斐波那契數(shù)列算法分析報(bào)告

1、Word 格式斐波那契數(shù)列算法分析背景：假定你有一雄一雌一對(duì)剛出生的兔子，它們?cè)陂L(zhǎng)到一個(gè)月大小時(shí)開始交配，在第二月結(jié)束時(shí)，雌兔子產(chǎn)下另一對(duì)兔子，過了一個(gè)月后它們也開始繁殖，如此這般持續(xù)下去。每只雌兔在開始繁殖時(shí)每月都產(chǎn)下一對(duì)兔子，假定沒有兔子死亡，在一年后總共會(huì)有多少對(duì)兔子？在一月底，最初的一對(duì)兔子交配，但是還只有1 對(duì)兔子；在二月底，雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔子，共有 2 對(duì)兔子；在三月底，最老的雌兔產(chǎn)下第二對(duì)兔子，共有3 對(duì)兔子；在四月底，最老的雌兔產(chǎn)下第三對(duì)兔子，兩個(gè)月前生的雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔子，共有5對(duì)兔子；如此這般計(jì)算下去，兔子對(duì)數(shù)分別是： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

2、 55,89,144,. 看出規(guī)律了嗎？從第3 個(gè)數(shù)目開始，每個(gè)數(shù)目都是前面兩個(gè)數(shù)目之和。這就是著名的斐波那契（Fibonacci ）數(shù)列。有趣問題：1，有一段樓梯有10 級(jí)臺(tái)階 ,規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí),要登上第10 級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法 ?答：這就是一個(gè)斐波那契數(shù)列：登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種方法所以，1， 2， 3， 5 ， 8， 13登上十級(jí)，有89 種。2，數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的前項(xiàng)比后項(xiàng)的極限是多少，就是問，當(dāng)n 趨于無窮大時(shí)，F(xiàn)(n)/F(n+1)的極限是多少？答： 這個(gè)可由它的通項(xiàng)公式直接得到，極限是(-1

3、+ 5)/2 ，這個(gè)就是所謂的黃金分割點(diǎn)，也是代表大自然的和諧的一個(gè)數(shù)字。數(shù)學(xué)表示：Fibonacci 數(shù)列的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是：F(n) =F(n-1) + F(n-2)F(1) =1F(2) =1遞歸程序 1：Fibonacci 數(shù)列可以用很直觀的二叉遞歸程序來寫，用C+ 語(yǔ)言的描述如下：longfib1(intn)if (n =2)return1;完美整理Word 格式elsereturn fib1(n-1) +fib1(n-2);看上去程序的遞歸使用很恰當(dāng)，可是在用 VC2005 的環(huán)境下測(cè)試 n=37 的時(shí)候用了大約3s，而 n=45的時(shí)候基本下樓打完飯也看不到結(jié)果 顯然這種遞歸的效率太

4、低了！遞歸效率分析：例如，用下面一個(gè)測(cè)試函數(shù)：longfib1(intn, int*arr)arrn+;if (n =2的時(shí)候我們分析可知：T(N)=T(N-1) + T(N-2)+ 2而 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) ，所以有 T(N) = fib(n) ，歸納法證明可得：fib(N)4時(shí)， fib （N ）=(3/2)N標(biāo)準(zhǔn)寫法：顯然這個(gè) O（(3/2)N） 是以指數(shù)增長(zhǎng)的算法，基本上是最壞的情況。完美整理Word 格式其實(shí)，這違反了遞歸的一個(gè)規(guī)則：合成效益法則。合成效益法則（ Compoundinterest rule ）：在求解一個(gè)問題的同一實(shí)例的時(shí)候，切勿

5、在不同的遞歸調(diào)用中做重復(fù)性的工作。所以在上面的代碼中調(diào)用fib(N-1) 的時(shí)候?qū)嶋H上同時(shí)計(jì)算了fib(N-2) 。這種小的重復(fù)計(jì)算在遞歸過程中就會(huì)產(chǎn)生巨大的運(yùn)行時(shí)間。遞歸程序 2：用一叉遞歸程序就可以得到近似線性的效率，用C+ 語(yǔ)言的描述如下：longfib(intn, longa, longb, intcount)if (count=n)returnb;returnfib(n,b, a+b,+count);longfib2(intn)returnfib(n,0,1, 1);這種方法雖然是遞歸了，但是并不直觀，而且效率上相比下面的迭代循環(huán)并沒有優(yōu)勢(shì)。迭代解法：Fibonacci 數(shù)列用迭代程

6、序來寫也很容易，用C+ 語(yǔ)言的描述如下：/ 也可以用數(shù)組將每次計(jì)算的f(n) 存儲(chǔ)下來，用來下次計(jì)算用（空間換時(shí)間）longfib3(intn)longx =0,y =1;for(intj =1; j n; j+)y =x + y;x =y - x;returny;這時(shí)程序的效率顯然為O（N）， N = 45 的時(shí)候 =2)可以將它寫成矩陣乘法形式：將右邊連續(xù)的展開就得到：下面就是要用O(log(n)的算法計(jì)算：顯然用二分法來求，結(jié)合一些面向?qū)ο蟮母拍?，C+ 代碼如下：class Matrixpublic :longmatr22;Matrix( const Matrix&rhs);Matrix

