數(shù)學(xué)北京市各區(qū)二模試題分類解析空間幾何體

1、十八、空間幾何體 第一部分 三視圖正視圖111、（2011朝陽二模理3）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長為2的等邊三角形，其正視 圖(如圖所示)的面積為8，則側(cè)視圖的面積為 （ C ） （A） 8 （B） 4 （C） （D）2、（2011昌平二模理121正視圖俯視圖121側(cè)視圖4）已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸 (單位:cm)，可得這個幾何體的體積是 （C） Acm3 Bcm3 Ccm3 D2 cm33、（2011東城二模理3）沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為（ B ）（A） （B） （C）

2、 （D）4、（2011西城二模文5）一個幾何體的三視圖如圖所示，則其體積等于(D)1正(主)視圖俯視圖222側(cè)(左)視圖21（A）（B）（C）（D）5（2011豐臺二模理12）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是12 11正視圖側(cè)視圖20.62.4俯視圖0.6 6、（2011海淀二模理6）一個錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是（C） 7、（2011順義二模理12）.如圖是一個正三棱柱的三視圖，若三棱柱的體積是，則_ 2_.8、121正視圖俯視圖121側(cè)視圖（2011昌平二模文5）已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組

3、成，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸 (單位:cm)，可得這個幾何體的體積是 （ C ）Acm3 Bcm3 Ccm3 D2 cm39、（2011東城二模文4）如圖，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為2，那么這個幾何體的體積為(A)正視圖側(cè)視圖俯視圖（A） （B） （C） （D） 正視圖119、（2011朝陽二模文5）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長為2的等邊三角形.若三棱柱 的正視圖(如圖所示)的面積為8，則側(cè)視圖的面積為(C) （A） 8 （B） 4 （C） （D）10、（2011豐臺二模文13）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 12

4、 11正視圖側(cè)視圖20.62.4俯視圖0.611、（2011海淀二模文11） 一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為_+1_.12、（2011順義二模文12）如圖是一個正三棱柱的三視圖，若三棱柱的體積是，則_2_. 第二部分平行垂直角度1、（2011朝陽二模理7）已知棱長為1的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，上的動點(diǎn)，且設(shè)與所成的角為，與所成的角為，則的最小值(C)（A）不存在 （B）等于60° （C）等于90° （D）等于120° 2、（2011昌平二模理8）. 正方體ABCD_A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿

5、足PM=2，P到直線A1D1的距離為，則點(diǎn)P的軌跡是（A） A. 兩個點(diǎn) B. 直線 C. 圓 D. 橢圓 3、 8. （2011海淀二模理8） 在一個正方體中，為正方形四邊上的動點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有 （C） A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個4、（2011順義二模理3）.設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（B）A 若，則 B 若，則C 若，則 D 若，則5、（2011海淀二模文7）已知正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，則與線段相交且互相平分的線段有(B)A0條 B.1條 C. 2條

6、 D.3條6、（2011順義二模文3）設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是(B)A 若，則 B 若，則C 若，則 D 若，則5、（2011西城二模理4）.已知六棱錐的底面是正六邊形，平面.則下列結(jié)論不正確的是（ D）（A）平面（B）平面（C）平面（D）平面6、（2011昌平二模文8）如圖是長度為定值的平面的斜線段，點(diǎn)為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，使得的面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡是（ B ）A.圓 B.橢圓 C一條直線 D兩條平行線解答1、（2011朝陽二模理17）（本小題滿分13分）在長方形中，分別是，的中點(diǎn)（如圖1）. 將此長方形沿對折，使二面角為直二面角，分別是，的中點(diǎn)（如

7、圖2）.（）求證：平面；（）求證：平面平面； （）求直線與平面所成角的正弦值.圖（1）圖（2）C1BACAAA1B12ABACAADAEAA1B12AC1解法一：（）證明：取的中點(diǎn)，連接，.因為，分別是，的中點(diǎn)， 所以是的中位線. 1分 所以，且. 又因為是的中點(diǎn)，所以. 所以，且. 所以四邊形是平行四邊形. 所以. 3分 又平面，平面， 所以平面. 4分（）證明：因為，且，所以平面. 因為, 所以平面. 因為平面，所以. 又，且是的中點(diǎn)，所以. 因為，所以平面. 6分 由（）知. 所以平面. 7分 又因為平面， 所以平面平面. 8分（）解：由已知，將長方形沿對折后，二面角為直二面角，因為在長

