數(shù)列收斂判別法畢業(yè)論文

1、學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文設(shè)計(jì)數(shù)列收斂的判別法 所在系別：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)- 14 - / 19目錄中文摘要-I英文摘要-II前 言-III第一章數(shù)列極限的概念-11.1數(shù)列極限的定義-11.2 收斂數(shù)列的定義-2第二章判別數(shù)列收斂的方法-3 2.1定義法-3 2.2 單調(diào)有界定理-6 2.3迫斂性定理-8 2.4 柯西收斂準(zhǔn)則-9 2.5 關(guān)于子列的重要定理-12參考文獻(xiàn)-14致-15數(shù)列收斂的判別法摘要：數(shù)列收斂是極限方法的基本情況，而極限方法是微積分學(xué)的基本方法，是初等數(shù)學(xué)所沒(méi)有的一套嶄新的方法，它解決了“直與曲”、“均勻變化與非均勻變化”、“近似于精確”的矛盾，是客觀世界

2、中由量變到質(zhì)變的一種反應(yīng)。數(shù)列收斂恰是這些的基礎(chǔ)，它的概念、 性質(zhì)、定理、推論為研究其它極限等數(shù)學(xué)理論研究起到鋪墊作用。本篇文章重點(diǎn)討論的是判別數(shù)列收斂的一些方法，對(duì)于判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂有些茫然的人，本文會(huì)有針對(duì)性的對(duì)以上問(wèn)題做細(xì)致的講解和歸納。開(kāi)篇第一章的容是對(duì)一些基礎(chǔ)概念做了敘述，以便于對(duì)后面的定理有更好的理解。在第二章重點(diǎn)介紹了判別數(shù)列收斂的方法，數(shù)列收斂的判別法有很多，對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)列，通過(guò)定義其極限的存在常?？梢酝ㄟ^(guò)觀察直接看出，或通過(guò)極限的四則運(yùn)算得出，研究數(shù)列收斂的判別法可以判斷一些較復(fù)雜的極限，例如應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則和迫斂性定理，它們是利用極限來(lái)研究微分學(xué)的許多理論問(wèn)題時(shí)的有力工

3、具，在近代分析中有極其重要的理論意義。關(guān)鍵詞：數(shù)列收斂、數(shù)列極限、判別法Series convergence criterionAbstract：Series is the ultimate way to convergence of the basic situation, and the limit is the basic calculus method is not elementary mathematics a new way, it has resolved the straight and curly, uniform change and nonuniform change,

4、 close to accurate, the contradiction is the objective world from quantitative to qualitative changes in a response. Convergent series is just the foundation of the concept, nature, theorem, inference to study the other limit, such as paving the way mathematics has played the role of theoretical res

5、earch.This article key discussion is distinguished sequence restraining some methods, regarding judge a sequence whether restrains some at a loss people, this article can have pointed makes the careful explanation and the induction to above ques question.The introduction first chapter of content has

6、 made the narration to some foundation concept, was advantageous for to the behind t heorem has a better understanding.Introduced with emphasis in the second chapter the distinction sequence restraining method, the sequence restraining distinction law has very much, regarding the simple sequence, th

7、rough defines its limit the existence to be possible to see directly frequently through the observation, or obtains through the limit mathematical operations, the research sequence restraining distinction law may judge some complex limit, for example west the applica tion tan oak restrains the crite

8、rion and compels collects the theorem, they are study the differential calculus using the limit time many theory question powerful tool, has the extremely important theory significance in the modern analysis.Key word:Sequence restraining, Sequence limit, Sequence restraining distinction way前 言數(shù)列收斂問(wèn)題

