大學(xué)物理電磁場與麥克斯韋方程組習(xí)題解答和分析

1、第十三章習(xí)題解答 題圖13-1 題圖13-213-1 如題圖13-1所示，兩條平行長直導(dǎo)線和一個矩形導(dǎo)線框共面，且導(dǎo)線框的一個邊與長直導(dǎo)線平行，到兩長直導(dǎo)線的距離分別為r1，r2。已知兩導(dǎo)線中電流都為，其中I0和為常數(shù)，t為時間。導(dǎo)線框長為a寬為b，求導(dǎo)線框中的感應(yīng)電動勢。分析：當(dāng)導(dǎo)線中電流I隨時間變化時，穿過矩形線圈的磁通量也將隨時間發(fā)生變化，用法拉第電磁感應(yīng)定律計算感應(yīng)電動勢，其中磁通量，B為兩導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場的疊加。解：無限長直電流激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為。取坐標(biāo)Ox垂直于直導(dǎo)線，坐標(biāo)原點取在矩形導(dǎo)線框的左邊框上，坐標(biāo)正方向為水平向右。取回路的繞行正方向為順時針。由場強(qiáng)的疊加原理可得x處的磁感應(yīng)

2、強(qiáng)度大小通過微分面積的磁通量為通過矩形線圈的磁通量為感生電動勢時，回路中感應(yīng)電動勢的實際方向為順時針；時，回路中感應(yīng)電動勢的實際方向為逆時針。13-2 如題圖13-2所示，有一半徑為r=10cm的多匝圓形線圈，匝數(shù)N=100，置于均勻磁場中（B=0.5T）。圓形線圈可繞通過圓心的軸O1O2轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速n=600rev/min。求圓線圈自圖示的初始位置轉(zhuǎn)過時，(1) 線圈中的瞬時電流值（線圈的電阻為R=100，不計自感）；(2) 感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。分析：應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動勢。應(yīng)用載流圓環(huán)在其圓心處產(chǎn)生的磁場公式求出感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：(1) 圓形線

3、圈轉(zhuǎn)動的角速度 rad/s設(shè)t=0時圓形線圈處在圖示位置，取順時針方向為回路繞行的正方向。則t時刻通過該回路的全磁通電動勢 感應(yīng)電流 將圓線圈自圖示的初始位置轉(zhuǎn)過時，代入已知數(shù)值 得： (2) 感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為的方向與均勻外磁場的方向垂直。 題圖13-3 題圖13-413-3 均勻磁場被限制在半徑R=10cm的無限長圓柱形空間內(nèi)，方向垂直紙面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如題圖13-3所示。設(shè)磁場以的勻速率增加，已知，求等腰梯形回路abcd感生電動勢的大小和方向。分析：求整個回路中的電動勢，采用法拉第電磁感應(yīng)定律，本題的

4、關(guān)鍵是確定回路的磁通量。解：設(shè)順時針方向為等腰梯形回路繞行的正方向.則t時刻通過該回路的磁通量其中S為等腰梯形abcd中存在磁場部分的面積，其值為電動勢 代入已知數(shù)值 “”說明，電動勢的實際方向為逆時針，即沿adcba繞向。用楞次定律也可直接判斷電動勢的方向為逆時針繞向。13-4 如題圖13-4所示，有一根長直導(dǎo)線，載有直流電流I，近旁有一個兩條對邊與它平行并與它共面的矩形線圈，以勻速度v沿垂直于導(dǎo)線的方向離開導(dǎo)線.設(shè)t=0時，線圈位于圖示位置,求：(1) 在任意時刻t通過矩形線圈的磁通量；(2) 在圖示位置時矩形線圈中的電動勢。分析：線圈運動，穿過線圈的磁通量改變，線圈中有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生，求

5、出t時刻穿過線圈的磁通量，再由法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動勢。解：(1) 設(shè)線圈回路的繞行方向為順時針。由于載流長直導(dǎo)線激發(fā)磁場為非均勻分布，。因此，必須由積分求得t時刻通過回路的磁通量。取坐標(biāo)Ox垂直于直導(dǎo)線，坐標(biāo)原點取在直導(dǎo)線的位置，坐標(biāo)正方向為水平向右，則在任意時刻t通過矩形線圈的磁通量為（2）在圖示位置時矩形圈中的感應(yīng)電動勢電動勢的方向沿順時針繞向。13-5 如題圖13-5所示為水平面內(nèi)的兩條平行長直裸導(dǎo)線LM與,其間距離為,其左端與電動勢為的電源連接.勻強(qiáng)磁場垂直于圖面向里，一段直裸導(dǎo)線ab橫嵌在平行導(dǎo)線間（并可保持在導(dǎo)線上做無摩擦地滑動）,電路接通，由于磁場力的作用，ab從靜止開始