8、方形中，分別是，的中點(diǎn)， 所以，. 所以是二面角的平面角. 所以. 所以. 又， 所以平面，即平面. 10分 所以. 其中，所以. ， 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為， 所以，即. 12分 設(shè)直線與平面所成角為， 所以.所以直線與平面所成角的正弦值為. 13分zAxAyAAA1CAEAC1DABAB12A解法二：（）證明：由已知，將長方形沿對折后，二面角為直二面角，因為在長方形中，分別是，的中點(diǎn)， 所以，. 即是二面角的平面角.所以. 所以. 所以兩兩垂直. 以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 1分 因為，且，分別是，的中點(diǎn)，所以，. 2分 所以，. 設(shè)平面的法向量為， 所以 所以令，則，. 所

9、以. 3分 又因為. 所以. 又因為平面， 所以平面. 4分（）證明：由（）知 ，.設(shè)平面的法向量為，所以 所以 令，則，所以. 6分 由（）知，平面的法向量為. 所以. 所以. 所以平面平面. 8分（）解：由（）知，. 所以.又由（）知，平面的法向量為. 10分設(shè)直線與平面所成角為，則 . 所以直線與平面所成角的正弦值為. 132、（2011昌平二模理17）.(本小題滿分13分)如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點(diǎn)E為的中點(diǎn)。（）求證： () 求證：（III）在線段AB上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由。（） , 點(diǎn)E為的中點(diǎn),連接。的中位線 /

10、2分又 4分（II） 正方形中, 由已知可得：， .6分, .7分 .8分（）由題意可得：,以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， 9分 設(shè) 10分設(shè)平面的法向量為則 得 11分取是平面的一個法向量，而平面的一個法向量為 12分要使二面角的大小為 而 解得：當(dāng)=時，二面角的大小為 3、（2011東城二模理16）（本小題共14分）如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，四邊形是邊長為的正方形（）求證：平面；（）求證：平面；（）求二面角的余弦值（）證明：連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)因為，分別為和的中點(diǎn)， 所以 又平面，平面， 所以平面 4分（）證明：

11、在直三棱柱中， 平面，又平面， 所以 因為，為中點(diǎn)， 所以又， 所以平面 又平面，所以 因為四邊形為正方形，分別為，的中點(diǎn)， 所以， 所以所以 又， 所以平面 9分（）解：如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 則 由（）知平面，所以為平面的一個法向量設(shè)為平面的一個法向量，由可得令，則所以從而因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為4、（2011豐臺二模理17）.（本小題共13分）ABDEC已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點(diǎn)沿BD將BCD翻折到，使得平面平面ABD（）求證：平面ABD；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值證明：（）平行四

12、邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8， 沿直線BD將BCD翻折成 可知CD=6，BC=BC=10，BD=8，即， 故 2分 平面平面，平面平面=，平面， 平面 5分（）由（）知平面ABD，且，如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 6分ABDECxyz則，E是線段AD的中點(diǎn)，在平面中，設(shè)平面法向量為， ，即，令，得，故 8分設(shè)直線與平面所成角為，則 9分 直線與平面所成角的正弦值為 10分（）由（）知平面的法向量為， 而平面的法向量為， ， 因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為 5、（2011海淀二模理17）(本小題共14分)如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和是兩個邊長為的正三角形，為

13、的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) ()求證：平面； ()求證：平面； ()求直線與平面所成角的正弦值（）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則F，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為的交點(diǎn)， ， .2分，在三角形中，4分，平面； 5分()方法1：連接，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，平面，平面，平面. 9分F方法2：由()知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得：，則，.平面，平面，平面； 9分() 設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個法向量為，又則，直線與平面所成角的正弦值為. 6、（2011順義二模理16.） （本小題滿分14分）_P_B_C_A_M_D_N_

14、S已知三棱錐P-ABC中，平面ABC, ,N為AB上一點(diǎn)，AB= 4AN, M ,D ,S分別為PB,AB,BC的中點(diǎn)。（1）求證：PA/平面CDM;（2）求證：SN平面CDM; (3 ) 求二面角的大小。（1）證明：在三棱錐中 因為M,D,分別為PB,AB的中點(diǎn)， 所以 因為 所以 .3分（2）證明：因為M,D,分別為PB,AB的中點(diǎn) 所以 因為 所以 又 所以 6分 設(shè),以A為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系。_P_B_C_A_M_D_N_S如圖所示，則所以因為所以 .9分又所以.10分(3)解由（2）知，是平面的一個法向量 設(shè)平面的法向量，則 即 所以 令 所以 從而 因為二面角