9、始終是數(shù)學(xué)分析課程入門的重要概念，本文從數(shù)列收斂的定義、性質(zhì)與與數(shù)列收斂等價(jià)的一些定理命題入手進(jìn)行探討判別數(shù)列收斂的方法。當(dāng)然也可以從另一個(gè)角度探討，如用數(shù)列收斂與不收斂的關(guān)系探討數(shù)列收斂問(wèn)題，數(shù)列收斂與有界的關(guān)系等。隨著知識(shí)的積累對(duì)數(shù)列收斂問(wèn)題的理解將會(huì)更深刻，在函數(shù)極限、多元函數(shù)極限、級(jí)數(shù)與后繼的專業(yè)理論學(xué)習(xí)中對(duì)不同的問(wèn)題、不同的概念都會(huì)有研究收斂問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上將會(huì)更深刻和更廣泛的實(shí)際意義。數(shù)列收斂是極限理論的一種基本的情況，一個(gè)數(shù)列存在極限也就是這個(gè)數(shù)列收斂，極限方法是微積分學(xué)的基本方法，是初等數(shù)學(xué)所沒(méi)有的一套嶄新的方法，它解決了“直與曲”、“均勻變化與非均勻變化”、“近似與精確”的矛

10、盾，是客觀世界中由量變到質(zhì)變的一種反映。數(shù)列收斂恰是這些的基礎(chǔ)，它的概念、 性質(zhì)、定理、推論為研究其它極限等數(shù)學(xué)理論研究起到鋪墊作用。數(shù)列收斂的判別法有很多，對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)列，通過(guò)定義其極限的存在常?？梢酝ㄟ^(guò)觀察直接看出，或通過(guò)極限的四則運(yùn)算得出，研究數(shù)列收斂的判別法可以判斷一些較復(fù)雜的極限，例如柯西收斂準(zhǔn)則和迫斂性定理，它們是利用極限來(lái)研究微分學(xué)的許多理論問(wèn)題時(shí)的有力工具，在近代分析中有極其重要的理論意義。數(shù)列收斂是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，例如迫斂性定理在解決求極限的中有廣泛的應(yīng)用，柯西收斂準(zhǔn)則的作用與影響更是尤為顯著。它的概念與思想滲透到所有的數(shù)學(xué)分支，而理論與方法在統(tǒng)計(jì)學(xué)、信息論、計(jì)算機(jī)科學(xué)、

11、近代物理、化學(xué)以與其他許多科學(xué)與工程領(lǐng)域中都有廣泛而深入的應(yīng)用，是理工類和其他相關(guān)專業(yè)研究應(yīng)具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。并且在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中有著其實(shí)際的作用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生極限抽象思想和找尋數(shù)學(xué)規(guī)律或者實(shí)際生活規(guī)律提供了很好的實(shí)踐平臺(tái)。第一章 數(shù)列極限的概念極限論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。極限問(wèn)題是數(shù)學(xué)分析中困難問(wèn)題之一。中心問(wèn)題有兩個(gè)：一是證明極限存在，二是求極限的值。兩問(wèn)題有密切關(guān)系：若求出了極限的值，自然極限的存在性也被證明。反之，證明了存在性，常常也就為計(jì)算極限鋪平了道路。下面我們重點(diǎn)研究的是數(shù)列的極限，1.1數(shù)列極限的定義（= ，）的變化趨勢(shì)；當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，趨于極限?，F(xiàn)在我們要用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)定義極限概念

12、。我們先來(lái)分析一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列（=，） （1-1）很明顯，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，趨于極限0 。此數(shù)列寫出來(lái)是，它趨于0的意思，就是沿此數(shù)列往后看，它與0愈來(lái)愈接近；例如，從第100項(xiàng)以后開(kāi)始，每一項(xiàng)與0 的差都小于0.01；從第1000項(xiàng)以后開(kāi)始，每一項(xiàng)與0的差都小于0.001；一般來(lái)說(shuō)，從“充分遠(yuǎn)”的某一項(xiàng)開(kāi)始，它的每一項(xiàng)與0 之差可以“任意小”。下面我們來(lái)分析一下“任意小”和“充分遠(yuǎn)”是什么意思。顯然任意小的意思就是|0|=0= （1-2）其中是預(yù)先任意給定的在我們熟悉的數(shù)列中有這樣一類數(shù)列，其特點(diǎn)是：當(dāng)自然數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)無(wú)限地接近某一常數(shù)。例如數(shù)列等數(shù)列都具有這樣的特點(diǎn)，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，

