝U a+b=- c AB BC | AB CD | | AD BC |AB|BC|P 2 2 P 2| AC |2| BD |2 4| AB|其中正確的個(gè)數(shù)為A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)5.已知向量a與b反向，下列等式中成立的是A. |a|b| |a b|B. | a b | | a b |C. |a|b| |a b|D. |a| |b| |a b|6.在 ABC中AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn) 則A. AB與A

8、C共線B. DE與CB共線C. AD與AE相等D. AD與BD相等D. (a b)20C. (a b)(a b) 07. 已知向量 ei、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4 y)ei+(2x-3 y)e2=6ei+3 e2則x-y的值等于A. 3B. 3C.0D.2&已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, AB=a,BC =b, AC _c,則|a+ b+c|等于A. 0B. 3C.2D.2 . 29已知a、b是非零向量且滿足(a 2b)a,(b2a) b,則a與b的夾角是25A.B.C.D.633610.若非零向量a,b互相垂直，則下列各式中疋成立的疋I-*-t-b*rir_pA. a ba bB

9、.|a b| |ab|( )li-211. 已知菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為2,求向量AB CB+ CD的模的長(zhǎng).。12. 已知 |a| 4,|b| 3,a,b 的夾角為 120 ，且c a 2b , d 2a kb，當(dāng) c a 時(shí)，k=.向量的坐標(biāo)形式知識(shí)點(diǎn)若 a (xi,yj,b 化也)特別地：若 a/b，貝H若a b，貝Hr r貝 H a b r ra b ra =r ra b ra =cos uunA(X ,yi),B(X2，y2), AB二. 課堂訓(xùn)練uuuuuuuuuUJU1.已知 AB (2,3), BC (x,y),CD ( 1,4),則 DA 2. 設(shè) A(1, 3)和B(8, 1

10、),若點(diǎn) C(2a 1,a 2)在直線 AB上，貝U a mj/n uwhiit3. 設(shè)點(diǎn) A(2,3), B(5,4), C(7,10),點(diǎn) P滿足 AP AB AC( R)(1) 當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上；(2) 當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P在第四象限.rrr r4. 已知向量a (1,1),b(1. 3,1,3),則向量a與b的夾角為 5. 設(shè)向量a (x,3),b (2, 1),與01與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍為rrrrr r6. 已知向量 a( 3,1),b(1, 2),若(2ab)(akb)，則實(shí)數(shù)k =rrrr r rrr7已知向量a(1,2),b(x,1),ia2b,v2ab

11、，根據(jù)下列情形求 x:(1 )若 i/V_2)若 i V .rrrr rr一8. 已知向量a(1,2),b(x,1),右a2b與2ab平行，貝Vx =rr rrr r9. 設(shè)向量a ( 3,4),向量b滿足b/a, b 1,則b=unJ11.平面內(nèi)給定三個(gè)向量10. 在 ABC中，已知 AB ( 1,2), AC (2,1)，貝U ABC 的面積為 a (3,2), b ( 1,2), c (4,1).171r c2 r b r a3求r a足滿求(3) 若 a kc / 2b a，求實(shí)數(shù) k ；uurrrur u(4) 設(shè) d (x,y)滿足 d c/a b 且 d c 1,求d.ririn

12、ririDitin12. 設(shè)向量 a e e2,b 4e 3e2,其中 e (1,0), (0,1).r r r r(1) 試計(jì)算a b及 a b的值；(2) 求向量；與b夾角的大小單元測(cè)試題、選擇題：(本大題共10小題，每小題4分，共40分)1、若向量方程2x 3(x 2a) 0，則向量X等于6ra5B、 6aC、6aD、6ra2、兩列火車從同一站臺(tái)沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為a和b，那么下列命題中錯(cuò)誤的一個(gè)是A、a與b為平行向量C、a與b為共線向量urn uju ujur3、AB BC ADb、a與b為模相等的向量D、a與b為相等的向量uurA、ADuuiuB

13、、CDuuurC、DBuujrD、DC4、下列各組的兩個(gè)向量，平行的是A、a ( 2,3)，b (4,6)B、a (1, 2)，b (7,14)2)Gr ba ( 3,2),5、若P分AB所成的比為-，4則A分BP所成的比為3c737A、-B、c、一D、-7373rrr r6、已知 a (6,0)，b ( 5,5)，則a與b的夾角為A、450B、600C、135 0D、120 0rA、irj 1B、r2 r2 i jrr rrr rC、i j ijD、i j 0uuu runrr8、如圖,在四邊形ABCD 中,設(shè)AB a，AD b，D；Cuuuruur/BCc，則 DC/r r rrr rA、

14、a b cB、b(a c)AB7、已知r , j都是單位向量，則下列結(jié)論正確的是C、a b c9、a (2,1), b (3,4),則向量a在向量b方向上的投影為D、10A、2,5B、2C510、在 ABC 中，b 3, c 3.3 , B 300，則 aD、6 或 4A、6B、3C、6 或 3、填空題：(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11、 已知M (3, 2)，N( 1,0)，則線段MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)是。12、設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組：uuu 一 uuuuuu, uuuULD , UULTUUU 一 UUU(1)AD 與 AB ；( 2)DA 與 BC

15、 ；( 3)CA 與 DC ；(4)OD 與 OB，其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底的向量組 可以是。13、 已知A(7,8)， B(3,5)，則向量AB方向上的單位向量坐標(biāo)是 。UUU UUU14、在 ABC 中，AC 8，BC 5，面積 S abc 13，則 BC CA=。三、解答題：(本大題共3小題，共44分)15、已知 a 3， b ( 1/3)， (1 )若 a b，求 a ； (2)若 a b，求 a16、已知a 3，b 4，a與b的夾角為尋，求a b)(a 2b)。17、已知：a (cos ,sin ).b (cos ,sin ) 求證：a與b 互相垂直參考答案一、選擇題：CDDDB CBABC4 3二、填空題：11、(1, -1 )12、(1)、(3)13、( -, -) 14、205 5三、解答題r 3.3 3 r “ 3,33r 33.3 r , 3 3