【拿高分選好題第二波】（新課程）高中數學二輪復習精選《必考問題11 數列的綜合應用問題》（命題方向把握 命題角度分析） 新人教版

1、必考問題11數列的綜合應用問題1(2012·湖北)定義在(，0)(0，)上的函數f(x)，如果對于任意給定的等比數列an，f(an)仍是等比數列，則稱f(x)為“保等比數列函數”現有定義在(，0)(0，)上的如下函數：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數列函數”的f(x)的序號為()A B C D答案 C設數列an的公比為q.對于，q2是常數，故符合條件；對于，2an1an，不是常數，故不符合條件；對于，是常數，故符合條件；對于，不是常數，故不符合條件由“保等比數列函數”的定義知應選C.2(2012·浙江)設Sn是公差為d(d0)的無

2、窮等差數列an的前n項和，則下列命題錯誤的是()A若d0，則數列Sn有最大項B若數列Sn有最大項，則d0C若數列Sn是遞增數列，則對任意nN*，均有Sn0D若對任意nN*，均有Sn0，則數列Sn是遞增數列答案 CA、B、D均正確，對于C，若首項為1，d2時就不成立3(2010·遼寧)已知數列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為()A. B. C10 D21答案 B在an1an2n中，令n1，得a2a12；令n2得，a3a24，anan12(n1)把上面n1個式子相加，得ana12462(n1)n2n，ann2n33，n1，又nN*，n1.當n6時，有最小值.4(2011&#

3、183;江蘇)設1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數列，a2，a4，a6成公差為1的等差數列，則q的最小值是_解析由題意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值為.答案1以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯2解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯，還有可能涉及到導數、解析幾何、三角函數的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想，試題具有綜合性強、立意新、角度活、難度大的特點1數列試題形式多

4、樣，時常有新穎的試題入卷，學生時常感覺難以把握，為了在高考中取得好成績，必須復習、掌握好數列這一板塊及其相關的知識技能，了解近幾年來高考中對解數列試題的能力考查的特點，掌握相關的應對策略，以提高解決數列問題的能力2近幾年高考中一些難題均是以高等數學的某些知識為背景而用初等數學的語言表述的試題這就啟示我們在復習備考時，要在高等數學與初等數學的銜接點上多下工夫，要提高將陌生問題轉化、化歸為熟知問題的能力復習時要抓住主流綜合，同時做到不忽視冷門、新型綜合.必備知識在數列求和時，為了證明的需要，需合理變形，常用到放縮法，常見的放縮技巧有：(1)<.(2)<<.(3)2()<&l

5、t;2()數列是特殊的函數，是定義在正整數集上的一列函數值通項公式及求和公式揭示了項和項數的依賴關系的本質屬性用“函數與方程”的思想解決數列中的綜合問題，通常有如下情形：(1)用等差數列中的公差為“斜率”的意義溝通關系解題(2)用等差數列的前n項和為項數n的二次函數解題(3)用函數觀點認識數列的通項，用函數單調性的定義研究數列的增減性解決最值問題(4)通項公式求解中方程思想的應用(5)應用問題中方程思想的應用必備方法1解決數列和式與不等式證明問題的關鍵是求和，特別是既不是等差、等比數列，也不是等差乘等比的數列求和，要利用不等式的放縮法，放縮為等比數列求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和，最終歸

6、結為有限項的數式大小比較2解答數列綜合問題要善于綜合運用函數方程思想、化歸轉化思想等數學思想以及特例分析法，一般遞推法，數列求和及求通項等方法來分析、解決問題數列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數形結合得到數列的通項公式，然后再利用數列知識和方法求解該類問題出題背景廣、新穎，解題的關鍵是讀懂題意，有效地將信息轉化，能較好地考查學生分析、解決問題的能力和知識的遷移能力，以客觀題或解答題的形式出現，屬于低中檔題【例1】 (1)已知f(1,1)1，f(m，n)N*(m，nN*)，且對任意m，nN*，都有：f(m，n1)f(m，n)2；f(m1，n)

