導數(shù)中的二次求導問題

1、2019高考數(shù)學熱點難點突破技巧第03講：導數(shù)中的二次求導問題【知識要點】1、高中數(shù)學課程標準對導數(shù)的應(yīng)用提出了明確的要求，導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，既是高考考查的重點，也是難點和必考點. 利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等問題是高考考查導數(shù)問題的主要內(nèi)容和形式，并多以壓軸題的形式出現(xiàn). 常?？疾檫\算求解能力、概括抽象能力、推理論證能力和函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想的滲透和綜合運用，難度較大.2、在解決有關(guān)導數(shù)應(yīng)用的試題時，有些題目利用“一次求導”就可以解決，但是有些問題“一次求導”，不能求出原函數(shù)的單調(diào)性，還不能解決問題，需要利用“二次求導”才能找到導數(shù)的正負

2、，找到原函數(shù)的單調(diào)性，才能解決問題. “再構(gòu)造，再求導”是破解函數(shù)綜合問題的有效工具，為高中數(shù)學教學提供了數(shù)學建模的新思路和“用數(shù)學”的新意識和新途徑.【方法講評】方法二次求導使用情景對函數(shù)一次求導得到之后，解不等式難度較大甚至根本解不出.解題步驟設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到的正負情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性.【例1】(理·2010全國卷第20題)已知函數(shù).（）若，求的取值范圍；（）證明： 化簡得，所以兩邊同乘可得，所以有，在對求導有，即當時，0，在區(qū)間上為增函數(shù)；當時，；當時，0，在區(qū)間上為減函數(shù).所以在時有最大值，即.又因為，所以.當時，同理，當

3、時，即在區(qū)間上為增函數(shù)，則，此時，為增函數(shù)，所以，易得也成立.綜上，得證.方法二：（），則題設(shè)等價于. 令，則.當時，；當時，是的最大值點，所以 .綜上，的取值范圍是.（）由（）知，即.當時，因為0，所以此時.當時，. 所以【點評】（1）比較上述兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)用二次求導的方法解題過程簡便易懂，思路來得自然流暢，難度降低，否則，另外一種解法在解第二問時用到第一問的結(jié)論，而且運用了一些代數(shù)變形的技巧，解法顯得偏而怪，同學們不易想出.（2）大家一定要理解二次求導的使用情景，是一次求導得到之后，解答難度較大甚至解不出來. （3）二次求導之后，設(shè)，再求，求出的解，即得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，

4、即可得到的正負情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)性. 【例2】設(shè)函數(shù) （）若在點處的切線為，求的值；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若，求證：在時，【解析】（），在點處的切線為，即在點的切線的斜率為，切點為，將切點代入切線方程，得，所以，； （），要證：當時，即證：，令，則只需證：，由于，（由于不等式是超越不等式,所以此處解不等式解答不出，所以要構(gòu)造函數(shù)二次求導.）設(shè)所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因為.所以在內(nèi)存在唯一的零點，即在內(nèi)存在唯一的零點，設(shè)這個零點為.【點評】（1）由于不等式是超越不等式,所以不等式解答不出，所以要構(gòu)造函數(shù)二次求導.這是要二次求導的起因. （2）僅得到函數(shù)在單調(diào)遞增是不夠的，因為此時，所以，所以

5、的單調(diào)性還是不知道，所以無法求.所以必須找到這個零點和零點所在區(qū)間，這個零點和零點的區(qū)間找到很關(guān)鍵很重要，直接關(guān)系到的單調(diào)性和.【反饋檢測1】【2017課標II，理】已知函數(shù)，且.(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點，且.【反饋檢測2】已知函數(shù)R在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：當N，且時，.高考數(shù)學熱點難點突破技巧第03講：導數(shù)中二次求導問題參考答案【反饋檢測1答案】（1）；（2）證明略.【反饋檢測1詳細解析】（1）的定義域為設(shè)，則等價于因為若，則.當時，單調(diào)遞減；當時，0，單調(diào)遞增.所以是的極小值點，故，綜上，.又，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，當時，.因為，所以是的唯一極大值點.由，由得.因為是在（0,1）的最大值點，由得，所以. 【反饋檢測2答案】（1）；（2）；（3）見解析.【反饋檢測2詳細解析】（1）解：， . 直線的斜率為，且過點， 即解得. 令，則.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故從而，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.因此，當時，恒成立，則.所求的取值范圍是.解法2：由（1）得. 當時，恒成立，即恒成立. 令，則.方程（）的判別式.（）當，即時，則時，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.由于，則當時，即，與題設(shè)矛盾.（）當，即時，則時，.故函數(shù)在上單調(diào)