中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽競(jìng)賽大綱

1、中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽競(jìng)賽大綱(2009年首屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽)為了進(jìn)一步推動(dòng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，更好地實(shí)現(xiàn)“中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”的目標(biāo)，特制訂本大綱。 一、競(jìng)賽的性質(zhì)和參賽對(duì)象 “中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”的目的是：激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步推動(dòng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。 “中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”的參賽對(duì)象為大學(xué)本科二年級(jí)及二年級(jí)以上的在校大學(xué)生。 二、競(jìng)賽的內(nèi)容 “中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”分為數(shù)學(xué)專業(yè)類競(jìng)賽題和非數(shù)學(xué)專業(yè)類競(jìng)賽題。 一中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)學(xué)

2、專業(yè)類競(jìng)賽內(nèi)容為大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)內(nèi)容，即，數(shù)學(xué)分析占50%，高等代數(shù)占35%，解析幾何占15%，具體內(nèi)容如下：、數(shù)學(xué)分析部分 一、集合與函數(shù) 1. 實(shí)數(shù)集、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的稠密性，實(shí)數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理. 2. 上的距離、鄰域、聚點(diǎn)、界點(diǎn)、邊界、開(kāi)集、閉集、有界無(wú)界集、上的閉矩形套定理、聚點(diǎn)定理、有限復(fù)蓋定理、基本點(diǎn)列，以及上述概念和定理在上的推廣. 3. 函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關(guān)的性質(zhì). 二、極限與連續(xù)1. 數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)極限唯一性、有界性、保

3、號(hào)性、不等式性質(zhì). 2. 數(shù)列收斂的條件Cauchy準(zhǔn)則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關(guān)系，極限及其應(yīng)用. 3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)唯一性、局部有界性、保號(hào)性、不等式性質(zhì)、迫斂 性，歸結(jié)原則和Cauchy收斂準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用，計(jì)算一元函數(shù)極限的各種方法，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量、階的比較，記號(hào)O與o的意義，多元函數(shù) 重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關(guān)系. 4. 函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)局部有界性、保號(hào)性，有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù) 性. 三、一元函數(shù)微分學(xué) 1.導(dǎo)

4、數(shù)及其幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的各種計(jì)算方法，微分及其幾何意義、可微與可導(dǎo)的關(guān)系、一階微分形式不變性. 2.微分學(xué)基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項(xiàng)與Lagrange 余項(xiàng)). 3.一元微分學(xué)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應(yīng)用、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達(dá) LHospital法則、近似計(jì)算. 四、多元函數(shù)微分學(xué) 1. 偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導(dǎo)存在、連續(xù)之間的關(guān)系，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導(dǎo)數(shù)，混合偏

5、導(dǎo)數(shù) 與順序無(wú)關(guān)性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式. 2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)組求導(dǎo)方法、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換. 3.幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線. 4.極值問(wèn)題必要條件與充分條件，條件極值與Lagrange乘數(shù)法. 五、一元函數(shù)積分學(xué) 1. 原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計(jì)算方法直接積分法、換元法、分部積分法、有理函數(shù)積分：型，型. 2. 定積分及其幾何意義、可積條件必要條件、充要條件：、可積函數(shù)類. 3. 定積分的性質(zhì)關(guān)于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對(duì)可積性、定積分第一中值定理、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定

6、積分計(jì)算、定積分第二中 值定理. 4.無(wú)限區(qū)間上的廣義積分、Canchy收斂準(zhǔn)則、絕對(duì)收斂與條件收斂、非負(fù)時(shí)的收斂性判別法比較原則、柯西判別法、Abel判別法、 Dirichlet判別法、無(wú)界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法. 5. 微元法、幾何應(yīng)用平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長(zhǎng)與弧微分、旋轉(zhuǎn)體體積，其他應(yīng)用. 六、多元函數(shù)積分學(xué)1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計(jì)算化為累次積分、極坐標(biāo)變換、一般坐標(biāo)變換. 2.三重積分、三重積分計(jì)算化為累次積分、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)變換. 3.重積分的應(yīng)用體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等. 4.含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運(yùn)算順序的

7、可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性， 運(yùn)算順序的可交換性. 5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計(jì)算. 6.第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計(jì)算；Green公式，平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件. 7.曲面的側(cè)、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關(guān)系. 七、無(wú)窮級(jí)數(shù) 1. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)及其斂散性，級(jí)數(shù)的和，Cauchy準(zhǔn)則，收斂的必要條件，收斂級(jí)數(shù)基本性質(zhì)；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收 斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz判別法；一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收