7、2f(m，n)給出以下三個結論：(i)f(1,5)9；(ii)f(5,1)16；(iii)f(5,6)26.其中正確結論的個數是()A3 B2 C1 D0(2)在直角坐標平面內，已知點P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，Pn(n,2n)，.若n為正整數，則向量P2n1P2n的縱坐標為_審題視點 (1)由f(m，n1)f(m，n)2可知f(m，n1)與f(m，n)的公差為2，由f(m1，n)2f(m，n)可知f(m1，n)與f(m，n)的公比為2.(2)由PkPk1(k1k,2k12k)(1,2k)可求解聽課記錄解析(1)由f(1,1)1，f(m，n1)f(m，n)2，可得f(1

8、,5)9.由f(1,1)1，f(m1，n)2f(m，n)，可得f(5,1)16，由f(5,1)16，f(m，n1)f(m，n)2，可得f(5,6)26.(2)PkPk1(k1k,2k12k)(1,2k)，于是P2n1P2n的縱坐標為2232522n1(4n1)答案(1)A(2)(4n1) 解決數列與新背景、新定義的綜合問題，可通過對新數表、圖象、新定義的分析和探究，將問題轉化為等差(比)數列的問題【突破訓練1】 (2012·東北三校二模)已知an是等差數列，Sn為其前n項和，若S21S4 000，O為坐標原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則·()A2

9、 011 B2 011 C0 D1 答案 A設SnAn2Bn，當n2時，anSnSn1(2n1)AB，由S21S4 000，知4 021 AB0，所以a2 0110，·2 011an×a2 0112 011，故選A.由于數列與函數的聯系密切，近幾年高考在數列與函數的綜合命題有加強的趨勢，?？疾橐院瘮禐楸尘暗臄盗袉栴}，該類問題的知識綜合性比較強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力需掌握與函數、函數性質等相關方面的知識，難度較大【例2】 (2012·陜西五校聯考)已知函數f(x)x22(n1)xn25n7.(1)設函數yf(x)的圖象的頂點的縱坐標構成數列an，求

10、證：an為等差數列；(2)設函數yf(x)的圖象的頂點到x軸的距離構成數列bn，求bn的前n項和Sn.審題視點 (1)配方可求頂點的縱坐標，再用定義可證；(2)由bn|an|知分類求和聽課記錄(1)證明f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，an3n8，an1an3(n1)8(3n8)3，數列an為等差數列(2)解由題意知，bn|an|3n8|，當1n2時，bn83n，Snb1bn.當n3時，bn3n8，Snb1b2b3bn5214(3n8)7，Sn 解決此類問題時主要注意把握好以下兩點：(1)正確審題，深摳函數的性質與數列的定義；(2)明確等差、等比數列的通項、求和公式的特征【

11、突破訓練2】 (2012·濰坊二模)已知函數f(x)(x1)2，數列an是各項均不為0的等差數列，點(an1，S2n1)在函數f(x)的圖象上；數列bn滿足bnn1.(1)求an；(2)若數列cn滿足cn，求數列cn的前n項和解(1)因為點(an1，S2n1)在函數f(x)的圖象上，所以aS2n1.令n1，n2，得即由知a10或a11，a10，a11.代入解得d1或d2，又d1時，a20不合題意，d1(舍去)，d2.即an2n1.(2)由(1)得cn.令Tnc1c2c3cn，則Tn，Tn，得，Tn1·22.所以Tn3.常考查：以數列為載體，比較兩項的大小或證明不等式；以數列