7、( longa, longb, longc, longd);Matrix&operator =( const Matrix&);friendMatrixoperator *( const Matrix&lhs, const Matrix&rhs)Matrixret(0,0,0,0);ret.matr00=lhs.matr00*rhs.matr00+lhs.matr01*rhs.matr10;ret.matr01=lhs.matr00*rhs.matr01+ lhs.matr01*rhs.matr11;ret.matr10=lhs.matr10*rhs.matr00+ lhs.matr11*rh

8、s.matr10;ret.matr11=lhs.matr10*rhs.matr01+lhs.matr11*rhs.matr11;returnret;Matrix:Matrix(longa,long b, long c, long d)this-matr00=a;this-matr01=b;this-matr10=c;this-matr11=d;完美整理Word 格式Matrix:Matrix(constMatrix &rhs)this-matr00=rhs.matr00;this-matr01=rhs.matr01;this-matr10=rhs.matr10;this-matr11=rhs.

9、matr11;Matrix&Matrix:operator=( constMatrix&rhs)this-matr00=rhs.matr00;this-matr01=rhs.matr01;this-matr10=rhs.matr10;this-matr11=rhs.matr11;return * this;Matrixpower( const Matrix&m,intn)if (n =1)returnm;if (n%2=0)returnpower(m*m,n/2);elsereturnpower(m*m,n/2)* m;longfib4(intn)Matrixmatrix0(1,1, 1, 0

10、);matrix0=power(matrix0,n-1);returnmatrix0.matr00;這時(shí)程序的效率為O （log(N) ） 。完美整理Word 格式公式解法：在 O（1）的時(shí)間就能求得到F(n) 了：注意：其中 x 表示取距離x 最近的整數(shù)。用 C+ 寫的代碼如下：longfib5(intn)doublez =sqrt(5.0);doublex =(1 +z)/2;doubley =(1 - z)/2;return(pow(x,n) - pow(y,n)/z+0.5;這個(gè)與數(shù)學(xué)庫(kù)實(shí)現(xiàn)開方和乘方本身效率有關(guān)的，我想應(yīng)該還是在O(log(n)的效率?？偨Y(jié)：上面給出了5 中求解斐波那

11、契數(shù)列的方法，用測(cè)試程序主函數(shù)如下：intmain()coutfib1(45)endl;coutfib2(45)endl;coutfib3(45)endl;coutfib4(45)endl;coutfib5(45)endl;return0;函數(shù) fib1 會(huì)等待好久，其它的都能很快得出結(jié)果，并且相同為：1134903170 。而后面兩種只有在n =1000000000的時(shí)候會(huì)顯示出優(yōu)勢(shì)。由于我的程序都沒有涉及到高精度，所以要是求大數(shù)據(jù)的話，可以通過取模來獲得結(jié)果的后4 位來測(cè)試效率與正確性。另外斐波那契數(shù)列在實(shí)際工作中應(yīng)該用的很少，尤其是當(dāng)數(shù)據(jù)n 很大的時(shí)候（例如：1000000000 ），所

12、以綜合考慮基本普通的非遞歸O(n) 方法就很好了，沒有必要用矩陣乘法。完美整理Word 格式1、 N 皇后問題算法設(shè)計(jì)ALGORITHMprocedure PLACE(k)/ 如果一個(gè)皇后能放在第k 行的 X(k) 列，則返回 true ；否則返回false。 X 是一個(gè)全程數(shù)組，進(jìn)入此過程時(shí)已置了k 個(gè)值。 /global X(1 ：k) ； integer i ， ki 1while i0 do/ 對(duì)所有的行執(zhí)行以下語(yǔ)句/X(k) X(k)+1/ 移到下一列 /While X(k) n and not PLACE(k)doX(k) X(k) 十 l; /如果第 k 個(gè)皇后的列X(k) 不合

13、理，就看下一列/if X(k) n/ 找到一個(gè)位置/then if k=n/ 是一個(gè)完整的解嗎/then print(X)/ 是，打印這個(gè)數(shù)組/elsek k+1； X(k) 0 ； endif/ 擴(kuò)展，搜索下一個(gè)皇后/else kk 1/ 回溯 /endifend NQUEENSProgram :#include完美整理Word 格式#includeint k=0,a20,j=1,flag,n,c=0;/k為解的個(gè)數(shù) ,n 為皇后的個(gè)數(shù) ,flag 標(biāo)記有沒有放置皇后void lycQueen()/遞歸求解函數(shù)int i,h;/i為行號(hào) ,h 為列號(hào)for(h=1;h=n;h+)aj=h;f

14、or(i=1;ij;i+)/將第 j 個(gè)皇后的位置依次跟前面j-1 個(gè)皇后比較if(ai=aj|abs(aj-ai)=abs(j-i) flag=0;break;/兩個(gè)皇后在同一行或者同一對(duì)角線上,沖突else flag=1;/ 沒沖突 , 放置一個(gè)皇后/forif(flag=0&aj!=n) continue;/沒試探完 ,繼續(xù)試探if(flag=1&j=n)/放置完 n 個(gè)皇后 ,得到一個(gè)解k=k+1;c=1;/解的個(gè)數(shù)加1for(i=1;i=n;i+)printf(%d ,ai);/輸出第 i 個(gè)皇后放置的行號(hào)printf(n);if(aj = n)flag = 0;/ifif(flag=1&j!=n)j+;lycQueen();/遞歸調(diào)用if(flag=0&aj=n)j-;/回溯 , 退回去重新試探/for/lycQu