8、斂、條件收斂性、Abel 判別法、Dirichlet判別法. 2. 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性、Cauchy準(zhǔn)則、一致收斂性判別法M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法、一致收斂函數(shù)列、函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用. 3.冪級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積性、可微性及其應(yīng)用，冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展 開(kāi)、Taylor級(jí)數(shù)、Maclaurin級(jí)數(shù).4.Fourier級(jí)數(shù) 三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2及2周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)、 Bessel不等式、Riemann-Lebesgue定

9、理、按段光滑函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理. 、高等代數(shù)部分一、 多項(xiàng)式 1. 數(shù)域與一元多項(xiàng)式的概念 2. 多項(xiàng)式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法3. 互素、不可約多項(xiàng)式、重因式與重根. 4. 多項(xiàng)式函數(shù)、余數(shù)定理、多項(xiàng)式的根及性質(zhì). 5. 代數(shù)基本定理、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解. 6. 本原多項(xiàng)式、Gauss引理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、Eisenstein判別法、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的有理根. 7. 多元多項(xiàng)式及對(duì)稱多項(xiàng)式、韋達(dá)(Vieta)定理. 二、 行列式 1. n級(jí)行列式的定義. 2. n級(jí)行列式的性質(zhì). 3. 行列式的計(jì)算. 4. 行列式按一行列展開(kāi). 5. 拉

10、普拉斯(Laplace)展開(kāi)定理. 6. 克拉默(Cramer)法則. 三、 線性方程組 1. 高斯(Gauss)消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解. 2. n維向量的運(yùn)算與向量組. 3. 向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、兩個(gè)向量組的等價(jià). 4. 向量組的極大無(wú)關(guān)組、向量組的秩. 5. 矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系. 6. 線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu). 7. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、解空間及其維數(shù)四、矩陣 1. 矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算)及其運(yùn)算律. 2. 矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關(guān)系. 3.

11、矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件. 4. 分塊矩陣及其運(yùn)算與性質(zhì).5. 初等矩陣、初等變換、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形. 6. 分塊初等矩陣、分塊初等變換. 五、 雙線性函數(shù)與二次型 1. 雙線性函數(shù)、對(duì)偶空間 2. 二次型及其矩陣表示. 3. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法、初等變換法、正交變換法. 4. 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性、慣性定理. 5. 正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣 六、 線性空間1. 線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì). 2. 維數(shù)，基與坐標(biāo). 3. 基變換與坐標(biāo)變換. 4. 線性子空間. 5. 子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和. 七、 線性變換 1.

12、 線性變換的定義、線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣. 2. 特征值與特征向量、可對(duì)角化的線性變換. 3. 相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓-凱萊定理. 4. 線性變換的值域與核、不變子空間.八、假設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 1.矩陣. 2. 行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件. 3. 假設(shè)當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 九、 歐氏空間 1. 內(nèi)積和歐氏空間、向量的長(zhǎng)度、夾角與正交、度量矩陣. 2. 標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣、施密特(Schmidt)正交化方法. 3. 歐氏空間的同構(gòu). 4. 正交變換、子空間的正交補(bǔ). 5. 對(duì)稱變換、實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形. 6. 主軸定理、用正交變換化實(shí)二次型或?qū)崒?duì)稱矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形. 7. 酉空

13、間. 、解析幾何部分 一、向量與坐標(biāo) 1. 向量的定義、表示、向量的線性運(yùn)算、向量的分解、幾何運(yùn)算. 2. 坐標(biāo)系的概念、向量與點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的代數(shù)運(yùn)算. 3. 向量在軸上的射影及其性質(zhì)、方向余弦、向量的夾角. 4. 向量的數(shù)量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運(yùn)算性質(zhì)、計(jì)算方法及應(yīng)用. 5. 應(yīng)用向量求解一些幾何、三角問(wèn)題. 二、軌跡與方程 1.曲面方程的定義：普通方程、參數(shù)方程(向量式與坐標(biāo)式之間的互化)及其關(guān)系. 2.空間曲線方程的普通形式和參數(shù)方程形式及其關(guān)系. 3.建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應(yīng)用向量建立簡(jiǎn)單曲面、曲線的方程. 4.球面的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程. 三、平面與空間直線 1.平面方程、直線方程的各種形式，方程中各有關(guān)字母的意義. 2.從決定平面和直線的幾何條件出發(fā)，選用適當(dāng)方法建立平面、直線方程. 3.根據(jù)平面和直線的方程，判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系. 4. 根據(jù)平面和直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)判定有關(guān)點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系、計(jì)算他們之間的距離與交角等；求兩異面直線的公垂線方程. 四、二次曲面 1.柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的定義，求柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 2.橢球面、雙曲面與拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程和主要性質(zhì)，根據(jù)不同條件建立二次曲