15、為銳角所以二面角的大小為7、（2011西城二模理16.）（本小題滿分13分）如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.（）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；（）求二面角的余弦值；（）設(shè)點(diǎn)是線段上一個動點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論.M（）證明：因為點(diǎn)是菱形的對角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以是的中位線，. 1分因為平面,平面,所以平面. 3分ABCODxyzM（）解：由題意，因為，所以，. 4分又因為菱形，所以，.建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以 6分設(shè)平面的法向量為，則有即：令，則，所以. 7分因為,所以平面. 平面的法向量與平行，所以平面的法向量為

16、. 8分，因為二面角是銳角，所以二面角的余弦值為. 9分（）解：因為是線段上一個動點(diǎn)，設(shè)，則，所以， 10分則，由得，即，11分解得或， 12分所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 13分（也可以答是線段的三等分點(diǎn)，或）8、（2011昌平二模文17）(本小題滿分13分)在空間五面體ABCDE中,四邊形ABCD是正方形，,. 點(diǎn)是的中點(diǎn). 求證：（I）（II） 證明：（I）點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，的中位線/ 又 6分（II） ,又, 9、（2011東城二模文17）（本小題共13分）如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，四邊形是正方形（）求證：平面；（）求證：平面證明：（）連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)因為，分別為和的中點(diǎn)， 所以 又

17、平面，平面， 所以平面 6分（）在直三棱柱中， 平面，又平面， 所以因為，為中點(diǎn)， 所以又， 所以平面 又平面，所以 因為四邊形為正方形，分別為，的中點(diǎn)， 所以， 所以所以 又， 所以平面 10、2011朝陽二模文17）（本小題滿分13分）在長方形中，分別是，的中點(diǎn)（如左圖）.將此長方形沿對折，使平面平面（如右圖），已知，分別是，的中點(diǎn).C1BACAAA1B12ABACAADAEAA1B12AC1（）求證：平面；（）求證：平面平面； （）求三棱錐的體積.FBACAADAEAA1B12AC1證明：（）取的中點(diǎn)，連接，. 1分因為，分別是，的中點(diǎn) 所以是的中位線. 2分 所以，且. 又因為是的中點(diǎn)

18、， 所以. 所以，且. 所以四邊形是平行四邊形. 3分 所以. 又平面，平面， 4分 所以平面. 5分（）因為，且，所以平面. 因為，所以平面. 因為平面，所以. 6分 又因為，且是的中點(diǎn)， 所以. 7分 因為，所以平面. 8分 由（）知， 所以平面. 又因為平面， 所以平面平面. 10分解：（）由已知，長方形沿對折后，. 所以. 所以，且，. 所以平面. 即平面. 11分 所以. 12分 其中. 所以. 11、（2011豐臺二模文16）（本小題共13分）已知梯形ABCD中，G，E，F(xiàn)分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，且，沿CG將CDG翻折到（）求證：EF/平面；（）求證：平面平面ABCEDFG

19、FGEABC本題重點(diǎn)考查的是翻折問題。在翻折的過程中，哪些是不變的，哪些是改變的學(xué)生必須非常清楚。證明：（）E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，即E，F(xiàn)分別是BC，C的中點(diǎn)， EF為的中位線 EF/ 2分又平面，平面， 4分EF / 平面 6分 （）G是AD的中點(diǎn)，即， 又，在中， 9分，=，平面 12分又平面，平面平面 12、（2011海淀二模文16） （本小題共13分） 已知直三棱柱的所有棱長都相等，且分別為的中點(diǎn). (I) 求證：平面平面；（II）求證：平面. 證明：（）由已知可得， 四邊形是平行四邊形， 1分 平面，平面， 平面； 2分又 分別是的中點(diǎn)， ， 3分 平面，平面，平面； 4分平面，平面， 5分 平面平面 . 6分() 三棱柱是直三棱柱， 面，又面， . 7分 又直三棱柱的所有棱長都相等，是邊中點(diǎn)， 是正三角形， 8分 而， 面 ，面 ，面 ， 9分故 . 10分四邊