向量的概念與性質

1、向量的概念與性質一. 知識點1. 與向量概念有關的問題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小記號“a b ”錯了，而|a | | b |才有意義.有些向量與起點有關，有些向量與起點無關由于一切向量有其共性（力和方向），故我們只研究與起點無關的向量（既自由向量）當遇到與起點有關向量時，可平移向量平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要條件一 2 2單位向量是模為1的向量，其坐標表示為（x, y），其中x、y滿足x y = 1 （可 用（cos ,sin ） （

2、0w w 2n）表示）.零向量0的長度為0,是有方向的，并且方向是任意的，實數(shù)0僅僅是一個無方向的實數(shù)有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段2 與向量運算有關的問題向量與向量相加，其和仍是一個向量（平行四邊形法則：起點相同，三角形法則：首尾相連） *當兩個向量a和b不共線時，a*1-b的方向與a、b者E不相同，且|aa.ft.fb |v |a |+ |b |;W當兩個向量a和b共線且同向時，*aWb、a、b的方向都相同，且|ab| |a| |b|;當向量a和b反向時，若|a| |b|,fa b與a方向相同，且|afb|=|a|-| b|；f* fc- fc-若|a|v|b|時,

3、a b與b方向相同，且wwr|a + b |=| b|-| a|向量與向量相減，其差仍是一個向量.向量減法的實質是加法的逆運算（三角形法則：起點相同，減向量重點指向被減向量的終點）圍成一周首尾相接的向量（有向線段表示）的和為零向量如，AB BC CA 0,（在厶 ABC 中）AB BC CD DA 0 (口ABCD 中)判定兩向量共線的注意事項如果兩個非零向量 a , b，使a =入b (入R),那么a / b ；反之，如a / b，且b豐0,那么a = Ab .這里在“反之”中，沒有指出a是非零向量，其原因為 a=0時，與入b的方向規(guī)定為平行(4)向量的數(shù)乘運算的定義：數(shù)乘運算模的大小為：r

4、 ur(5)當 0, a與a的方向相同；ruu當0, a的方向與a的方向相反；r r當0, a 0.(6 )數(shù)量積的8個重要性質(a b a b cos ) 兩向量的夾角為0W n.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個向量的長度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個實數(shù) 設a、b都是非零向量，e是單位向量， 是a與b的夾角，貝U F *e a a e | a| cos .( |e| 1)rfc-r * a b a b 0 (v =90 , cos 0) 在實數(shù)運算中ab=0 a =0或b=0.而在向量運算中a b= 0 a = 0或b = 0是錯7Fp誤的，故

5、a 0或b 0是a b=0的充分而不必要條件.TP- 當 a與 b 同向時 a b= |a | | b |( =0,cos =1);當a與b反向時，a b =- | a | | b |(= n,cos =-1)，即a / b的另一個充要條件是|a b| |a| |b|.2 2特殊情況有a a a = | a | .或 | a | = a a = . a = x2 y2 .如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(X1 , y!),( x2 , y2 ),則|a|= (X1 x2)2(% y2)2 |a b| |a| |b|。（因 |cos 數(shù)量積不適合乘法結合律.如（a b） c a

6、（b c）.（因為（a b） c與c共線，而a （b c）與a共線）數(shù)量積的消去律不成立若a、b、c是非零向量且b c并不能得到a b這是因為向量不能作除數(shù),是無意義的.課堂訓練A .1個B .2個C . 3個D . 4個1 1 - -(2a 3 2ark-2.化簡8b)(4a2b）的結果是()A .2a bB .2b aC . b aD . a b()(2)7(a+b) 8b=7a+15b若 a= m + n ,b=4 m+4 n，則 a b1.下列各式計算正確的有(1)( 7)6a=-42 a(3)a 2b+ a+2 b=2 a3. 下列各式敘述不正確的是A.若az d則a、b不共線（入

7、R）B.b=3a（a為非零向量），則a、b共線3C .若 m=3a+4b,n= a+2 b,則 m / n24. 對于菱形 ABCD，給出下列各式：若 a+ b+c=0,貝U a+b=- c AB BC | AB CD | | AD BC |AB|BC|P 2 2 P 2| AC |2| BD |2 4| AB|其中正確的個數(shù)為A. 1個B. 2個C. 3個5.已知向量a與b反向，下列等式中成立的是A. |a|b| |a b|B. | a b | | a b |C. |a|b| |a b|D. |a| |b| |a b|6.在 ABC中AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點 則A. AB與A

8、C共線B. DE與CB共線C. AD與AE相等D. AD與BD相等D. (a b)20C. (a b)(a b) 07. 已知向量 ei、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4 y)ei+(2x-3 y)e2=6ei+3 e2則x-y的值等于A. 3B. 3C.0D.2&已知正方形ABCD的邊長為1, AB=a,BC =b, AC _c,則|a+ b+c|等于A. 0B. 3C.2D.2 . 29已知a、b是非零向量且滿足(a 2b)a,(b2a) b,則a與b的夾角是25A.B.C.D.633610.若非零向量a,b互相垂直，則下列各式中疋成立的疋I-*-t-b*rir_pA. a ba bB