6、向右運動起來。求:(1) ab達(dá)到的最大速度;(2) ab到最大速度時通過電源的電流I。分析：本題是包含電磁感應(yīng)、磁場對電流的作用和全電路歐姆定律的綜合性問題。當(dāng)接通電源后，ab中產(chǎn)生電流。該通電導(dǎo)線受安培力的作用而向右加速運動，由于ab向右運動使穿過回路的磁通量逐漸增加，在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而使回路中電流減小，當(dāng)回路中電流為零時，直導(dǎo)線ab不受安培力作用，此時ab達(dá)到最大速度。解：（1）電路接通，由于磁場力的作用,ab從靜止開始向右運動起來。設(shè)ab運動的速度為v,則此時直導(dǎo)線ab所產(chǎn)生的動生電動勢，方向由b指向a.由全電路歐姆定理可得此時電路中的電流為ab達(dá)到的最大速度時，直導(dǎo)線ab不受

7、到磁場力的作用，此時。所以ab達(dá)到的最大速度為（2）ab達(dá)到的最大速度時，直導(dǎo)線ab不受到磁場力的作用，此時通過電路的電流i=0。所以通過電源的電流也等于零。 題圖13-5 題圖13-613-6 如題圖13-6所示，一根長為L的金屬細(xì)桿ab繞豎直軸O1O2以角速度在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，O1O2在離細(xì)桿a端L/5處。若已知均勻磁場平行于O1O2軸。求ab兩端間的電勢差Ua-Ub.分析：由動生電動勢表達(dá)式先求出每段的電動勢，再將ab的電動勢看成是oa和ob二者電動勢的代數(shù)和，ab兩端的電勢差大小即為ab間的動生電動勢大小。求每段的電動勢時，由于各處的運動速度不同，因此要將各段微分成線元，先由動生電動勢公

8、式計算線元的兩端的動生電動勢，再積分計算整段的動生電動勢。解：設(shè)金屬細(xì)桿ab與豎直軸O1O2交于點O,將ab兩端間的動生電動勢看成ao與ob兩段動生電動勢的串聯(lián)。取ob方向為導(dǎo)線的正方向，在銅棒上取極小的一段線元，方向為ob方向。線元運動的速度大小為。由于互相垂直。所以兩端的動生電動勢ob的動生電動勢為動生電動勢的方向由b指向O。同理oa的動生電動勢為動生電動勢的方向由a指向O。所以ab兩端間的的動生電動勢為動生電動勢的方向由a指向了b；a端帶負(fù)電，b端帶正電。ab兩端間的電勢差b端電勢高于a端。 題圖13-7 題圖13-813-7 如題圖13-7所示，導(dǎo)線L以角速度繞其端點O旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)線L與電

9、流I在共同的平面內(nèi)，O點到長直電流I的距離為a,且a>L,求導(dǎo)線L在與水平方向成角時的動生電動勢的大小和方向。分析：載流長直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場，導(dǎo)線L繞O旋轉(zhuǎn)切割磁力線。由于切割是不均勻的磁場，而且導(dǎo)體各處的運動速度不同，所以要微分運動導(dǎo)線，先由動生電動勢公式計算線元的兩端的動生電動勢，再積分計算整段的總動生電動勢。解：取OP方向為導(dǎo)線的正方向，在導(dǎo)線OP上某處取極小的一段線元,方向為OP方向。線元運動的速度大小為。由于互相垂直。所以兩端的動生電動勢將載流長直導(dǎo)線在該處激發(fā)磁場代入，積分得導(dǎo)線L在與水平方向線成角時的動生電動勢為：動生電動勢的方向由P指向O。13-8 如題圖13-8所示半徑為r

10、的長直密繞空心螺線管，單位長度的繞線匝數(shù)為n,所加交變電流為I=I0sint。今在管的垂直平面上放置一半徑為2r,電阻為R的導(dǎo)線環(huán)，其圓心恰好在螺線管軸線上。（1）計算導(dǎo)線環(huán)上渦旋電場E的值且說明其方向；(2)計算導(dǎo)線上的感應(yīng)電流；(3)計算導(dǎo)線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)M。分析：電流變化，螺線管內(nèi)部磁場也變化，由磁場的柱對稱性可知，由變化磁場所激發(fā)的感生電場也具有相應(yīng)的對稱性，感生電場線是一系列的同心圓。根據(jù)感生電場的環(huán)路定理，可求出感生電場強(qiáng)度。由法拉第電磁感應(yīng)定律及歐姆定律求感應(yīng)電流，由互感系數(shù)定義式求互感系數(shù)。解：（1）以半徑為2r的導(dǎo)線環(huán)為閉合回路L，取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，