13、它們都無(wú)限地接近于0 。我們稱這樣的數(shù)列為收斂的數(shù)列，并稱常數(shù)0分別是數(shù)列的極限。由此引出數(shù)列極限的精確定義，在各版本的教材中也稱為數(shù)列極限的定義。經(jīng)過(guò)上述分析，我們給出數(shù)列極限的嚴(yán)格定義如下：1.1.1數(shù)列極限定義1：設(shè)為數(shù)列，為常數(shù)，若對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)nN 時(shí)，有，則稱數(shù)列收斂于，常數(shù)為數(shù)列的極限，并記作：，或，讀作 “當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，的極限等于或趨于”。若數(shù)列沒(méi)有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列。這里lim是拉丁字limes的簡(jiǎn)寫，意思就是極限。有時(shí)我們把“的極限是”，說(shuō)成“趨于”或“收斂于”。注意，極限的符號(hào)（5）是很完整的：代表變化過(guò)程（即無(wú)限增大的過(guò)程），li

14、m代表在此變化過(guò)程中變量趨向于。從定義1可以看出收斂數(shù)列一定有極限。其等價(jià)定義是：定義2：任意的，若在之外，數(shù)列中項(xiàng)只有有限個(gè)，則稱數(shù)列收斂，且收斂于。1.1.2 數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)列，是數(shù)軸上一個(gè)確定的點(diǎn)。對(duì)于任給的，在數(shù)軸上作出點(diǎn)的鄰域。由于絕對(duì)值不等式與不等式等價(jià)，而數(shù)列中總存在一項(xiàng)，在此項(xiàng)后面的所有項(xiàng)，（即除了前項(xiàng)，以外），它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，都位于區(qū)間之中，至多能有個(gè)點(diǎn)，在此區(qū)間外。因?yàn)槭侨我庑〉恼龜?shù)，所以數(shù)列中各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都無(wú)限聚集在點(diǎn)的附近。當(dāng)時(shí)，所有的點(diǎn)都落在，只有有限個(gè)落在其外。1.2收斂數(shù)列的定義通過(guò)數(shù)列極限的定義我們可以看出，如果我們知道一個(gè)

15、數(shù)列的極限，那么也就說(shuō)明這個(gè)數(shù)列收斂于這個(gè)極限，即數(shù)列收斂。所以說(shuō)數(shù)列極限的定義也就是收斂數(shù)列的定義。第二章 判別數(shù)列收斂的方法第一章的定義1與定義2給出了數(shù)列收斂定義，且有著明顯的幾何意義。通常我們都是對(duì)定義1和定義2中的，進(jìn)行討論，由此來(lái)研究或證明數(shù)列的收斂問(wèn)題。其特點(diǎn)是將數(shù)列與一個(gè)常數(shù)聯(lián)系在一起進(jìn)行論證。當(dāng)數(shù)列的形式較復(fù)雜時(shí)，我們可以將其分解后利用四則運(yùn)算法則計(jì)算數(shù)列極限。同時(shí)，問(wèn)題往往不是孤立的，一個(gè)數(shù)列極限的計(jì)算可能要使用幾種方法。在有了極限的定義之后，為了判斷具體某一數(shù)列或函數(shù)是否有極限，人們必須不斷地對(duì)極限存在的充分條件和必要條件進(jìn)行探討。那么怎樣判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂或者說(shuō)極限是

16、否存在的問(wèn)題，對(duì)于簡(jiǎn)單的數(shù)列，其極限的存在常常可以通過(guò)觀察直接看出（例如，數(shù)列的極限顯然存在，而且是零），或通過(guò)四則運(yùn)算得出（參看上面例7）。但對(duì)于較復(fù)雜的極限，例如， （2-1）就無(wú)能為力了。極限（2-1）是一個(gè)重要的極限，在研究放射性元素的衰變規(guī)律，電容器的充放電以與自然對(duì)數(shù)等許多問(wèn)題中都要用到它。下面我們將建立幾個(gè)判斷數(shù)列收斂或者說(shuō)極限存在的一般性判別法。它們不僅可以用來(lái)判斷一些較復(fù)雜的極限（例如極限（2-1）的存在性），而且在理論研究時(shí)也經(jīng)常用到。2.1定義法利用數(shù)列極限定義判別數(shù)列收斂，通過(guò)數(shù)列極限的定義我們可以看出，如果我們知道一個(gè)數(shù)列的極限，那么也就說(shuō)明這個(gè)數(shù)列收斂于這個(gè)極限，即