9、.|a b| |ab|( )li-211. 已知菱形 ABCD的邊長為2,求向量AB CB+ CD的模的長.。12. 已知 |a| 4,|b| 3,a,b 的夾角為 120 ，且c a 2b , d 2a kb，當 c a 時，k=.向量的坐標形式知識點若 a (xi,yj,b 化也)特別地：若 a/b，貝H若a b，貝Hr r貝 H a b r ra b ra =r ra b ra =cos uunA(X ,yi),B(X2，y2), AB二. 課堂訓練uuuuuuuuuUJU1.已知 AB (2,3), BC (x,y),CD ( 1,4),則 DA 2. 設 A(1, 3)和B(8, 1

10、),若點 C(2a 1,a 2)在直線 AB上，貝U a mj/n uwhiit3. 設點 A(2,3), B(5,4), C(7,10),點 P滿足 AP AB AC( R)(1) 當 時，點P在第一、三象限角平分線上；(2) 當 時，點P在第四象限.rrr r4. 已知向量a (1,1),b(1. 3,1,3),則向量a與b的夾角為 5. 設向量a (x,3),b (2, 1),與01與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍為rrrrr r6. 已知向量 a( 3,1),b(1, 2),若(2ab)(akb)，則實數(shù)k =rrrr r rrr7已知向量a(1,2),b(x,1),ia2b,v2ab

11、，根據(jù)下列情形求 x:(1 )若 i/V_2)若 i V .rrrr rr一8. 已知向量a(1,2),b(x,1),右a2b與2ab平行，貝Vx =rr rrr r9. 設向量a ( 3,4),向量b滿足b/a, b 1,則b=unJ11.平面內給定三個向量10. 在 ABC中，已知 AB ( 1,2), AC (2,1)，貝U ABC 的面積為 a (3,2), b ( 1,2), c (4,1).171r c2 r b r a3求r a足滿求(3) 若 a kc / 2b a，求實數(shù) k ；uurrrur u(4) 設 d (x,y)滿足 d c/a b 且 d c 1,求d.ririn

12、ririDitin12. 設向量 a e e2,b 4e 3e2,其中 e (1,0), (0,1).r r r r(1) 試計算a b及 a b的值；(2) 求向量；與b夾角的大小單元測試題、選擇題：(本大題共10小題，每小題4分，共40分)1、若向量方程2x 3(x 2a) 0，則向量X等于6ra5B、 6aC、6aD、6ra2、兩列火車從同一站臺沿相反方向開去，走了相同的路程，設兩列火車的位移向量分別為a和b，那么下列命題中錯誤的一個是A、a與b為平行向量C、a與b為共線向量urn uju ujur3、AB BC ADb、a與b為模相等的向量D、a與b為相等的向量uurA、ADuuiuB

13、、CDuuurC、DBuujrD、DC4、下列各組的兩個向量，平行的是A、a ( 2,3)，b (4,6)B、a (1, 2)，b (7,14)2)Gr ba ( 3,2),5、若P分AB所成的比為-，4則A分BP所成的比為3c737A、-B、c、一D、-7373rrr r6、已知 a (6,0)，b ( 5,5)，則a與b的夾角為A、450B、600C、135 0D、120 0rA、irj 1B、r2 r2 i jrr rrr rC、i j ijD、i j 0uuu runrr8、如圖,在四邊形ABCD 中,設AB a，AD b，D；Cuuuruur/BCc，則 DC/r r rrr rA、

14、a b cB、b(a c)AB7、已知r , j都是單位向量，則下列結論正確的是C、a b c9、a (2,1), b (3,4),則向量a在向量b方向上的投影為D、10A、2,5B、2C510、在 ABC 中，b 3, c 3.3 , B 300，則 aD、6 或 4A、6B、3C、6 或 3、填空題：(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11、 已知M (3, 2)，N( 1,0)，則線段MN的中點P的坐標是。12、設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，下列向量組：uuu 一 uuuuuu, uuuULD , UULTUUU 一 UUU(1)AD 與 AB ；( 2)DA 與 BC

15、 ；( 3)CA 與 DC ；(4)OD 與 OB，其中可作為這個平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底的向量組 可以是。13、 已知A(7,8)， B(3,5)，則向量AB方向上的單位向量坐標是 。UUU UUU14、在 ABC 中，AC 8，BC 5，面積 S abc 13，則 BC CA=。三、解答題：(本大題共3小題，共44分)15、已知 a 3， b ( 1/3)， (1 )若 a b，求 a ； (2)若 a b，求 a16、已知a 3，b 4，a與b的夾角為尋，求a b)(a 2b)。17、已知：a (cos ,sin ).b (cos ,sin ) 求證：a與b 互相垂直參考答案一、選擇題：CDDDB CBABC4 3二、填空題：11、(1, -1 )12、(1)、(3)13、( -, -) 14、205 5三、解答題r 3.3 3 r “ 3,33r 33.3 r , 3 3