11、自上向下看為逆時針方向。由于長直螺線管只在管內(nèi)產(chǎn)生均勻磁場，導(dǎo)線環(huán)上某點渦旋電場E的方向沿導(dǎo)線環(huán)的切向。所以由規(guī)律可得導(dǎo)線環(huán)上渦旋電場E的值為若cost>0,E電場線的實際走向與回路L的繞行正方向相反，自上向下看為順時針方向；若cost<0,E電場線的實際走向與回路L的繞行正方向相同，自上向下看為逆時針方向。(2) 導(dǎo)線上的感應(yīng)電流(3)導(dǎo)線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)為13-9 電子感應(yīng)加速器中的磁場在直徑為0.50m的圓柱形區(qū)域內(nèi)是勻強(qiáng)的，若磁場的變化率為1.0×10-2T/S。試計算離開中心距離為0.10m、0.50m、1.0m處各點的感生電場。分析：由磁場的柱對稱性可知

12、，變化磁場所激發(fā)的感生電場分布也具有相應(yīng)的對稱性，即感生電場的電場線是一系列以圓柱體中心為軸的同心圓。根據(jù)可求出感生電場強(qiáng)度。解：以圓柱形的區(qū)域的中心到各點的距離為半徑，作閉合回路L。取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，為順時針方向。由于回路上各點處的感生電場E沿L的切線方向。所以由規(guī)律 可得得 式中“-”說明：若，E的實際方向與假定方向相反，否則為一致。r=0.10m時,r<R, r=0.50m時, r>R, r=1.10m時,r>R, 13-10 如題圖13-10所示，一個限定在半徑為R的圓柱體內(nèi)的均勻磁場B以10-2T/s的恒定變化率減小。電子在磁場中A、O、C各點處時

13、，它所獲得的瞬時加速度（大小、方向）各為若干？設(shè)r=5.0cm。分析：根據(jù)對稱性，由感生電場的環(huán)路定理求出感生電場強(qiáng)度，由感生電場力及牛頓第二定律求出瞬時加速度。解：以圓柱形區(qū)域的中心到各點的距離為半徑，作閉合回路L。取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，由于回路上各點處的感生電場E沿L的切線方向。所以由規(guī)律 題圖13-10 題圖13-11 可得 (r<R)得 由于圓柱體內(nèi)的均勻磁場B以10-2T/s的恒定變化率減小.所以，E的實際方向與假定方向一致，為順時針方向的切線方向。電子受到的電場力為,其方向為逆時針的切線方向。瞬時加速度的大小為：由于rA=0.05m,所以A處的瞬時加速度的大小為

14、：，方向為水平向右；由于rC=0.05m,所以C處的瞬時加速度的大小為：，方向為水平向左；由于rO=0,所以O(shè)處的瞬時加速度：13-11 真空中的矩形截面的螺線環(huán)的總匝數(shù)為N，其它尺寸如題圖13-11所示，求它的自感系數(shù)。分析：自感系數(shù)一般可由計算，可見計算自感系數(shù)關(guān)鍵是確定穿過自感線圈的磁通量。假設(shè)螺線管通有電流，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度，再求出磁通量、磁通鏈，即可求出自感系數(shù)。解：設(shè)螺繞管通有電流I，由安培環(huán)路定理可得管內(nèi)距軸線r處的磁場強(qiáng)度為, 通過某一截面的磁通量螺繞管的磁通鏈自感系數(shù)：13-12 設(shè)一同軸電纜由半徑分別為1和的兩個同軸薄壁長直圓筒組成，電流由內(nèi)筒流入，由外筒流出，如題圖13-1

15、2所示。兩筒間介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，求同軸電纜 題圖13-12 題圖13-13(1) 單位長度的自感系數(shù)；（2）單位長度內(nèi)所儲存的磁能。分析：先求磁場、磁通量，由自感系數(shù)定義式求自感系數(shù)，再由自感磁能表達(dá)式求磁能。解：（1）電流由內(nèi)筒流入，由外筒流出時，在內(nèi)外筒之間產(chǎn)生的磁場為B=（見11-19）。通過內(nèi)外筒之間單位長度截面的磁通量為（2）單位長度內(nèi)所儲存的磁能13-13 一無限長直導(dǎo)線通以電流I=I0sinwt，和直導(dǎo)線在同一平面內(nèi)有一矩形線框，其短邊與直導(dǎo)線平行，線框的尺寸及位置如題圖13-13所示，且b/c=3。求：(1) 直導(dǎo)線和線框的互感系數(shù)；(2) 線框中的互感電動勢。分析：互感系數(shù)由