17、數(shù)列收斂。所以說(shuō)用定義可以判別一個(gè)數(shù)列是否收斂。即若能求出一個(gè)數(shù)列的極限也就說(shuō)明這個(gè)數(shù)列收斂利用極限定義計(jì)算極限的關(guān)鍵是；將通項(xiàng)化為一常數(shù)與一含n的無(wú)窮小之和，從而得到。并依此求得對(duì)應(yīng)的N。2.1.1 定義法的應(yīng)用例1 證明分析 由于（）（2-2）因此，對(duì)任給的，只要，便有，（2-3）即當(dāng)時(shí)，（2-3）式成立。又由于（2-2）式是在的條件下成立的，故應(yīng)取3， （2-4）證 任給，取3，。據(jù)分析，當(dāng)時(shí)有（2-3）式成立。于是本題得證。注 本題在求的過(guò)程中，（2-2）式中運(yùn)用了適當(dāng)放大的方法，這樣求就比較方便。但應(yīng)注意這種放大必須適當(dāng)，以根據(jù)給定的能確定出。又（2-4）式給出的不一定是正整數(shù)。一般

18、地，在定義1中的不一定限于正整數(shù)，而只要它是正數(shù)即可。例2證明數(shù)列收斂于1。證明：對(duì)，要使得，只須，所以取，當(dāng)時(shí)，有，所以。注1：是衡量與的接近程度的，除要求為正以外，無(wú)任何限制。然而，盡管具有任意性，但一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它們也可代替） 2：是隨的變小而變大的，是的函數(shù)，即是依賴于的。在解題中，等于多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，有就行了，而不必求最小的。例3證明。證明：對(duì)，因?yàn)?（此處不妨設(shè)，若，顯然有）所以要使得，只須就行了。 即有. 所以取 ，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橛校?。?：有時(shí)找比較困難，這時(shí)我們可把適當(dāng)?shù)刈冃巍⒎糯螅ㄇ?/p>

19、萬(wàn)不可縮?。。?，若放大后小于，那么必有。在求數(shù)列極限時(shí)，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則。2.1.2 應(yīng)用四則運(yùn)算求數(shù)列極限四則運(yùn)算法則 若與為收斂數(shù)列，則，也都是收斂數(shù)列，且有特別當(dāng)為常數(shù)時(shí)有，若再假設(shè)與，則也是收斂數(shù)列，且有例4 求，其中 解 若，則顯然有；若，則由得；若，則例5 求解，用有理化法，得=因?yàn)?，而有理化得所?，故 例6 求解 = = 2.2單調(diào)有界定理2.2.1 有界數(shù)列的定義定理1若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)有證明 設(shè)。根據(jù)數(shù)列極限的定義，對(duì)于存在正整數(shù)，使得對(duì)于一切有不等式 即 記 ，那么對(duì)一切正整數(shù)都滿足不等式這就證明了數(shù)列是有界的。注 有界性

20、只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充要條件。例如數(shù)列有界，但它并不收斂。那什么條件才是充要條件呢，接下來(lái)第三章將會(huì)介紹。例7 判斷數(shù)列， 是否有界。解 因?yàn)榇嬖?，使得?duì)于一切都滿足不等式，故數(shù)列有界。例8 判斷數(shù)列是否有界。解 因?yàn)楫?dāng)無(wú)限增大時(shí)可超過(guò)任何正數(shù)，所以數(shù)列無(wú)界。定理2 單調(diào)有界定理（實(shí)數(shù)連續(xù)性）在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限證 不妨設(shè)為有上界的遞增數(shù)列由確界原理，數(shù)列有上界，記下面證明就是的極限。事實(shí)上，任給，按上確界的定義，存在數(shù)列中某一項(xiàng)，使得。又由的遞增性，當(dāng)時(shí)有另一方面，由于是的一個(gè)上界，故對(duì)一切都有。所以當(dāng)時(shí)有，這就證得。同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下