12、為載體，利用不等式恒成立求參數在解答時需要我們抓住本質，進行合理變形、求和，再結合與不等式有關的知識求解，試題難度較大【例3】 (2011·廣東)設b0，數列an滿足a1b，an(n2)(1)求數列an的通項公式；(2)證明：對于一切正整數n,2anbn11.審題視點 (1)對所給遞推關系式變形(取倒數)后構造等比數列求解(2)利用基本不等式放縮聽課記錄(1)解由a1b0，知an0， .令An，A1.當n2時，AnAn1A1.當b1時，An；當b1時，Ann.所以an(2)證明當b1時，欲證2anbn11，只需證2nbn(bn11).因為(bn11)b2nb2n1bn1bn1bn21

13、bnbn(222)2nbn，所以2an1bn1.當b1,2an2bn11.綜上所述，2anbn11. 與數列有關的不等式證明常用的方法有：比較法(作差、作商)、放縮法、利用函數的單調性、數學歸納法證明，其中利用不等式放縮證明是一個熱點，常常出現在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點利用放縮法解決“數列不等式”問題通常有兩條途徑：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮【突破訓練3】 (2012·日照一模)已知各項均不相等的等差數列an的前四項和S414，a3是a1，a7的等比中項(1)求數列an的通項公式；(2)設Tn為數列的前n項和，若Tnan1對一切nN*恒成立，求實數的最大值解(1)設公

14、差為d，由已知得，解得d1或d0(舍去)，a12，故ann1.(2)，Tn，Tnan1，(n2)，即2n4，又2n42×(44)16，的最大值為16.熟練掌握數列探索性問題的解法數列探索性問題的一般題型及解法：(1)結論探索型問題：一般是在給定題設條件下探求結論，它要求我們在對題設條件或圖形認真分析的基礎上，進行歸納，大膽猜想，然后通過推理、計算獲得結論；(2)存在探索型問題：這類問題是在題設條件下探索相應的數學對象是否存在，它要求我們充分利用題設條件，通常是先在“假設對象存在”的前提下，根據條件進行計算或推理，從而對“是否存在的數學對象”作出正確推斷【示例】 (2010·

15、湖南)給出下面的數表序列：其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n個數是1,3，5，2n1，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和(1)寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表n(n3)(不要求證明)；(2)每個數表中最后一行都只有一個數，它們構成數列1,4,12，記此數列為bn，求和：(nN*)滿分解答(1)表4為(3分)它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別是4,8,16,32，它們構成首項為4，公比為2的等比數列將這一結論推廣到表n(n3)，即表n(n3)各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列(5分)簡證

16、如下(對考生不作要求)：首先，表n(n3)的第1行1,3,5，2n1是等差數列，其平均數為n；其次，若表n的第k(1kn1)行a1，a2，ank1是等差數列，則它的第k1行(a1a2，a2a3，ankank1也是等差數列，由等差數列的性質知，表n的第k行中的數的平均數與第k1行)中的數的平均數分別是，a1ank1.由此可知，表n(n3)各行中的數都成等差數列，且各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列(2)表n的第1行是1,3,5，2n1，其平均數是n，(7分)由(1)知，它的各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列(從而它的第k行中的數的平

17、均數是n·2k1)，于是，表n中最后一行的唯一一個數為bnn·2n1.因此：(k1,2，3，n)，(9分)故4.(12分)老師叮嚀：探索性問題，還要注意合情推理的應用.如第(1)問寫出表4，就用到了類比推理，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列并將結論推廣到表n(n3)就用到了歸納推理.在訓練時，要注意這兩種推理的特點，能有意識地加以運用到數學的相關題目，前一問是后一問的基礎和臺階，起到提醒考生下一問的思路的作用，如本例中的第(1)問就能提醒考生先求出第(2)問中bn，進而想到考慮一般表達式的特點，從而求出和.【試一試】 (2012·山東東營一模)已知數列an中，a1，點(n,2an1an)在直線yx上，其中n1,2,3，.(1)令bnan1an1，求證數列bn是等比數列；(2)求數列an的通項；(3)設Sn、Tn分別為數列an、bn的前n項和，是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，請求出.若不存在，則說明理由(1)證明由已知得a1，2an1ann，a2，a2a1