16、計算，計算互感系數(shù)關(guān)鍵是確定穿過互感線圈的磁通量。解：(1) 無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場。取矩形線框的正法線方向為垂直紙面向里，通過矩形線框的磁通量為 （2）線框中的互感電動勢為正時，電動勢的方向沿順時針繞向；為負(fù)時，電動勢的方向沿逆時針繞向。13-14 一圓環(huán)，環(huán)管橫截面的半徑為a，中心線的半徑為R()。有兩個彼此絕緣的導(dǎo)線圈都均勻地密繞在環(huán)上，一個N1匝，另一個N2匝，求：（1）兩線圈的自感L1和L2；（2）兩線圈的互感M；（3）M與L1和L2的關(guān)系。分析：由于，環(huán)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度可視為均勻。設(shè)兩個線圈通有電流、，求出穿過螺線管線圈的磁通鏈數(shù)，進(jìn)而求出自感、互感系數(shù)。解：（1）設(shè)N1匝螺繞管線圈

17、中通有電流I1，由于中心線的半徑環(huán)管橫截面的半徑a，所以螺繞管內(nèi)的磁場，通過螺繞管線圈的磁通鏈數(shù)為N1匝螺繞管線圈自感系數(shù)：同理，N2匝螺繞管線圈自感系數(shù)：（2）N1匝螺繞管線圈產(chǎn)生的磁場B1，通過N2匝螺繞管線圈的磁通鏈數(shù)為兩線圈的互感（3）M與L1和L2的關(guān)系13-15 一圓柱體長直導(dǎo)線，均勻地通有電流I，證明導(dǎo)線內(nèi)部單位長度儲存的磁場能量為（設(shè)導(dǎo)體的相對磁導(dǎo)率）。分析：均勻通有電流的長直導(dǎo)線，其內(nèi)部和外部均存在磁場，且磁場分布呈軸對稱性。據(jù)題意，只需求得單位長度導(dǎo)線內(nèi)所儲存的磁能，因此根據(jù)磁能密度公式，求得體元內(nèi)的磁能，然后對圓柱內(nèi)部的磁能進(jìn)行積分即可。解：設(shè)圓柱形導(dǎo)體的半徑為R.由安培

18、環(huán)路定律可得長直導(dǎo)線內(nèi)的磁場 r<R導(dǎo)線內(nèi)的磁能密度在導(dǎo)線內(nèi)取單位長度的同軸薄圓柱筒體元其磁能為 單位長度導(dǎo)體柱內(nèi)儲存的磁場能量為13-16 平行板電容器的電容為C=20.0F，兩板上的電壓變化率為dU/dt =1.50×105V/s，則該平行板電容器中的位移電流為多少。分析：根據(jù)平行板電容器的性質(zhì)，平行板間為均勻電場，電位移D均勻分布，由平行板電容器場強(qiáng)與電壓關(guān)系式，求出電位移通量與電壓的關(guān)系，并求出位移電流。解：設(shè)平行板電容器的極板面積S、間距d，其間電位移通量為對平行板電容器，其電容為，代入上式得位移電流為13-17 一平行板電容器，極板是半徑為R的兩圓形金屬板，極板間為

19、空氣，此電容器與交變電源相接，極板上電量隨時間變化的關(guān)系為q=q0sint(為常量)，忽略邊緣效應(yīng)，求：（1）電容器極板間位移電流及位移電流密度；（2）極板間離中心軸線距離為r(r<R)處的b點的磁場強(qiáng)度H的大??；（3）當(dāng)時，b點的電磁場能量密度（即電場能量密度與磁場能量密度之和）。分析：根據(jù)電流的連續(xù)性，電容器極板間位移電流等于傳導(dǎo)電流求解位移電流。忽略邊緣效應(yīng)，極板間位移電流均勻分布求解位移電流密度。根據(jù)全電流安培環(huán)路定理求出磁場強(qiáng)度極板間的磁場強(qiáng)度。由極板間電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度可求得電磁場能量密度。解：（1）電容器極板間位移電流或由電流連續(xù)性得：位移電流密度（2）以中心軸線為圓心，過b點作一半徑為r(r<R