21、確界。公理的幾何意義十分明顯.若數(shù)列單調(diào)增加有上界，設(shè)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，點(diǎn)在數(shù)軸上向右方移動(dòng)，因?yàn)橛猩辖?，所以這些點(diǎn)必?zé)o限地趨近于某個(gè)點(diǎn).設(shè)的坐標(biāo)為，則就是數(shù)列的極限.例如：研究數(shù)列的收斂。首先數(shù)列是單調(diào)上升：，這可以用數(shù)學(xué)歸納法予以驗(yàn)證。其次 ，同樣可以驗(yàn)證數(shù)列有界，因此由這個(gè)知，數(shù)列必收斂。該定理用來(lái)判別數(shù)列是否收斂，不用刻意地和常數(shù)聯(lián)系在一起就可以判別某些數(shù)列講解的收斂問(wèn)題，或解決極限的存在問(wèn)題，為理論上探討數(shù)列的收斂問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)，隨著在對(duì)數(shù)學(xué)的深入接觸中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)用這個(gè)定理又導(dǎo)出實(shí)數(shù)完備性的基本定理。2.2.2單調(diào)有界定理的應(yīng)用例9 試證明數(shù)列有極限。證 下面我們證

22、明數(shù)列是增數(shù)列，而且有上界，從而由定理，即知它趨于有限極限。根據(jù)二項(xiàng)式定理，我們有故由此可知，從而是一個(gè)增數(shù)列。另外，從上面的的展開(kāi)式，知故是有上界的。于是，由定理知的極限存在，且此極限不超過(guò)3 。我們用代表此極限：用其他方法我們可以計(jì)算出的精確數(shù)值是2.3迫斂性定理迫斂性定理有時(shí)習(xí)慣稱兩邊夾定理定理3（迫斂性定理）設(shè)，是三個(gè)數(shù)列。若NN+，nN，有，且=，則=.證明：已知=，即0，有N+，n，有，從而，有，從而，同時(shí)有，從而，或 N+，有，又=，則=.迫斂性定理不僅指出了極限存在性,還給出了極限值。所以迫斂性定理也是判定數(shù)列收斂的一種方法，同時(shí)也提供了一個(gè)求極限的工具。2.3.1迫斂性定理的

23、應(yīng)用例10求數(shù)列的極限。解 令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，于是，即 00 故 11+顯然收斂于零。因?yàn)榫陀小Ｋ?，由迫斂性?.4柯西收斂準(zhǔn)則有時(shí)我們可以從數(shù)列本身的項(xiàng)來(lái)研究數(shù)列的收斂問(wèn)題，這就是下面的定理：定理4（柯西（Cauchy）收斂準(zhǔn)則） 數(shù)列收斂的充分必要條件是：對(duì)于任給的0，必有正整數(shù)N存在，使當(dāng)n，mN時(shí)，恒有0，NN+，n，mN，有.在證明之前，我們先解釋一下0，NN+，N，N+，有0，NN+，N，有.從而與，分別有與N，有=和，有，有=0，NN+，n，mN，有0，N+，有.取L=max，.從而，L，L，同時(shí)有與.于是，即=.或數(shù)列收斂.在這里，指出，單調(diào)有界定理和Cauchy收斂準(zhǔn)則則

24、只指出極限存在性。2.4.1柯西收斂準(zhǔn)則的應(yīng)用例11 研究任一無(wú)限十進(jìn)制小數(shù)的n位不足近似（n= 1，2，）所組成的數(shù)列（其中為0，1，2， 9，中的一個(gè)數(shù)）的收斂問(wèn)題。首先不妨設(shè)，有此題的特點(diǎn)是：在討論有些數(shù)列時(shí)，用定義1是不好確定其收斂問(wèn)題的，但是用柯西收斂準(zhǔn)則就非常方便。因此柯西收斂準(zhǔn)則不僅可以判別數(shù)列收斂性，而且在數(shù)學(xué)分析課程中貫穿始終，是實(shí)數(shù)完備性理論的基本定理之一。例12 證明當(dāng)時(shí)，收斂。證 用柯西收斂準(zhǔn)則來(lái)證因?yàn)?，所以?duì)任給的0都有N，使當(dāng)N時(shí)，。于是只要，便有所以由柯西收斂準(zhǔn)則知收斂。注 用柯西收斂準(zhǔn)則來(lái)證明數(shù)列收斂和用極限定義來(lái)證明是很不一樣的。用定義來(lái)證明一個(gè)數(shù)列收斂（或有

