曲線(xiàn)積分與曲面積分習(xí)題答案

1、第十一章 曲線(xiàn)積分與曲面積分第三節(jié) Green公式及其應(yīng)用1利用Green公式，計(jì)算下列曲線(xiàn)積分：(1) ，其中為正向圓周；解：由Green公式，得，其中為。(2) ，其中為以及為頂點(diǎn)的三角形負(fù)向邊界；解：由Green公式，得。*(3) ，其中為的上半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)及的上半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)連成的弧；解：連直線(xiàn)段AB，使L與圍成的區(qū)域?yàn)镈，由Green公式，得*(4) ，其中為正向圓周.解：因?yàn)?，。作足夠小的圓周:,取逆時(shí)針?lè)较?，記與圍成的閉區(qū)域?yàn)椋蒅reen公式，得，故2計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分： ，其中為曲線(xiàn)上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段??；解：，故積分與路徑無(wú)關(guān)，取經(jīng)x軸到點(diǎn)的一條路徑， 從而原式=。*3設(shè)

2、函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)任何光滑封閉曲線(xiàn)，有.證明：，記L圍成的閉區(qū)域?yàn)镈, 由Green公式，得.第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分1填空題：(1) 設(shè)為球面，則 ；(2) 面密度的光滑曲面的質(zhì)量 .2計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：(1) ，其中為平面在第一卦限的部分；解：，(2) ，其中為的部分；解：，*(3) ，其中為圍成四面體的整個(gè)邊界.解：， 其中，。第七節(jié) Stokes公式 *環(huán)流量與旋度1利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線(xiàn)積分：(1) ，為面內(nèi)圓周逆時(shí)針?lè)较?；解：取為平面的下?cè)被圍成的部分，D為在面上的投影區(qū)域。 由Stokes公式，得(2) ，為平面在第一卦限部分三角形的邊界，從軸正向看去是逆

3、時(shí)針?lè)较?；解：取為平面的上?cè)被圍成的部分，的單位法向量。 由Stokes公式，得第十一章 綜合練習(xí)題1填空題：(1) 已知為橢圓，其周長(zhǎng)為，則 12a ；(2)已知為直線(xiàn)上從點(diǎn)到點(diǎn)的直線(xiàn)段，則 1 ；(3)設(shè)是以點(diǎn),為頂點(diǎn)的三角形正向邊界，則 0 ；(4)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，則可微函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足條件 ；*(5)設(shè)為平面在第一卦限的部分，取上側(cè)，則 0 .2求下列曲線(xiàn)積分：(1) ，其中為球面被平面所截得的圓周；解：在的方程中，由于x, y, z循環(huán)對(duì)稱(chēng)，故，于是*(2) ，其中是以為圓心，為半徑的正向圓周；解：，。作足夠小的橢圓，取順時(shí)針?lè)较?，由格林公式，得?所以*3在過(guò)點(diǎn)和的曲線(xiàn)族中，求一條曲

4、線(xiàn)，使該曲線(xiàn)從到積分的值最小.解：令，則 。 所以 所以得駐點(diǎn)。又，故在取得最小值，從而為。*4設(shè)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān), 其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 且,計(jì)算.解：，由于積分與路徑無(wú)關(guān)，所以，即，從而。 由，知，所以。 于是。5 計(jì)算下列曲面積分：(1) ，其中為圓柱面介于與之間的部分；解：在的方程中，由于x與y循環(huán)對(duì)稱(chēng)，故，于是*(2) ，其中為下半球面的上側(cè)；解：設(shè)平面，取下側(cè)。和圍成的下半球體為。由格林公式得：近三年考研真題（2013年）1. 設(shè) , , , 為四條逆時(shí)針?lè)较虻钠矫媲€(xiàn)，記，則（ ）（A） (B) (C) （D）（2012年）2. 設(shè)，則（2011年）3. 設(shè)L是柱面方程與平面的交線(xiàn)，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较?，則曲線(xiàn)積分（2011年）4. 已知L是第一象限中從點(diǎn)（0，0）沿圓周到點(diǎn)（2，0），再沿圓周到點(diǎn)（0，2）的曲線(xiàn)段，計(jì)算曲線(xiàn)積分。 近三年考研真題解析（2013年）1. 解析： 由格林公式：，在內(nèi)，因此。而在在外，因此。可得。（利用極坐標(biāo)分別計(jì)算出和）（2012年）2. 解析： 由曲面積分的計(jì)算公式可知：， 其中，