25、極限），必須事先知道（或能觀察出）該極限值，但這一點(diǎn)往往是比較困難的，柯西收斂準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)，就在于只通過(guò)數(shù)列本身來(lái)判斷其是否收斂。當(dāng)然柯西收斂準(zhǔn)則主要在于它在近代分析中有極其重要的理論意義。我們知道一個(gè)數(shù)列不是收斂就是發(fā)散，那如果我們判斷出一個(gè)數(shù)列是發(fā)散的，也就說(shuō)明它是不收斂的，所以也可以判定數(shù)列是否收斂。 柯西收斂準(zhǔn)則指出：數(shù)列收斂等價(jià)于數(shù)列中充分遠(yuǎn)（即自然數(shù)充分大）的任意兩項(xiàng)的距離能夠任意小。這是收斂數(shù)列的最本質(zhì)的特征。柯西收斂準(zhǔn)則的優(yōu)點(diǎn)在于它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù)，只需根據(jù)數(shù)列自身各項(xiàng)之間的相互關(guān)系就能判別該數(shù)列的斂散性。例13證明：若N+，有，其中是正常數(shù)，且01，則數(shù)列收斂。證明：

26、，N+，有=（）=.已知（00，NN+，N，有0，NN+，N，N+有.其中是正常數(shù)，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂。2.5關(guān)于子列的重要定理2.5.1子數(shù)列的定義定義3 給定數(shù)列：，在這個(gè)數(shù)列里，任取無(wú)窮多項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉?lái)數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來(lái)數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列，任何一個(gè)數(shù)列都存在無(wú)窮多個(gè)子數(shù)列。如果這個(gè)子數(shù)列存在極限，就稱它為是原來(lái)數(shù)列的一個(gè)收斂子數(shù)列。 如果原來(lái)的數(shù)列收斂于A，則它的任何一個(gè)子數(shù)列都一定收斂于A。 如果數(shù)列有一個(gè)子數(shù)列發(fā)散，或有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定發(fā)散。所以一個(gè)數(shù)列即使存在無(wú)窮多個(gè)收斂的子數(shù)列，我們也不能確定它是否收斂。2.5.2 應(yīng)用子列

27、的相關(guān)定理判別數(shù)列收斂定理5.若數(shù)列收斂于，則的任意子數(shù)列也收斂于.它的等價(jià)命題是：若數(shù)列有某一個(gè)子數(shù)列發(fā)散，或有某兩個(gè)收斂子數(shù)列，它們的極限不相等，則數(shù)列發(fā)散，且應(yīng)用該定理的這一等價(jià)命題很容易判別某些數(shù)列的發(fā)散性。例如：數(shù)列是發(fā)散的。因?yàn)樗呐甲恿?發(fā)散。數(shù)列是發(fā)散的，因?yàn)樗钠孀恿惺諗坑?1；它的偶子列收斂于1，而.定理6 數(shù)列收斂的充要條件是偶子數(shù)列與奇子數(shù)列都收斂，且它們的極限相等，即例如：在數(shù)列中抽出子數(shù)列、和都收斂，且有一樣的極限值，這時(shí)數(shù)列一定收斂。實(shí)質(zhì)上定理5、定理6都是在一個(gè)數(shù)列的前提下給出的，它們?cè)谂袆e數(shù)列是否收斂時(shí)也不用刻意地和常數(shù)聯(lián)系在一起就可以判別某些數(shù)列的收斂問(wèn)題，或解決極限的存在問(wèn)題，因此可以說(shuō)這兩個(gè)命題是收斂數(shù)列的一種判別法。其實(shí)，在以后的接觸中你會(huì)發(fā)現(xiàn)，用這兩個(gè)命題判別一個(gè)數(shù)列是否收斂非常方